تويت
حلقه
Ring - Anneau
الحلقة
الحلقة ring (س ، +، ×) هي مجموعة غير خالية س، مزودة بقانوني تشكيل داخليين، يسمى أحدهما جمعاً ويرمز له بـ +، والآخر ضرباً ويرمز له بـ ×، بحيث يتحقق ما يلي:
1- المجموعة س تكون زمرة تبديلية بالنسبة للجمع[ر].
2- الضرب تجميعي؛ أي: (س × ع) × ص = س × (ع × ص) لكل ثلاثة عناصر س، ع، ص من س.
3- الضرب توزيعي على الجمع، أي:
س × (ع + ص) = س × ع + س × ص، (ع + ص) × س= ع × س + ص × س لكل ثلاثة عناصر س، ع، ص من س.
وفيما يلي يستخدم الرمز س، بغية الاختصار للدلالة على الحلقة.
تسميات:
1- تسمى الزمرة التبديلية (س، +) الزمرة الجمعية للحلقة س، ويسمى محايد هذه الزمرة صفر الحلقة س، ويرمز له، تجاوزاً بالرمز \.
2- إذا كان الضرب تبديلياً على س فإنها تسمى حلقة تبديلية.
3- إذا كان يوجد في س عنصر محايد بالنسبة للضرب فإنه يسمى واحد الحلقة س، ويرمز له، تجاوزاً، بالرمز 1 وتسمى س، حينئذٍ، حلقة واحدية.
أمثلة:
1- كل من مجموعات الأعداد: الصحيحة ص، المنطقة ع، الحقيقة ح، العقدية ق[ر]، حلقة تبديلية، وواحدية بالنسبة للجمع والضرب المألوفين عليها.
2- مجموعة الأعداد الصحيحة الزوجية حلقة تبديلية وغير واحدية بالنسبة لجمع الأعداد وضربها.
3- مجموعةُ المصفوفات المربعة من المرتبة الثانية م2 (ح)، التي عناصر كل مصفوفة منها أعداد حقيقية، حلقة واحدية وغير تبديلية بالنسبة لجمع المصفوفات وضربها:
إنّ صفر هذه الحلقة هو
وواحدها هو 
، وإنَّ:
4- لـيكن هـ' ص ، هـ < \ إذا كان س، ع ' ص ، وكـان: [س ك ع عندما وفقط عندما س º ع (قياس هـ)]، فتـكون ك علاقة تـكافـؤ على ص، وتـكـون مجموعةُ صفوفِ التكافؤ ص/هـ ص = {[\]، [1]، [2]،...، [هـ -1]}، بفرض أن [س] = {س + هـ × ص: ص ' ص} وَ \ ³ س ³ هـ -1 حلقةً تبديليةً وواحديةً بالنسبة للجمع والضرب الآتيين:
[س] + [ع] = [س + ع]، [س] × [ع] = [س× ع]، حيث صفرها هو [\] وواحدها هو [1].
قواعد عامة
1- للمعادلة أ + ع = ب، حيث أ، ب 'س حل وحيد في س هو ع = ب+ (-أ) = ب - أ.
2- الضرب توزيعي على الطرح في س.
3- إذا كان أ، ب ' س فإنّ:
أ× \ = \ = \ × أ، (-أ) × ب = - (أ × ب) = أ × (-ب)، (-أ) × (-ب) = أ × ب.
4- إذا كان أ، ب ' س وَ أ ≠ \، ب ≠ \، أ × ب = \ [ولكن ليس من الضروري أن يكون ب × أ = \ (انظر المثال الثالث)]، فإنه يقال إن أ قاسم يميني للصفر وإن ب قاسم يساري للصفر. وإذا كانت الحلقة تبديلية فيقال إن هذين العنصرين قاسمان للصفر فيها.
فمثلاً: [2]، [3] قاسمان للصفر في الحلقة ص/6ص.
5- المنطقة الصحيحة (التكاملية) هي حلقة تبديلية وواحدية، ولا تتألف من صفرها فقط، ولا تحوي قواسم للصفر. فمثلاً، كل من الحلقتين ص، ص/هـ ص، بفرض أن هـ أولي، منطقة صحيحة، بينما كل من الحلقتين م2 (ح)، ص/6ص ليست بمنطقة صحيحة.
«ملاحظة: يحذف بعضهم شرط كون الحلقة واحدية عند تعريف المنطقة الصحيحة».
6- تعريف: إذا كان هـ ' ص، هـ < \، فإنّ: أ هـ = أ × أ × … × أ، هـ أ = أ + أ + … + أ، (-هـ) أ = هـ (-أ). أما إذا كان هـ = \ فإنّ
\أ = \ ' س. ومنه (أ+ب)2 = (أ+ب) × (أ+ب) = أ 2+ ب × أ + أ× ب + ب2. وإذا كانت الحلقة س تبديلية فإنّ:
(أ + ب)2=أ 2+2 أ × ب + ب2، وإنّ:
(أ+ب)هـ= أ هـ + هـ أ هـ-1 × ب + … + (رهـ) أ هـ - ر × ب ر + ... + بهـ،
حيث:
7- يقال عن المجموعة الجزئية غير الخالية ج من الحلقة (س ، +،×) إنها حلقة جزئية منها إذا كان:
س - ع ' ج، س × ع ' ج وذلك لكل عنصرين س، ع ، من ج. وعلى هذا فإن الحلقة س حلقة جزئية من س وإن المجموعة {\} حلقة جزئية من س.
8- يقال عن عنصر ع من حلقة واحدية إنه قَلوبٌ فيها إذا انتمى إليها عنصر مثـل ع-1، يسمى مقلوب ع، بحيث يكون ع × ع -1= ع -1× ع = 1.
المميّز
إذا كان هـ أصغر عدد صحيح موجب محقق للشرط هـ س = \ لأجل كل س من س فإن هـ يدعى مميّز س.
أما إذا كان هـ غير موجود فإن الصفر يعتبر مميِّز س.
إذا كانت س واحدية فيكفي البحث عن وجود هـ أو عدم وجودها باستخدام الشرط هـ 1 =\.
نتائج:
1- مميز الحلقة ص/هـ ص هو هـ.
2- إذا كانت س منطقة صحيحة فإن مميزها يكون إما صفراً أو عدداً أولياً مثل هـ. وفي الحالة الأخيرة، إذا كانت س، ع، …، ص، أيّ عناصر من س، فإنّ:
أ - (س + ع + … + ص) هـ = س هـ + ع هـ + ... + ص هـ
ب - س هـ = س عندما تكون س = ك1، بفرض أن ك عدد طبيعي (مناسب).
3- مبرهنة فِرْما Fermat: إذا كان هـ عدداً أولياً فإنّ:
سهـ = س (قياس هـ) لأجل كل عدد صحيح س.
المثاليات
«يفترض فيما يلي أن مـ مجموعة جزئية غير خالية من س»:
1- المثالي الوحيد الجانب: يقال عن مـ إنها مثالي يساري (يميني) لـ س إذا كان س - ع ' مـ، س × أ ' مـ (أ× س ' مـ) وذلك لأجل أيّ س، ع من مـ وأيّ أ من س.
2- المثالي الثنائي الجانب: يقال عن مـ إنها مثالي ثنائي الجانب (أو، اختصاراً، مثالي) للحلقة س إذا كانت مـ مثالياً يمينياً ويسارياً بآنٍ واحد لـ س.
3- نتائج:
أ - إذا كانت س تبديلية فكل مثالي وحيد الجانب لها يكون مثالياً ثنائي الجانب لها.
ب - المجموعة س هي مثالي للحلقة س، والمجموعة {\} هي مثالي للحلقة س، ويدعى الأخير المثالي الصفري.
حـ - كل مثالي (وحيد الجانب أو ثنائي الجانب) للحلقة هو حلقة جزئية منها.
د - تقاطع أيّ مثاليين يساريين (يمينيين، ثنائيي الجانب) للحلقة هو مثالي يساري (يميني، ثنائي الجانب) لها.
هـ - إذا انتمى عنصر قَلوبٌ إلى أيّ مثالي يساري (يميني، ثنائي الجانب) مـ للحلقة الواحدية فإن مـ يساوي الحلقة نفسها.
4- المثاليات الرئيسة:
أ ـ المثالي الرئيس اليميني مـ لـ س المولَّد بعنصر ع ' س: هو المجموعة مـ = {هـ ع + س × ع: هـ ' ص، س ' س}؛ وإذا كانت س واحدية فإنَّ:
مـ = {ك × ع: ك ' س} = س × ع.
ب ـ المثالي الرئيس اليساري مـ لـ س المولد بعنصر ع ' س هو المجموعة:
مـ = {هـ ع + ع × س: هـ ' ص، س ' س}، وإذا كانت س واحدية فإنّ:
مـ = {ع × ك: ك ' س} = ع × س.
حـ - المثـالي الرئيـس مـ لــ س المولَّد بعنصر ع ' س: هو المجمـوعـة مـ = (ع) التي تـساوي تقاطع جميع المثـاليـات لـ س التي كـل منـها يحوي ع. فـإذا كـانت س تـبديـليـة فإنّ: (ع) = {هـ ع + س × ع: هـ ' ص، س ' س}، وإذا كانت س تبديلية وواحدية فإن (ع) = س × ع = ع × س. أما إذا كانت س واحدية وغير تبديلية فإن (ع) يتكون من العناصر التي كل منها يساوي مجموعاً منتهياً لعناصر من الشكل س × ع × ف، حيث س، ف ' س.
مثال: المثالي الصفري هو مثالي رئيس مولَّد بصفر الحلقة، أيْ: {\}= (\)، ثم إذا كانت س واحدية فإنها تكون مثالياً رئيساً مولَّداً بواحدها، أي: س = (1).
5- تتمات:
أ - إذا كانت س تبديلية وواحدية، وكانت هـ1، هـ2،...، هـر عناصر منها، فإن المثالي (هـ1، هـ2،....، هـر) المولَّد بهذه العناصر يتألف من العناصر ذات الشكل:
هـ1 × س1 + هـ2 × س2+..... + هـر × سر، حيث س1، س2،... سر ' س.
ب - يبرهن أن كل مثالي للحلقة ص رئيس، وله الشكل: (ك)، حيث ك £ \.
حـ - تسمى المنطقة الصحيحةُ، التي كل مثالي لها رئيس، حلقة المثاليات الرئيسة.
6- بعض العمليات على المثاليات: ليكن مـ1، مـ2، مثاليين يساريين (يمينيين، ثنائيي الجانب) لـ س. عندئذ:
أ - حـاصـل ضـرب مـ1 بـ مـ2 هو المثالي اليـساري (اليميني، الثنائي الجانب) مـ1 × مـ2 المؤلف من العناصر التي كل منها يـساوي مجمـوعـاً منتهياً لعنـاصر من الـشكل س1× س2، حيث س1 ' مـ1، س2 ' مـ2.
ب - حاصل جمع مـ1 مع مـ2 هو المثالي اليساري (اليمني، الثنائي الجانب) مـ1 + مـ2 المؤلف من العناصر التي كل منها له الشكل: س1 + س2، حيث س1 ' مـ1، س2 ' مـ2.
نتيجة: إذا كان (س) + (ع) = (1) في حلقة المثاليات الرئيسة فيقال إن المثاليين (س)، (ع) أوليان فيما بينهما، وهذا يعني وجود عنصرين مثل س1، ع1 في هذه الحلقة بحيث يكون:
س × س1 + ع × ع1 = 1.
المثاليات وعلاقات التكافؤ
1- التشاكل الحلقي: هو تطبيق مثل تا: س ¬سَ ، منطلقه حلقة س ومستقره حلقة سَ، بحيث يكون:
تا(س + ع) = تا(س) + تا(ع)، تا(س × ع) = تا(س) × تا(ع) وذلك لكل عنصرين س، ع من س.
تعرَّف نواة تا بأنها المجموعة:
نو تا = {س: ' س ، تا(س) = \َ } = تا -1 (\َ )حيث \َ هو صفر سَ. ويبرهن أنّ:
أ - صورة أيّ حلقة جزئية من س وفق تا تكون حلقة جزئية من سَ.
ب - الصورة العكسية لأيّ حلقة جزئية من سَ وفق تا تكون حلقة جزئية من س.
حـ - الصورة العكسية لأيّ مثالي يساري (يميني، ثنائي الجانب) للحلقة سَ. وفق تا تكون مثالياً يسارياً (يمينياً، ثنائي الجانب) للحلقة س.
د - نواة تا تكون مثالياً لـ س.
هـ - الشرط اللازم والكافي كيْ يكون تا متبايناً هو: نو تا ={\}.
إذا كان تا متبايناً وغامراً فإنه يسمى تماثلاً حلقياً، ويقال، حينئذ، إنّ س، سَ متماثلتان ويرمز ذلك س » سَ .
2- التوافق على س: هو علاقة تكافؤ مثل ر معرفة على س بحيث يتحقق ما يأتي:
إذا كان س، ع، ص، ف ' س بحيث س ر ع ، ص ر ف فإنّ:
(- س) ر (- ع)، (س + ص) ر (ع + ف)، (س × ص) ر (ع × ف).
إذا كـانت ر تـوافقـاً على س فإن مجمـوعة صفوف التكافؤ س/ ر حلقة بالنسبة للقانونين: [س] + [ع] = [س + ع]، [س] × [ع] = [س × ع]؛ ويوجد التشاكل الحلقي الغامر قــا: س ¬ س/ر الذي قاعدة ربطه: قا(س) = [س]. تسمى س/ ر حلقة الخارج، ويسمى قا الغمر القانوني.
3- نتائج:
أ ـ إذا كان تا: س ¬ سَ تشاكلاً حلقياً، فإنه يوجد توافق مثل ر على س، وتشاكل حلقي متباين مثل
ها: س/ ر ¬ سَ بحيث يكون تا = ها o قا.
يكفي، للبرهان، وضع: [س ر ع عندما وفقط عندما تا(س) = تا(ع)] وَ [ها ([س]) = تا (س)].
ب ـ يوجد تقابل بين مثاليات أيّ حلقة س والتوافقات على هذه الحلقة.
يكفي، للبرهان، وضع: (س ر ع عندما وفقط عندما س - ع ' مـ). فتكون ر توافقاً على س (مقابلاً للمثالي مـ)، وبالعكس يكفي أخذ مـ = {س: س ' س، س ر \} فتكون مـ مثالياً لـ س (مقابلاً للتوافق ر). ويكتب عندها س/مـ بدلاً من س/ر ، ويرمز لصف التكافؤ [س] بالرمز س + مـ حيث س ' س ومنه:
إذا كان تا: س ¬ سَ تشاكلاً حلقياً، فإنّ تا(س) » نو س / تا.
عبد الواحد أبو حمدة
Ring - Anneau
الحلقة
الحلقة ring (س ، +، ×) هي مجموعة غير خالية س، مزودة بقانوني تشكيل داخليين، يسمى أحدهما جمعاً ويرمز له بـ +، والآخر ضرباً ويرمز له بـ ×، بحيث يتحقق ما يلي:
1- المجموعة س تكون زمرة تبديلية بالنسبة للجمع[ر].
2- الضرب تجميعي؛ أي: (س × ع) × ص = س × (ع × ص) لكل ثلاثة عناصر س، ع، ص من س.
3- الضرب توزيعي على الجمع، أي:
س × (ع + ص) = س × ع + س × ص، (ع + ص) × س= ع × س + ص × س لكل ثلاثة عناصر س، ع، ص من س.
وفيما يلي يستخدم الرمز س، بغية الاختصار للدلالة على الحلقة.
تسميات:
1- تسمى الزمرة التبديلية (س، +) الزمرة الجمعية للحلقة س، ويسمى محايد هذه الزمرة صفر الحلقة س، ويرمز له، تجاوزاً بالرمز \.
2- إذا كان الضرب تبديلياً على س فإنها تسمى حلقة تبديلية.
3- إذا كان يوجد في س عنصر محايد بالنسبة للضرب فإنه يسمى واحد الحلقة س، ويرمز له، تجاوزاً، بالرمز 1 وتسمى س، حينئذٍ، حلقة واحدية.
أمثلة:
1- كل من مجموعات الأعداد: الصحيحة ص، المنطقة ع، الحقيقة ح، العقدية ق[ر]، حلقة تبديلية، وواحدية بالنسبة للجمع والضرب المألوفين عليها.
2- مجموعة الأعداد الصحيحة الزوجية حلقة تبديلية وغير واحدية بالنسبة لجمع الأعداد وضربها.
3- مجموعةُ المصفوفات المربعة من المرتبة الثانية م2 (ح)، التي عناصر كل مصفوفة منها أعداد حقيقية، حلقة واحدية وغير تبديلية بالنسبة لجمع المصفوفات وضربها:
إنّ صفر هذه الحلقة هو
وواحدها هو ، وإنَّ:4- لـيكن هـ' ص ، هـ < \ إذا كان س، ع ' ص ، وكـان: [س ك ع عندما وفقط عندما س º ع (قياس هـ)]، فتـكون ك علاقة تـكافـؤ على ص، وتـكـون مجموعةُ صفوفِ التكافؤ ص/هـ ص = {[\]، [1]، [2]،...، [هـ -1]}، بفرض أن [س] = {س + هـ × ص: ص ' ص} وَ \ ³ س ³ هـ -1 حلقةً تبديليةً وواحديةً بالنسبة للجمع والضرب الآتيين:
[س] + [ع] = [س + ع]، [س] × [ع] = [س× ع]، حيث صفرها هو [\] وواحدها هو [1].
قواعد عامة
1- للمعادلة أ + ع = ب، حيث أ، ب 'س حل وحيد في س هو ع = ب+ (-أ) = ب - أ.
2- الضرب توزيعي على الطرح في س.
3- إذا كان أ، ب ' س فإنّ:
أ× \ = \ = \ × أ، (-أ) × ب = - (أ × ب) = أ × (-ب)، (-أ) × (-ب) = أ × ب.
4- إذا كان أ، ب ' س وَ أ ≠ \، ب ≠ \، أ × ب = \ [ولكن ليس من الضروري أن يكون ب × أ = \ (انظر المثال الثالث)]، فإنه يقال إن أ قاسم يميني للصفر وإن ب قاسم يساري للصفر. وإذا كانت الحلقة تبديلية فيقال إن هذين العنصرين قاسمان للصفر فيها.
فمثلاً: [2]، [3] قاسمان للصفر في الحلقة ص/6ص.
5- المنطقة الصحيحة (التكاملية) هي حلقة تبديلية وواحدية، ولا تتألف من صفرها فقط، ولا تحوي قواسم للصفر. فمثلاً، كل من الحلقتين ص، ص/هـ ص، بفرض أن هـ أولي، منطقة صحيحة، بينما كل من الحلقتين م2 (ح)، ص/6ص ليست بمنطقة صحيحة.
«ملاحظة: يحذف بعضهم شرط كون الحلقة واحدية عند تعريف المنطقة الصحيحة».
6- تعريف: إذا كان هـ ' ص، هـ < \، فإنّ: أ هـ = أ × أ × … × أ، هـ أ = أ + أ + … + أ، (-هـ) أ = هـ (-أ). أما إذا كان هـ = \ فإنّ
\أ = \ ' س. ومنه (أ+ب)2 = (أ+ب) × (أ+ب) = أ 2+ ب × أ + أ× ب + ب2. وإذا كانت الحلقة س تبديلية فإنّ:
(أ + ب)2=أ 2+2 أ × ب + ب2، وإنّ:
(أ+ب)هـ= أ هـ + هـ أ هـ-1 × ب + … + (رهـ) أ هـ - ر × ب ر + ... + بهـ،
حيث:
7- يقال عن المجموعة الجزئية غير الخالية ج من الحلقة (س ، +،×) إنها حلقة جزئية منها إذا كان:
س - ع ' ج، س × ع ' ج وذلك لكل عنصرين س، ع ، من ج. وعلى هذا فإن الحلقة س حلقة جزئية من س وإن المجموعة {\} حلقة جزئية من س.
8- يقال عن عنصر ع من حلقة واحدية إنه قَلوبٌ فيها إذا انتمى إليها عنصر مثـل ع-1، يسمى مقلوب ع، بحيث يكون ع × ع -1= ع -1× ع = 1.
المميّز
إذا كان هـ أصغر عدد صحيح موجب محقق للشرط هـ س = \ لأجل كل س من س فإن هـ يدعى مميّز س.
أما إذا كان هـ غير موجود فإن الصفر يعتبر مميِّز س.
إذا كانت س واحدية فيكفي البحث عن وجود هـ أو عدم وجودها باستخدام الشرط هـ 1 =\.
نتائج:
1- مميز الحلقة ص/هـ ص هو هـ.
2- إذا كانت س منطقة صحيحة فإن مميزها يكون إما صفراً أو عدداً أولياً مثل هـ. وفي الحالة الأخيرة، إذا كانت س، ع، …، ص، أيّ عناصر من س، فإنّ:
أ - (س + ع + … + ص) هـ = س هـ + ع هـ + ... + ص هـ
ب - س هـ = س عندما تكون س = ك1، بفرض أن ك عدد طبيعي (مناسب).
3- مبرهنة فِرْما Fermat: إذا كان هـ عدداً أولياً فإنّ:
سهـ = س (قياس هـ) لأجل كل عدد صحيح س.
المثاليات
«يفترض فيما يلي أن مـ مجموعة جزئية غير خالية من س»:
1- المثالي الوحيد الجانب: يقال عن مـ إنها مثالي يساري (يميني) لـ س إذا كان س - ع ' مـ، س × أ ' مـ (أ× س ' مـ) وذلك لأجل أيّ س، ع من مـ وأيّ أ من س.
2- المثالي الثنائي الجانب: يقال عن مـ إنها مثالي ثنائي الجانب (أو، اختصاراً، مثالي) للحلقة س إذا كانت مـ مثالياً يمينياً ويسارياً بآنٍ واحد لـ س.
3- نتائج:
أ - إذا كانت س تبديلية فكل مثالي وحيد الجانب لها يكون مثالياً ثنائي الجانب لها.
ب - المجموعة س هي مثالي للحلقة س، والمجموعة {\} هي مثالي للحلقة س، ويدعى الأخير المثالي الصفري.
حـ - كل مثالي (وحيد الجانب أو ثنائي الجانب) للحلقة هو حلقة جزئية منها.
د - تقاطع أيّ مثاليين يساريين (يمينيين، ثنائيي الجانب) للحلقة هو مثالي يساري (يميني، ثنائي الجانب) لها.
هـ - إذا انتمى عنصر قَلوبٌ إلى أيّ مثالي يساري (يميني، ثنائي الجانب) مـ للحلقة الواحدية فإن مـ يساوي الحلقة نفسها.
4- المثاليات الرئيسة:
أ ـ المثالي الرئيس اليميني مـ لـ س المولَّد بعنصر ع ' س: هو المجموعة مـ = {هـ ع + س × ع: هـ ' ص، س ' س}؛ وإذا كانت س واحدية فإنَّ:
مـ = {ك × ع: ك ' س} = س × ع.
ب ـ المثالي الرئيس اليساري مـ لـ س المولد بعنصر ع ' س هو المجموعة:
مـ = {هـ ع + ع × س: هـ ' ص، س ' س}، وإذا كانت س واحدية فإنّ:
مـ = {ع × ك: ك ' س} = ع × س.
حـ - المثـالي الرئيـس مـ لــ س المولَّد بعنصر ع ' س: هو المجمـوعـة مـ = (ع) التي تـساوي تقاطع جميع المثـاليـات لـ س التي كـل منـها يحوي ع. فـإذا كـانت س تـبديـليـة فإنّ: (ع) = {هـ ع + س × ع: هـ ' ص، س ' س}، وإذا كانت س تبديلية وواحدية فإن (ع) = س × ع = ع × س. أما إذا كانت س واحدية وغير تبديلية فإن (ع) يتكون من العناصر التي كل منها يساوي مجموعاً منتهياً لعناصر من الشكل س × ع × ف، حيث س، ف ' س.
مثال: المثالي الصفري هو مثالي رئيس مولَّد بصفر الحلقة، أيْ: {\}= (\)، ثم إذا كانت س واحدية فإنها تكون مثالياً رئيساً مولَّداً بواحدها، أي: س = (1).
5- تتمات:
أ - إذا كانت س تبديلية وواحدية، وكانت هـ1، هـ2،...، هـر عناصر منها، فإن المثالي (هـ1، هـ2،....، هـر) المولَّد بهذه العناصر يتألف من العناصر ذات الشكل:
هـ1 × س1 + هـ2 × س2+..... + هـر × سر، حيث س1، س2،... سر ' س.
ب - يبرهن أن كل مثالي للحلقة ص رئيس، وله الشكل: (ك)، حيث ك £ \.
حـ - تسمى المنطقة الصحيحةُ، التي كل مثالي لها رئيس، حلقة المثاليات الرئيسة.
6- بعض العمليات على المثاليات: ليكن مـ1، مـ2، مثاليين يساريين (يمينيين، ثنائيي الجانب) لـ س. عندئذ:
أ - حـاصـل ضـرب مـ1 بـ مـ2 هو المثالي اليـساري (اليميني، الثنائي الجانب) مـ1 × مـ2 المؤلف من العناصر التي كل منها يـساوي مجمـوعـاً منتهياً لعنـاصر من الـشكل س1× س2، حيث س1 ' مـ1، س2 ' مـ2.
ب - حاصل جمع مـ1 مع مـ2 هو المثالي اليساري (اليمني، الثنائي الجانب) مـ1 + مـ2 المؤلف من العناصر التي كل منها له الشكل: س1 + س2، حيث س1 ' مـ1، س2 ' مـ2.
نتيجة: إذا كان (س) + (ع) = (1) في حلقة المثاليات الرئيسة فيقال إن المثاليين (س)، (ع) أوليان فيما بينهما، وهذا يعني وجود عنصرين مثل س1، ع1 في هذه الحلقة بحيث يكون:
س × س1 + ع × ع1 = 1.
المثاليات وعلاقات التكافؤ
1- التشاكل الحلقي: هو تطبيق مثل تا: س ¬سَ ، منطلقه حلقة س ومستقره حلقة سَ، بحيث يكون:
تا(س + ع) = تا(س) + تا(ع)، تا(س × ع) = تا(س) × تا(ع) وذلك لكل عنصرين س، ع من س.
تعرَّف نواة تا بأنها المجموعة:
نو تا = {س: ' س ، تا(س) = \َ } = تا -1 (\َ )حيث \َ هو صفر سَ. ويبرهن أنّ:
أ - صورة أيّ حلقة جزئية من س وفق تا تكون حلقة جزئية من سَ.
ب - الصورة العكسية لأيّ حلقة جزئية من سَ وفق تا تكون حلقة جزئية من س.
حـ - الصورة العكسية لأيّ مثالي يساري (يميني، ثنائي الجانب) للحلقة سَ. وفق تا تكون مثالياً يسارياً (يمينياً، ثنائي الجانب) للحلقة س.
د - نواة تا تكون مثالياً لـ س.
هـ - الشرط اللازم والكافي كيْ يكون تا متبايناً هو: نو تا ={\}.
إذا كان تا متبايناً وغامراً فإنه يسمى تماثلاً حلقياً، ويقال، حينئذ، إنّ س، سَ متماثلتان ويرمز ذلك س » سَ .
2- التوافق على س: هو علاقة تكافؤ مثل ر معرفة على س بحيث يتحقق ما يأتي:
إذا كان س، ع، ص، ف ' س بحيث س ر ع ، ص ر ف فإنّ:
(- س) ر (- ع)، (س + ص) ر (ع + ف)، (س × ص) ر (ع × ف).
إذا كـانت ر تـوافقـاً على س فإن مجمـوعة صفوف التكافؤ س/ ر حلقة بالنسبة للقانونين: [س] + [ع] = [س + ع]، [س] × [ع] = [س × ع]؛ ويوجد التشاكل الحلقي الغامر قــا: س ¬ س/ر الذي قاعدة ربطه: قا(س) = [س]. تسمى س/ ر حلقة الخارج، ويسمى قا الغمر القانوني.
3- نتائج:
أ ـ إذا كان تا: س ¬ سَ تشاكلاً حلقياً، فإنه يوجد توافق مثل ر على س، وتشاكل حلقي متباين مثل
ها: س/ ر ¬ سَ بحيث يكون تا = ها o قا.
يكفي، للبرهان، وضع: [س ر ع عندما وفقط عندما تا(س) = تا(ع)] وَ [ها ([س]) = تا (س)].
ب ـ يوجد تقابل بين مثاليات أيّ حلقة س والتوافقات على هذه الحلقة.
يكفي، للبرهان، وضع: (س ر ع عندما وفقط عندما س - ع ' مـ). فتكون ر توافقاً على س (مقابلاً للمثالي مـ)، وبالعكس يكفي أخذ مـ = {س: س ' س، س ر \} فتكون مـ مثالياً لـ س (مقابلاً للتوافق ر). ويكتب عندها س/مـ بدلاً من س/ر ، ويرمز لصف التكافؤ [س] بالرمز س + مـ حيث س ' س ومنه:
إذا كان تا: س ¬ سَ تشاكلاً حلقياً، فإنّ تا(س) » نو س / تا.
عبد الواحد أبو حمدة