تويت
حركه (علم)
kinematics - Cinématique
الحركة (علم-)
علم الحركة kinematics هو فرع من علم الميكانيك يُعنى بدراسة تغير موضع نقطة مادية، أو مجموعة مادية مع الزمن، دون التعرض لأسباب هذا التغير.
حركة النقطة المادية
1- موضع النقطة المادية والمعادلة الزمنية للحركة: يتعين موضع نقطة مادية ن على المنحني الموجه الحامل لمسارها بالفاصلة المنحنية
، بافتراض م0 مبدأ الفواصل على هذا المنحني. تسمى المعادلة ف = ف (ز) المعادلة الزمنية للحركة، ويدعى الخط البياني الممثل لتغيرات الدالة ف (ز) مخطط الحركة. ويتعين موضع النقطة ن في الفضاء في مجموعة إحداثيات ديكارتية قائمة ومباشرة (م س ع ص) بإسقاط متَّجه الموضع 
على هذه المحاور، ويطلق على المعادلات س = س (ز)، ع =ع (ز)، ص = ص (ز)، اسم المعادلات الديكارتية لحركة النقطة ن، وتمثل هذه المعادلات أيضاً المعادلات الوسيطية لمسار النقطة ن.
2- السرعة: تعرّف السرعة الوسطى للنقطة ن خلال الفترة الزمنية Dز بأنها نسبة تغير متَّجه الموضع على تغير الزمن ويكتب:
تعرّف السرعة الآنية للنقطة ن بأنها نهاية السرعة الوسطى عندما يسعى تغير الزمن إلى الصفر، وتكتب:
ويُحمل متَّجه السرعة سر على المماس في النقطة ن لمسار النقطة ويعبّر عن ذلك بالعلاقة:
بافتراض 
متَّجه الواحدة للمماس، وتكون مركبات متَّجه السرعة على المحاور الإحداثية هي: سرسـ = سَ(ز)، سرعـ = عَ(ز)، سرصـ = صَ(ز). أما قياس متَّجه السرعة فيتعين من العلاقة:
وإذا رسم في نقطةٍ ما م1 في الفضاء متَّجه يساير متَّجه السرعة، فإن نهاية هذا المتَّجه ولتكن ن1 ترسم في الفضاء عندما تتحرك ن على مسارها منحنياً يدعى راسم الخطى للنقطة ن.
3- التسارع:
أ ـ التسارع الوسطي والتسارع الآني: يعرف التسارع الوسطي للنقطة ن بأنه نسبة تغير متَّجه السرعة إلى تغير الزمن ويكتب بالشكل:
وعندما يتناهى تغير الزمن إلى الصفر، فإن التسارع الوسطي يتناهى إلى متَّجه التسارع الآني للنقطة ن ويكتب:
ويلاحظ أن متَّجه قيمة تسارع النقطة ن يساوي متَّجه سرعة النقطة ن1 في حركتها على راسم الخطى. وتكون مركبات متَّجه التسارع في مجموعة الإحداثيات م س ع ص، هي:
تعسـ = سً(ز)، تععـ = عً(ز)، تعصـ = صً(ز)
كما هو ظاهر في (الشكل-1).
ب ـ التسارع المماسي والتسارع الناظمي: لما كان متَّجه التسارع هو المشتق الزمني لمتَّجه السرعة، فإن اشتقاق العبارة 
للسرعة يعطي:
بَيْدَ أن
حيث فَ هو مشتق الفاصلة المنحنية للنقطة ن ويساوي القيمة العددية لسرعتها أي فَ = سر، و
متَّجه الواحدة للناظم على مسار ن، ونق نصف قطر تقوس المسار في النقطة ن، وهذا يقود إلى العلاقة:
ويدعى المتّجه
التسارع المماسي لـ ن، ويدعى المتَّجه 
التسارع الناظمي لـ ن ويتجه هذا التسارع نحو تقعر مسار النقطة ن.
الحركات البسيطة لنقطة مادية
1- الحركة المستقيمة: تدعى حركة النقطة المادية ن، مستقيمة إذا كان مسار هذه النقطة محمولاً على مستقيم ثابت. يُحمل كل من متَّجه السرعة ومتَّجه التسارع على هذا المستقيم. تسمى الحركة مستقيمة منتظمة إذا كانت قيمة متَّجه السرعة ثابتة وتكتب معادلة الحركة في هذه الحالة بالشكل:
س = سرز + س0 بفرض س0 الموضع الابتدائي للنقطة ن.
وتسمى الحركة متغيرة بانتظام إذا كانت قيمة متَّجه التسارع ثابتة وتتعين قيمة السرعة في هذه الحالة من العلاقة سر = تع ز + سر0، بفرض سر0 هي السرعة الابتدائية للنقطة المتحركة، وتكتب معادلة الحركة بالشكل:
2- الحركة الدائرية: يقال عن حركة نقطة مادية إنها دائرية، إذا كان مسار النقطة محمولاً على دائرة، وتتعين الفاصلة المنحنية للنقطة في هذه الحالة من العلاقـة:
حيث م0مبدأ الفواصل على محيط الدائرة، ر نصف قطرها. ويُحمل متَّجه السرعة على مماس الدائرة، وتكون قيمته: سر = فَ = (يه ر)َ = يهَ ر. يدعى المقدار (سه = يهَ) السرعة الزاوية للنقطة، وترتبط السرعة الخطية سر والسرعة الزاوية سه بالعلاقة سر= سه . ر.
أما متَّجهة التسارع فلها في الحالة العامة مركبتان: مماسية تُحمل على مماس الدائرة وقيمتها تعمـ = سرَ = سه ر. وناظمية تُحمل على نصف قطر الدائرة وتتجه نحو مركزها قيمتها:
يقال إن الحركة الدائرية منتظمة إذا كانت قيمة السرعة ثابتة، وهذا يقتضي ثبات السرعة الزاوية وانعدام التسارع المماسي مما يجعل تسارع النقطة ناظمياً.
3- الحركة الدورية: يقال إن حركة النقطة المادية ن دورية إذا كانت الدالة الزمنية دالة دورية؛ فإذا تحركت نقطة ن مثلاً حركة دائرية منتظمة، فإن مسقط هذه النقطة على قطرٍ ثابت للدائرة الحاملة لمسار النقطة، يتحرك حركة دورية أو حركة اهتزازية بسيطة، وتكتب المعادلة الزمنية لحركة المسقط بالشكل: س = ب تجب (ي ز + ط)، يدعى مركز الدائرة مركز الاهتزاز، س مطال الحركة، ب سعتها، ي تواترها الزاوي، ط طورها الابتدائي. ويُحمل كل من متَّجهي السرعة والتسارع على قطر الدائرة ويكون متَّجه كل منهما دورياً بالنسبة للزمن وله دور الحركة ذاته وهو:
.
حركة المجموعات المادية، حركة الجسم الصلب
1- حركة مجموعة نقط مادية: تتعين حركة مجموعة نقط مادية إذا عُرفت حركة كل نقطة من المجموعة. ويلزم لتعيين حركة مجموعة مادية عدد من المعادلات الزمنية يساوي عدد درجات حريتها، أي عدد الوسطاء المستقلة الكافية لتعيين موضع جميع نقط المجموعة. ويتعين متَّجه السرعة ومتَّجه التسارع لأي نقطة في المجموعة من اشتقاق متَّجه الموضع لها بالنسبة إلى الزمن مرة أو مرتين.
2- حركة الجسم الصلب: تتعين حركة الجسم الصلب إذا عُرفت حركة ثلاث نقط غير واقعة على استقامة واحدة في هذا الجسم. ولما كان للجسم الصلب ست درجات حرية فإنه يلزم ست معادلات زمنية لتعيين موضع الجسم وحركته.
3- الصفة المميزة لحركة الجسم الصلب: إن الشرط اللازم والكافي كي تتحرك مجموعة مادية تكوّن جسماً صلباً هو أن يتساوى مسقطا سرعتي أي نقطتين من المجموعة على المستقيم الواصل بينهما.
حركات الجسم الصلب البسيطة
1- الحركة الانسحابية: يقال إن حركة الجسم الصلب انسحابية إذا بقي متَّجهٌ ما من الجسم مسايراً لنفسه أثناء الحركة. ويقود هذا التعريف إلى أن سرع جميع نقط الجسم الصلب المتحرك بحركة انسحابية متساوية في كل لحظة، وتعدّ هذه الخاصة صفة مميزة للحركة الانسحابية. ومن ثم تُردُّ دراسة حركة الجسم الصلب الانسحابية إلى دراسة حركة نقطة واحدة من الجسم .
2- الحركة الدورانية حول محور ثابت: يقال إن حركة الجسم الصلب دورانية حول محور إذا بقيت نقطتان ب وجـ مثلاً من الجسم ثابتتين، ويسمى المحور الحامل للقطعة
محور الدوران؛ ويكون للجسم في هذه الحالة درجة حرية واحدة (الشكل-2). ويتعين وضع الجسم بوسيط واحد هو الزاوية (يه) التي يصنعها نصف مستو مثبت بالجسم يحوي محور الدوران مع نصف مستو ثابت يحوي محور الدوران أيضاً. وتَرسم نقط الجسم دوائر تقع في مستويات متوازية تعامد محور الدوران، وتقع مراكزها على هذا المحور. وتتعين إحداثيات نقطةٍ ما ن من الجـسم بالنـسبة إلى جملة محـاور ثابتة م س1ع1ص1 ينطبق محورها (م ص1) على محور الدوران بالشكل التالي:
س1 = س تجب يه - ع جب يه، ع1 = س جب يه + ع تجب يه، ص1 = ص
بفرض (س،ع،ص) إحداثيات النقطة في مجموعة إحداثيات متماسكة مع الجسم ينطبق فيها م ص على م ص1. ويتعين متَّجه سرعة النقطة ن من الجسم بالعلاقة:
( Λرمز عملية الضرب المتَّجهي) بفرض
متَّجه الدوران، ويُعرّف هذا المتَّجه بأنه متَّجه طوله يساوي السرعة الزاوية (يهَ)، وحامله محور الدوران، وجهته بحيث يكون دوران الجسم حوله مباشراً. وتكتب مركبات متَّجه الـسرعة، من إسقاط عبارة الجداء المتَّجهي للـسرعة على مجموعة المحـاور م س1ع1ص1 على النحو التالي:
سَ1 = - ع1سه، عَ1 = س1سه، صَ1 =0
وتكتب العبارة المتجهيّة للتسارع بالشكل التالي:
3- الحركة الدورانية حول نقطة ثابتة: إذا ثبت في جسم صلب نقطة واحدة، فإن الجسم يتحرك في كل لحظة بحركة دورانية حول محورٍ يمر بتلك النقطة يدعـى محور الدوران الآني (اللحظي)، ويُحمل عليه متَّجه الدوران الآني
الذي لا يتعلـق بنقـط الجـسم.
فـإذا افتـرض أن (ب1،جـ1،د1) هي مركبات متَّجه الدوران على جملة محاور ثابتة مبدؤها النقطة الثابتة م فإن مركبات متَّجه سرعة نقطة ن من الجسم هي مساقط العبارة
وتكتب بالتالي بالشكل:
سَ1 = جـ1ص1 – د1ع1، عَ1 = د1س1 – ب1ص1، صَ1 = ب1ع1 – جـ1س1
إن للجسم الصلب في هذه الحركة ثلاث درجات حرية ويتعين موضع أي نقطة من الجسم وحركتها بوساطة ثلاث زوايا مستقلة هي زوايا أولر Euler’s angles.
ويَرسم محور الدوران الآني في الفضاء الثابت سطحاً مخروطياً ذروته النقطة الثابتة م ومعادلاته:
ويُدعى هذا السطح القاعدة، كما يرسم في الفضاء المتماسك مع الجسم سطحاً مخروطياً ذروته النقطة م ذاتها معادلاته:
حيث (ب، جـ، د) مركبات متَّجه الدوران على جملة محاور مبدؤها م متماسكة مع الجسم، ويدعى هذا السطح المخروطي المتدحرج، ويشترك السطحان المخروطيان في كل لحظة بمولد سرع نقطة معدومة في تلك اللحظة هو المحور الآني للدوران (الشكل-3).
4- الحركة المستوية للجسم الصلب: هي حركة جسم صلب تتحرك كل نقطة منه في مستو ثابت يوازي مستوياً ثابتاً في الفضاء يسمى المستوي الأساسي للحركة. إن أي مستقيم متماسك مع الجسم ويعامد المستوي الأساسي للحركة يتحرك بحركة انسحابية، لذا يكفي لدراسة الحركة المستوية دراسة حركة مستو متماسكٍ مع الجسم واقعٍ في المستوي الأساسي للحركة. لذا فإن للحركة المستوية ثلاث درجات حرية، ويتعين موضع أي نقطة من الجسم بوساطة ثلاث وسطاء تُختار بالشكل التالي: إحداثيات نقطة من الجسم يطلق عليها اسم القطب ولتكن م0(س0،ع0) وزاوية (يه) يصنعها مستقيم من المستوي المتحرك مع مستقيم ثابت في المستوي الثابت. ويكتب إحداثيا نقطة من المستوي المتحرك بالنسبة إلى جملة إحداثيات ثابتة م1س1ع1 بالشكل التالي:
س1= س0 + س تجب يه – ع جب يه، ع1 = ع0 + س جب يه + ع تجب يه
أ ـ السرع: يتعين متَّجه السرعة لنقطةٍ ن من المستوي المتحرك بالعلاقة:
هو متَّجه سرعة القطب، و
متَّجه الدوران الآني وهو متَّجه قيمته تساوي (يهَ) ومنحاه يعامد مستوي الحركة، ولاتتعلق قيمته باختيار القطب، وتدل عبارة السرعة على أن الحركة المستوية يمكن أن تعدّ انسحاباًَ مع القطب ودوراناً حول القطب. وتتعين مركبات متَّجه السرعة إما بإسقاط عبارة متَّجه السرعة أو باشتقاق إحداثيات النقطة.
ب ـ المركز الآني للدوران ـ القاعدة والمتدحرج: المركز الآني للدوران هو نقطة (مر) من المستوي المتحرك سرعتها بالنسبة إلى المستوي الثابت معدومة في اللحظة المذكورة؛ وإذا اختيرت هذه النقطة قطباً للحركة فإن عبارة متَّجه السرعة لنقطة ن من المستوي المتحرك تغدو بالشكل:
، وهذا يدل على أن المستوي يتحرك حركة دورانية حول المركز الآني للدوران في كل لحظة. ويمكن تعيين المركز الآني للدوران هندسياً إذا عُلمت سرعتا نقطتين ب وجـ مثلاً من المستوي المتحرك وكانت 
لاتوازي 
، وذلك بإقامة عمودٍ من ب على، وعمودٍ من جـ على فيتقاطع العمودان بنقطة هي المركز الآني للدوران. أما إذا كان 
فإن المركز الآني للدوران يكون نقطة تقاطع المستقيم ب جـ على المستقيم الواصل بين نهاية المتجه ونهاية المتجه (الشكل-4).
يرسم المركز الآني للدوران في المستوي الثابت منحنياً يدعى القاعدة، ويرسم المستوي المتحرك منحنياً يدعى المتدحرج، ويشترك هذان المنحنيان في كل لحظة بنقطة واحدة هي المركز الآني للدوران. لذا يقال إن الحركة تجرّي بتدحرج المتدحرج دون انزلاق على القاعدة لأن السرعة الانزلاقية لنقطة التماس تساوي الصفر في كل لحظة.
ج ـ التسارع: يتعين متَّجه تسارع نقطةٍ ن من المستوي المتحرك باشتقاق متَّجه سرعتها وهذا يقود إلى العلاقة الآتية:
حيث
هو متَّجه تسارع القطب و
متَّجه التسارع الزاوي، وتدعى النقطة من المستوي المتحرك التي ينعدم تسارعها في لحظةٍ ما مركز التسارع المعدوم، ويكون تسارع أي نقطة من المستوي المتحرك تسارعاً دورانياً فحسب حول هذا المركز. وتجدر الإشارة إلى أن المركز الآني للدوران لاينطبق في الحالة العامة على مركز التسارع المعدوم، وإذا انطبقا غدت تلك النقطة ثابتة.
د ـ دائرة الانعطافات والدائرة المماسية: دائرة الانعطافات هي مجموعة نقط المستوي المتحرك التي تكوّن نقطَ انعطافٍ على مساراتها في لحظة ما. أي هي المحل الهندسي لنقط المستوي المتحرك التي ينعدم تسارعها الناظمي في اللحظة المذكورة، ويحذف المركز الآني من مجموعة نقط المحل الهندسي؛ أما الدائرة المماسية فهي المحل الهندسي لنقط المستوي المتحرك التي تكون تسارعاتها المماسية معدومة في لحظةٍ ما، ويحذف المركز الآني للدوران أيضاً من مجموعة المحل الهندسي المذكور. وتشترك دائرة الانعطافات والدائرة المماسية بنقطة (غير المركز الآني للدوران) هي مركز التسارع المعدوم.
هـ ـ تعيين مركز تقوس مسار نقطة من المستوي المتحرك: بافتراض (ن) نقطة من المستوي المتحرك، (مر) المركز الآني للدوران، (ن1)
الحركة العامة للجسم الصلب
هي حركة جسم صلب طليق. إن للجسم الطليق ست درجات حرية، وتُردّ حركته في كل لحظة إلى حركة انسحابية لنقطة منه تدعى القطب، وحركة دورانية حول هذا القطب، ولا يتعلق متَّجه الدوران الآني باختيار القطب. وتكتب عبارة متَّجه السرعة لنقطة (ن) من الجسم على النحو:
حيث (م) القطب و
متَّجه الدوران الآني. وتدل عبارة السرعة على أن السرع تتوزع في الجسم الصلب كما تتوزع العزوم الحاصلة لمجموعة متَّجهاتٍ حاصلتها متَّجه الدوران 
وعزمها الحاصل في نقطة ما (ن) هي سرعة هذه النقطة.
1- محور الفتل: هو مجوعة نقط الفضاء المتحرك التي تكون سرعتها في لحظةٍ ما موازية لمتَّجه الدوران الآني. فإذا كانت (ن) نقطة من محور الفتلΔ فإن معادلات هذا المحور تتعين من شرط التوازي بين
، وهذا يقود إلى المعادلات التحليلية التالية بافتراض م قطباً للحركة و
متَّجه الدوران الآني،
2- الحركات المماسة: إذا اختيرت النقطة م1، إحدى نقط محور الفتل Δ طباً فإن عبارة سرعة نقطةٍ (ن) من الجسم الصلب تأخذ الشكل:
حيث:
لأن:
وذلك عندما
ويقال في هذه الحالة إن حركة الجسم الصلب مماسة في كل لحظة لحركة لولبية آنية خطوتها خ ومحورها هو محور الفتل الآني. أما إذا كانت
في لحظةٍ ما 
فإن عبارة السرعة تغدو بالشكل:
ويقال إن الحركة مماسة في هذه اللحظة لحركة انسحابية، أما إذا حدث أن كانت 
و
في لحظةٍ معينة فإن عبارة السرعة تأخذ الشكل:
ويقال إن الحركة مماسة لحركة دورانية في تلك اللحظة.
تركيب الحركات والحركات النسبية
عند دراسة حركة نقطٍ مادية يقارن عادة موضع كل نقطة بجملة إحداثيات تعدّ ثابتة، ولكن لاريب في أنه لا وجود لمثل هذه الجملة الثابتة، لذا فإنه لابد من دراسة الحركة الناتجة عن تركيب حركات بسيطة، لتكن ك مجموعة مادية متحركة بالنسبة إلى فضاء متماسك مع جملة إحداثيات (ت) وهذه تتحرك بدورها بالنسبة إلى جملة (ت1) يُفترض أنها ثابتة. تدعى حركة ك بالنسبة إلى (ت) الحركة النسبية، وتدعى حركة (ك) بافتراض أنها متماسكة مع (ت)، بالنسبة إلى (ت1) الحركة الجرّية للمجموعة ك، في حين يطلق اسم الحركة المطلقة للمجموعة ت، على حركتها بالنسبة إلى الجملة الثابتة (ت1).
1- تركيب السرع: بافتراض ن نقطة من الجسم ك، فإن سرعة النقطة ن في حركتها المطلقة ولتكن
هي محصلة سرعتين، الأولى السرعة النسبية 
وهي سرعة ن بالنسبة إلى الجملة (ت) والثانية هي السرعة الجرّية للنقطة 
، وهي سرعة نقطة من الجملة ت تنطبق في اللحظة المدروسة على النقطة ن، بالنسبة إلى الجملة (ت1) وتكتب عبارة متَّجه السرعة المطلقة بالتالي بالشكل:
2- تركيب التسارعات: إن متَّجه تسارع النقطة ن من الجسم ك بالنسبة إلى جملة الإحداثيات الثابتة (ت1) يدعى التسارع المطلق للنقطة ن، ويساوي مجموع ثلاثة متَّجهات، الأول تعن وهو تسارع النقطة ن بالنسبة إلى جملة الإحداثيات المتحركة (ت) ويدعى التسارع النسبي، والثاني التسارع الجرّي تعجر وهو تسارع نقطة من الجملة (ت) تنطبق على ن في اللحظة المذكورة بالنسبة إلى الجملة الثابتة (ت1)، والثالث تعمت ويدعى التسارع المتمم ويساوي الجداء المتَّجهي للمتَّجهين
. ومن ثم تكتب عبارة التسارع المطلق بالشكل:
وعبارة التسارع المتمم بالشكل:
وينعدم التسارع المتمم لنقطةٍ ما ن في الحالات التالية:
أ- إذا كانت
، أي إذا كانت الحركة الجرّية انسحابية.
ب- إذا كانت
، أي إذا كانت النقطة ن في حالة توازن نسبي.
حـ - إذا كان
، وهي حالة خاصة جداً.
3- تركيب الحركات البسيطة لجسم صلب:
أ ـ إن محصلة عدد منته من الحركات الانسحابية لجسم صلب هي حركة انسحابية بسيطة، ويساوي متَّجه السرعة المطلقة لها محصلة متَّجهات السرع المركبة.
ب ـ محصلة عددٍ منته من الحركات الدورانية متَّجهات الدوران لها متقاطعة في نقطة، هي حركة دورانية بسيطة، ومتَّجه الدوران المحصل يمر بالنقطة، ويساوي محصلة متَّجهات الدوران المركبة.
جـ ـ محصلة حركات دورانية متَّجهات دورانها متوازية هي إما أن تكون حرة دورانية بسيطة متَّجه دورانها يساوي محصلة متَّجهات الدوران ويطبق في نقطةٍ تدعى مركز الدورانات إذا كانت المحصلة لاتساوي الصفر، أو هي حركة انسحابية بسيطة إذا كانت متَّجهات الدورانات تُردّ إلى مزدوجة، وتكون السرعة الانسحابية المحصلة مساوية لعزم تلك المزدوجة. أو أن تكون الحركة المحصلة معدومة إذا كانت متَّجهات الدورانات المركبة تكافئ الصفر.
د- محصلة حركتين إحداهما دورانية متَّجه دورانها
والثانية انسحابية متَّجه سرعتها 
هي حركة دوارنية بسيطة متَّجه دورانها
ويبتعد عنه بالمقدار:
أما إذا كان
لا يعامد فالحركة المحصلة حركة عامة.
دعد الحسيني
kinematics - Cinématique
الحركة (علم-)
علم الحركة kinematics هو فرع من علم الميكانيك يُعنى بدراسة تغير موضع نقطة مادية، أو مجموعة مادية مع الزمن، دون التعرض لأسباب هذا التغير.
حركة النقطة المادية
1- موضع النقطة المادية والمعادلة الزمنية للحركة: يتعين موضع نقطة مادية ن على المنحني الموجه الحامل لمسارها بالفاصلة المنحنية
، بافتراض م0 مبدأ الفواصل على هذا المنحني. تسمى المعادلة ف = ف (ز) المعادلة الزمنية للحركة، ويدعى الخط البياني الممثل لتغيرات الدالة ف (ز) مخطط الحركة. ويتعين موضع النقطة ن في الفضاء في مجموعة إحداثيات ديكارتية قائمة ومباشرة (م س ع ص) بإسقاط متَّجه الموضع على هذه المحاور، ويطلق على المعادلات س = س (ز)، ع =ع (ز)، ص = ص (ز)، اسم المعادلات الديكارتية لحركة النقطة ن، وتمثل هذه المعادلات أيضاً المعادلات الوسيطية لمسار النقطة ن.2- السرعة: تعرّف السرعة الوسطى للنقطة ن خلال الفترة الزمنية Dز بأنها نسبة تغير متَّجه الموضع على تغير الزمن ويكتب:
تعرّف السرعة الآنية للنقطة ن بأنها نهاية السرعة الوسطى عندما يسعى تغير الزمن إلى الصفر، وتكتب:
ويُحمل متَّجه السرعة سر على المماس في النقطة ن لمسار النقطة ويعبّر عن ذلك بالعلاقة:
بافتراض متَّجه الواحدة للمماس، وتكون مركبات متَّجه السرعة على المحاور الإحداثية هي: سرسـ = سَ(ز)، سرعـ = عَ(ز)، سرصـ = صَ(ز). أما قياس متَّجه السرعة فيتعين من العلاقة:وإذا رسم في نقطةٍ ما م1 في الفضاء متَّجه يساير متَّجه السرعة، فإن نهاية هذا المتَّجه ولتكن ن1 ترسم في الفضاء عندما تتحرك ن على مسارها منحنياً يدعى راسم الخطى للنقطة ن.
3- التسارع:
أ ـ التسارع الوسطي والتسارع الآني: يعرف التسارع الوسطي للنقطة ن بأنه نسبة تغير متَّجه السرعة إلى تغير الزمن ويكتب بالشكل:
وعندما يتناهى تغير الزمن إلى الصفر، فإن التسارع الوسطي يتناهى إلى متَّجه التسارع الآني للنقطة ن ويكتب:ويلاحظ أن متَّجه قيمة تسارع النقطة ن يساوي متَّجه سرعة النقطة ن1 في حركتها على راسم الخطى. وتكون مركبات متَّجه التسارع في مجموعة الإحداثيات م س ع ص، هي:
تعسـ = سً(ز)، تععـ = عً(ز)، تعصـ = صً(ز)
كما هو ظاهر في (الشكل-1).
 |
| الشكل(1) |
للسرعة يعطي:بَيْدَ أن
حيث فَ هو مشتق الفاصلة المنحنية للنقطة ن ويساوي القيمة العددية لسرعتها أي فَ = سر، و
متَّجه الواحدة للناظم على مسار ن، ونق نصف قطر تقوس المسار في النقطة ن، وهذا يقود إلى العلاقة:ويدعى المتّجه
التسارع المماسي لـ ن، ويدعى المتَّجه التسارع الناظمي لـ ن ويتجه هذا التسارع نحو تقعر مسار النقطة ن.الحركات البسيطة لنقطة مادية
1- الحركة المستقيمة: تدعى حركة النقطة المادية ن، مستقيمة إذا كان مسار هذه النقطة محمولاً على مستقيم ثابت. يُحمل كل من متَّجه السرعة ومتَّجه التسارع على هذا المستقيم. تسمى الحركة مستقيمة منتظمة إذا كانت قيمة متَّجه السرعة ثابتة وتكتب معادلة الحركة في هذه الحالة بالشكل:
س = سرز + س0 بفرض س0 الموضع الابتدائي للنقطة ن.
وتسمى الحركة متغيرة بانتظام إذا كانت قيمة متَّجه التسارع ثابتة وتتعين قيمة السرعة في هذه الحالة من العلاقة سر = تع ز + سر0، بفرض سر0 هي السرعة الابتدائية للنقطة المتحركة، وتكتب معادلة الحركة بالشكل:
2- الحركة الدائرية: يقال عن حركة نقطة مادية إنها دائرية، إذا كان مسار النقطة محمولاً على دائرة، وتتعين الفاصلة المنحنية للنقطة في هذه الحالة من العلاقـة:
حيث م0مبدأ الفواصل على محيط الدائرة، ر نصف قطرها. ويُحمل متَّجه السرعة على مماس الدائرة، وتكون قيمته: سر = فَ = (يه ر)َ = يهَ ر. يدعى المقدار (سه = يهَ) السرعة الزاوية للنقطة، وترتبط السرعة الخطية سر والسرعة الزاوية سه بالعلاقة سر= سه . ر.أما متَّجهة التسارع فلها في الحالة العامة مركبتان: مماسية تُحمل على مماس الدائرة وقيمتها تعمـ = سرَ = سه ر. وناظمية تُحمل على نصف قطر الدائرة وتتجه نحو مركزها قيمتها:
يقال إن الحركة الدائرية منتظمة إذا كانت قيمة السرعة ثابتة، وهذا يقتضي ثبات السرعة الزاوية وانعدام التسارع المماسي مما يجعل تسارع النقطة ناظمياً.
3- الحركة الدورية: يقال إن حركة النقطة المادية ن دورية إذا كانت الدالة الزمنية دالة دورية؛ فإذا تحركت نقطة ن مثلاً حركة دائرية منتظمة، فإن مسقط هذه النقطة على قطرٍ ثابت للدائرة الحاملة لمسار النقطة، يتحرك حركة دورية أو حركة اهتزازية بسيطة، وتكتب المعادلة الزمنية لحركة المسقط بالشكل: س = ب تجب (ي ز + ط)، يدعى مركز الدائرة مركز الاهتزاز، س مطال الحركة، ب سعتها، ي تواترها الزاوي، ط طورها الابتدائي. ويُحمل كل من متَّجهي السرعة والتسارع على قطر الدائرة ويكون متَّجه كل منهما دورياً بالنسبة للزمن وله دور الحركة ذاته وهو:
.حركة المجموعات المادية، حركة الجسم الصلب
1- حركة مجموعة نقط مادية: تتعين حركة مجموعة نقط مادية إذا عُرفت حركة كل نقطة من المجموعة. ويلزم لتعيين حركة مجموعة مادية عدد من المعادلات الزمنية يساوي عدد درجات حريتها، أي عدد الوسطاء المستقلة الكافية لتعيين موضع جميع نقط المجموعة. ويتعين متَّجه السرعة ومتَّجه التسارع لأي نقطة في المجموعة من اشتقاق متَّجه الموضع لها بالنسبة إلى الزمن مرة أو مرتين.
2- حركة الجسم الصلب: تتعين حركة الجسم الصلب إذا عُرفت حركة ثلاث نقط غير واقعة على استقامة واحدة في هذا الجسم. ولما كان للجسم الصلب ست درجات حرية فإنه يلزم ست معادلات زمنية لتعيين موضع الجسم وحركته.
3- الصفة المميزة لحركة الجسم الصلب: إن الشرط اللازم والكافي كي تتحرك مجموعة مادية تكوّن جسماً صلباً هو أن يتساوى مسقطا سرعتي أي نقطتين من المجموعة على المستقيم الواصل بينهما.
حركات الجسم الصلب البسيطة
1- الحركة الانسحابية: يقال إن حركة الجسم الصلب انسحابية إذا بقي متَّجهٌ ما من الجسم مسايراً لنفسه أثناء الحركة. ويقود هذا التعريف إلى أن سرع جميع نقط الجسم الصلب المتحرك بحركة انسحابية متساوية في كل لحظة، وتعدّ هذه الخاصة صفة مميزة للحركة الانسحابية. ومن ثم تُردُّ دراسة حركة الجسم الصلب الانسحابية إلى دراسة حركة نقطة واحدة من الجسم .
2- الحركة الدورانية حول محور ثابت: يقال إن حركة الجسم الصلب دورانية حول محور إذا بقيت نقطتان ب وجـ مثلاً من الجسم ثابتتين، ويسمى المحور الحامل للقطعة
محور الدوران؛ ويكون للجسم في هذه الحالة درجة حرية واحدة (الشكل-2). ويتعين وضع الجسم بوسيط واحد هو الزاوية (يه) التي يصنعها نصف مستو مثبت بالجسم يحوي محور الدوران مع نصف مستو ثابت يحوي محور الدوران أيضاً. وتَرسم نقط الجسم دوائر تقع في مستويات متوازية تعامد محور الدوران، وتقع مراكزها على هذا المحور. وتتعين إحداثيات نقطةٍ ما ن من الجـسم بالنـسبة إلى جملة محـاور ثابتة م س1ع1ص1 ينطبق محورها (م ص1) على محور الدوران بالشكل التالي:س1 = س تجب يه - ع جب يه، ع1 = س جب يه + ع تجب يه، ص1 = ص
بفرض (س،ع،ص) إحداثيات النقطة في مجموعة إحداثيات متماسكة مع الجسم ينطبق فيها م ص على م ص1. ويتعين متَّجه سرعة النقطة ن من الجسم بالعلاقة:
( Λرمز عملية الضرب المتَّجهي) بفرض متَّجه الدوران، ويُعرّف هذا المتَّجه بأنه متَّجه طوله يساوي السرعة الزاوية (يهَ)، وحامله محور الدوران، وجهته بحيث يكون دوران الجسم حوله مباشراً. وتكتب مركبات متَّجه الـسرعة، من إسقاط عبارة الجداء المتَّجهي للـسرعة على مجموعة المحـاور م س1ع1ص1 على النحو التالي:سَ1 = - ع1سه، عَ1 = س1سه، صَ1 =0
 |
| الشكل(2) |
أما متَّجه التسارع فله مركبتان: مماسية تساوي الجداء الخارجي ، قيمتها سهَ. ر، حيث ر هو نصف قطر الدائرة التي ترسمها ن، وناظمية تساوي  ، وقيمتها (سه)2ر بافتراض ن1 مسقط النقطة ن على محور الدوران. |
3- الحركة الدورانية حول نقطة ثابتة: إذا ثبت في جسم صلب نقطة واحدة، فإن الجسم يتحرك في كل لحظة بحركة دورانية حول محورٍ يمر بتلك النقطة يدعـى محور الدوران الآني (اللحظي)، ويُحمل عليه متَّجه الدوران الآني
الذي لا يتعلـق بنقـط الجـسم.فـإذا افتـرض أن (ب1،جـ1،د1) هي مركبات متَّجه الدوران على جملة محاور ثابتة مبدؤها النقطة الثابتة م فإن مركبات متَّجه سرعة نقطة ن من الجسم هي مساقط العبارة
وتكتب بالتالي بالشكل:
سَ1 = جـ1ص1 – د1ع1، عَ1 = د1س1 – ب1ص1، صَ1 = ب1ع1 – جـ1س1
إن للجسم الصلب في هذه الحركة ثلاث درجات حرية ويتعين موضع أي نقطة من الجسم وحركتها بوساطة ثلاث زوايا مستقلة هي زوايا أولر Euler’s angles.
ويَرسم محور الدوران الآني في الفضاء الثابت سطحاً مخروطياً ذروته النقطة الثابتة م ومعادلاته:
ويُدعى هذا السطح القاعدة، كما يرسم في الفضاء المتماسك مع الجسم سطحاً مخروطياً ذروته النقطة م ذاتها معادلاته:
حيث (ب، جـ، د) مركبات متَّجه الدوران على جملة محاور مبدؤها م متماسكة مع الجسم، ويدعى هذا السطح المخروطي المتدحرج، ويشترك السطحان المخروطيان في كل لحظة بمولد سرع نقطة معدومة في تلك اللحظة هو المحور الآني للدوران (الشكل-3).
 |
| الشكل(3) |
س1= س0 + س تجب يه – ع جب يه، ع1 = ع0 + س جب يه + ع تجب يه
أ ـ السرع: يتعين متَّجه السرعة لنقطةٍ ن من المستوي المتحرك بالعلاقة:
هو متَّجه سرعة القطب، و
متَّجه الدوران الآني وهو متَّجه قيمته تساوي (يهَ) ومنحاه يعامد مستوي الحركة، ولاتتعلق قيمته باختيار القطب، وتدل عبارة السرعة على أن الحركة المستوية يمكن أن تعدّ انسحاباًَ مع القطب ودوراناً حول القطب. وتتعين مركبات متَّجه السرعة إما بإسقاط عبارة متَّجه السرعة أو باشتقاق إحداثيات النقطة.ب ـ المركز الآني للدوران ـ القاعدة والمتدحرج: المركز الآني للدوران هو نقطة (مر) من المستوي المتحرك سرعتها بالنسبة إلى المستوي الثابت معدومة في اللحظة المذكورة؛ وإذا اختيرت هذه النقطة قطباً للحركة فإن عبارة متَّجه السرعة لنقطة ن من المستوي المتحرك تغدو بالشكل:
، وهذا يدل على أن المستوي يتحرك حركة دورانية حول المركز الآني للدوران في كل لحظة. ويمكن تعيين المركز الآني للدوران هندسياً إذا عُلمت سرعتا نقطتين ب وجـ مثلاً من المستوي المتحرك وكانت لاتوازي ، وذلك بإقامة عمودٍ من ب على، وعمودٍ من جـ على فيتقاطع العمودان بنقطة هي المركز الآني للدوران. أما إذا كان فإن المركز الآني للدوران يكون نقطة تقاطع المستقيم ب جـ على المستقيم الواصل بين نهاية المتجه ونهاية المتجه (الشكل-4).  |
| الشكل(4) |
ج ـ التسارع: يتعين متَّجه تسارع نقطةٍ ن من المستوي المتحرك باشتقاق متَّجه سرعتها وهذا يقود إلى العلاقة الآتية:
حيث
هو متَّجه تسارع القطب و متَّجه التسارع الزاوي، وتدعى النقطة من المستوي المتحرك التي ينعدم تسارعها في لحظةٍ ما مركز التسارع المعدوم، ويكون تسارع أي نقطة من المستوي المتحرك تسارعاً دورانياً فحسب حول هذا المركز. وتجدر الإشارة إلى أن المركز الآني للدوران لاينطبق في الحالة العامة على مركز التسارع المعدوم، وإذا انطبقا غدت تلك النقطة ثابتة.د ـ دائرة الانعطافات والدائرة المماسية: دائرة الانعطافات هي مجموعة نقط المستوي المتحرك التي تكوّن نقطَ انعطافٍ على مساراتها في لحظة ما. أي هي المحل الهندسي لنقط المستوي المتحرك التي ينعدم تسارعها الناظمي في اللحظة المذكورة، ويحذف المركز الآني من مجموعة نقط المحل الهندسي؛ أما الدائرة المماسية فهي المحل الهندسي لنقط المستوي المتحرك التي تكون تسارعاتها المماسية معدومة في لحظةٍ ما، ويحذف المركز الآني للدوران أيضاً من مجموعة المحل الهندسي المذكور. وتشترك دائرة الانعطافات والدائرة المماسية بنقطة (غير المركز الآني للدوران) هي مركز التسارع المعدوم.
هـ ـ تعيين مركز تقوس مسار نقطة من المستوي المتحرك: بافتراض (ن) نقطة من المستوي المتحرك، (مر) المركز الآني للدوران، (ن1)
| نقطة تقاطع حاول المتّجه |  |
على دائرة الانعطافات، فإن م1، مركز تقوس مسار النقطة ن، يتعين من العلاقة: |
الحركة العامة للجسم الصلب
هي حركة جسم صلب طليق. إن للجسم الطليق ست درجات حرية، وتُردّ حركته في كل لحظة إلى حركة انسحابية لنقطة منه تدعى القطب، وحركة دورانية حول هذا القطب، ولا يتعلق متَّجه الدوران الآني باختيار القطب. وتكتب عبارة متَّجه السرعة لنقطة (ن) من الجسم على النحو:
حيث (م) القطب و
متَّجه الدوران الآني. وتدل عبارة السرعة على أن السرع تتوزع في الجسم الصلب كما تتوزع العزوم الحاصلة لمجموعة متَّجهاتٍ حاصلتها متَّجه الدوران وعزمها الحاصل في نقطة ما (ن) هي سرعة هذه النقطة.1- محور الفتل: هو مجوعة نقط الفضاء المتحرك التي تكون سرعتها في لحظةٍ ما موازية لمتَّجه الدوران الآني. فإذا كانت (ن) نقطة من محور الفتلΔ فإن معادلات هذا المحور تتعين من شرط التوازي بين
، وهذا يقود إلى المعادلات التحليلية التالية بافتراض م قطباً للحركة و متَّجه الدوران الآني،2- الحركات المماسة: إذا اختيرت النقطة م1، إحدى نقط محور الفتل Δ طباً فإن عبارة سرعة نقطةٍ (ن) من الجسم الصلب تأخذ الشكل:
حيث:
لأن:
وذلك عندما
ويقال في هذه الحالة إن حركة الجسم الصلب مماسة في كل لحظة لحركة لولبية آنية خطوتها خ ومحورها هو محور الفتل الآني. أما إذا كانت
في لحظةٍ ما فإن عبارة السرعة تغدو بالشكل: ويقال إن الحركة مماسة في هذه اللحظة لحركة انسحابية، أما إذا حدث أن كانت وفي لحظةٍ معينة فإن عبارة السرعة تأخذ الشكل: ويقال إن الحركة مماسة لحركة دورانية في تلك اللحظة.تركيب الحركات والحركات النسبية
عند دراسة حركة نقطٍ مادية يقارن عادة موضع كل نقطة بجملة إحداثيات تعدّ ثابتة، ولكن لاريب في أنه لا وجود لمثل هذه الجملة الثابتة، لذا فإنه لابد من دراسة الحركة الناتجة عن تركيب حركات بسيطة، لتكن ك مجموعة مادية متحركة بالنسبة إلى فضاء متماسك مع جملة إحداثيات (ت) وهذه تتحرك بدورها بالنسبة إلى جملة (ت1) يُفترض أنها ثابتة. تدعى حركة ك بالنسبة إلى (ت) الحركة النسبية، وتدعى حركة (ك) بافتراض أنها متماسكة مع (ت)، بالنسبة إلى (ت1) الحركة الجرّية للمجموعة ك، في حين يطلق اسم الحركة المطلقة للمجموعة ت، على حركتها بالنسبة إلى الجملة الثابتة (ت1).
1- تركيب السرع: بافتراض ن نقطة من الجسم ك، فإن سرعة النقطة ن في حركتها المطلقة ولتكن
هي محصلة سرعتين، الأولى السرعة النسبية وهي سرعة ن بالنسبة إلى الجملة (ت) والثانية هي السرعة الجرّية للنقطة ، وهي سرعة نقطة من الجملة ت تنطبق في اللحظة المدروسة على النقطة ن، بالنسبة إلى الجملة (ت1) وتكتب عبارة متَّجه السرعة المطلقة بالتالي بالشكل:2- تركيب التسارعات: إن متَّجه تسارع النقطة ن من الجسم ك بالنسبة إلى جملة الإحداثيات الثابتة (ت1) يدعى التسارع المطلق للنقطة ن، ويساوي مجموع ثلاثة متَّجهات، الأول تعن وهو تسارع النقطة ن بالنسبة إلى جملة الإحداثيات المتحركة (ت) ويدعى التسارع النسبي، والثاني التسارع الجرّي تعجر وهو تسارع نقطة من الجملة (ت) تنطبق على ن في اللحظة المذكورة بالنسبة إلى الجملة الثابتة (ت1)، والثالث تعمت ويدعى التسارع المتمم ويساوي الجداء المتَّجهي للمتَّجهين
. ومن ثم تكتب عبارة التسارع المطلق بالشكل:وعبارة التسارع المتمم بالشكل:
وينعدم التسارع المتمم لنقطةٍ ما ن في الحالات التالية:
أ- إذا كانت
، أي إذا كانت الحركة الجرّية انسحابية.ب- إذا كانت
، أي إذا كانت النقطة ن في حالة توازن نسبي.حـ - إذا كان
، وهي حالة خاصة جداً.3- تركيب الحركات البسيطة لجسم صلب:
أ ـ إن محصلة عدد منته من الحركات الانسحابية لجسم صلب هي حركة انسحابية بسيطة، ويساوي متَّجه السرعة المطلقة لها محصلة متَّجهات السرع المركبة.
ب ـ محصلة عددٍ منته من الحركات الدورانية متَّجهات الدوران لها متقاطعة في نقطة، هي حركة دورانية بسيطة، ومتَّجه الدوران المحصل يمر بالنقطة، ويساوي محصلة متَّجهات الدوران المركبة.
جـ ـ محصلة حركات دورانية متَّجهات دورانها متوازية هي إما أن تكون حرة دورانية بسيطة متَّجه دورانها يساوي محصلة متَّجهات الدوران ويطبق في نقطةٍ تدعى مركز الدورانات إذا كانت المحصلة لاتساوي الصفر، أو هي حركة انسحابية بسيطة إذا كانت متَّجهات الدورانات تُردّ إلى مزدوجة، وتكون السرعة الانسحابية المحصلة مساوية لعزم تلك المزدوجة. أو أن تكون الحركة المحصلة معدومة إذا كانت متَّجهات الدورانات المركبة تكافئ الصفر.
د- محصلة حركتين إحداهما دورانية متَّجه دورانها
والثانية انسحابية متَّجه سرعتها هي حركة دوارنية بسيطة متَّجه دورانها
ويبتعد عنه بالمقدار:أما إذا كان
لا يعامد فالحركة المحصلة حركة عامة.دعد الحسيني