تويت
نصف زمره
Semigroup - Demi-groupe
نصف الزمرة
نظرية نصف الزمرة semigroup theory هي تعميم لنظرية الزمرة group theory التي هي أحد أهم مفاهيم الجبر المجرد abstract algebra. ولدت مع بدايات القرن العشرين، وتطورت بسرعة منذ بداية العقد الخامس منه، إذ أخذت نظرية أنصاف الزمر المنتهية أهمية خاصة في العلوم النظرية للحاسوب، وذلك نتيجة لارتباطها الوثيق بنظرية الأتُومات المنتهية finite automata.
نصف الزمرة هي بالتعريف نظام رياضي groupoid (بنية جبرية algebraic structure) تجميعي (*S, ).
أي هي مجموعة S غير خالية (S ≠ φ) معرَّف عليها قانون تشكيل داخلي (عملية اثنانية binary operation) تجميعي *.
أي معرَّف عليها دالة ( تابع): :S x S → S; (x, y) → x * y *تجميعية.
أي إنه من أجل أيّ ثلاثة عناصر a, b, c من المجموعة S، (∀ a, b, c ∈ S) يتحقق الشرطان الآتيان :
1) ناتج a مع b هو من المجموعة (a* b ∈ S)،S .
أي إن S مغلقة بالنسبة إلى العملية *.
2) ناتج [(a مع b) مع c]، يساوي ناتج [a مع (b مع c)].
أي (a*b)* c = a* (b* c). وهي ما تعرف بالخاصة التجميعية.
مثال (1):
أ) مجموعة الأعداد الطبيعية N = {0, 1, 2….} مع عملية الجمع العادي تشكل نصف زمرة (N, +)؛ لأن حاصل جمع أيّ عددين من S ينتمي إلى S، والجمع تجميعي. ولكن (N, +) ليست زمرة.
ب) مجموعة الأعداد الطبيعية N مع عملية الضرب العادي تشكل نصف زمرة (N, x)، وهي ليست زمرة.
ج) مجموعة الأعداد الطبيعية N مع عملية الطرح العادي لا تشكل نصف زمرة، لأن العددين 5 و 7 مثلاً ينتميان إلى N لكن 5 - 7 = - 2 لا ينتمي إلى N.
د) مجموعة الأعداد الطبيعية N مع عملية التقسيم العادي لا تشكل نصف زمرة، لأن العددين 2 و 3 مثلاً ينتميان إلى N، لكن ناتج 2 ÷ 3 لا ينتمي إلى N.
هـ) مجموعة الأعداد الصحيحة z =ء }ء000، -1، 0، 1، 2، 000ءم { مع عملية الطرح العادي لا تشكل نصف زمرة، لأن الأعداد 5 و6 و9 مثلاً تنتمي إلى Z لكن: (5 - 6) - 9 = - 10 لا تساوي 5 - (6 - 9 ) = 8، فعملية الطرح ليست تجميعية.
و) مجموعة الأعداد س = { 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 } مع كل من قانوني التشكيل * و # الداخليين المعرفين بالجدولين الآتيين:
تشكل نصفي زمرتين منتهيتين (س ، *) و ( س، #).
ز) كل زمرة هي نصف زمرة، لكن العكس غير صحيح.
لمحة تاريخية
ظهر مفهوم نصف الزمرة في وقت متأخر نسبياً بعد ظهور مفاهيم بعض البنى الجبرية الأخرى ـ كالزمرة group والحلقة ring مثلاً ـ التي بدأت في منتصف القرن التاسع عشر. فقد ظهر مصطلح نصف الزمرة للمرة الأولى في باريس عام 1904 تحت اسم demi-group في كتاب للعالم الرياضي الفرنسي J.A.de Séguier عنوانه: «عناصر نظرية الزمرة المجردة» éléments de la théorie des groupes abstraits.
لكن نظرية نصف الزمرة بدأت في الحقيقة عام 1928 حين نشر العالم الرياضي الروسي أنطون سوشكيفيتش Anton K. Suschkewisch بحثاً مهماً مبينًا فيه أن كل نصف زمرة منتهية تحوي نواة، ودرس في بحثه هذا بنية أنصاف الزمر المنتهية. وحال دون تقدم نظرية نصف الزمرة أن النتائج التي أوردها سوشكيفيتش لم تكن بشكل يمكن استخدامها. وجاء دافيد ريز David Rees عام 1940، فأدخل مفاهيم جديدة، وأثبت بعض المبرهنات معمماً مبرهنة سوشكيفيتش، وأورد نتائج يمكن استخدامها. وتوالى بعد عام 1940 نشر الأبحاث عن نظرية نصف الزمرة، وازدادت على نحو مذهل. وفي عام 1970 صدر في الولايات المتحدة الأمريكية العدد الأول من المجلة العلمية الدورية: «منبر(منتدى) نصف الزمرة» Semigroup Forum المتخصصة في أبحاث نظرية نصف الزمرة. وتشعب البحث في نظرية نصف الزمرة وتطبيقاتها في شتى العلوم، وأخذت الدراسة فيها اتجاهين رئيسيين : النظرية الجبرية والنظرية التوبولوجية.
كان أول كتاب ظهر عن نظرية نصف الزمرة لسوشكيفيتش، نشره بالروسية في مدينة كراكوف عام 1937 تحت عنوان «تعميم نظرية الزمرة» Theory of Generalized Groups. ثم توالت الكتب المنشورة في هذا الموضوع.
تعاريف أساسية
نصف الزمرة التبديلية commutative semigroup: إذا كانت نصف الزمرة (*S, ) تملك الخاصة الإضافية الآتية:
من أجل أيّ عنصرين x و y من (∀ x, y ∈ S)S فإن x * y = y * x (وهو تعريف الخاصة التبديلية) سميَت نصف زمرة تبديلية.
ففي المثال (1)، على سبيل المثال: إن (N, +) و (N, x) و (س ، *) أنصاف زمر تبديلية، أما نصف الزمرة (س، #) فهي غير تبديلية.
نصف الزمرة الواحدية monoid: إذا كان في نصف الزمرة (*S, ) عنصر e بحيث: من أجل أيّ عنصر x من (∀ x ∈ S)S فإن x * y = y * x، دعي e عنصراً محايداً (حيادياً) identity element، وسميَت (*S, ) نصف زمرة واحدية (مونوئيد).
يبرهن على أن العنصر الحيادي في نصف زمرة إذا وجد فهو وحيد.
ففي المثال (1): إن (N, +) و (N, x) و (س ،*) أنصاف زمر واحدية (حيادي الأولى الصفر، وحيادي كل من الثانية والثالثة الواحد)، أما نصف الزمرة (س، #) فهي غير واحدية.
العنصرالجامد idempotent element: إذا كان a عنصراً من نصف الزمرة (*S, ) وكان a * a = a، أي (a2 = a)، فإن a يسمى عنصراً جامداً (وليس من الضروري أن يكون وحيداً). وإذا كانت عناصر S كلها جامدة سميت نصف الزمرة (*S, ) نصف زمرة جامدة idempotent semigroup أو عصبة band.
إن العنصر الحيادي في نصف زمرة واحدية هو عنصر جامد ، لكن العكس غير صحيح.
ففي المثال (1) إن(N, +) و (N, x) و (س ، *) و (س ، #) كلها أنصاف زمر ذات عناصر جامدة. أما نصفا الزمرتين المعرَّفتين بالجدولين الآتيين:
فكل عنصر فيهما هو عنصر جامد، فكل منهما عصبة.
العنصرالماصّ (العنصر الصفري) zero element: إذا كان z عنصرًا من نصف الزمرة (*S, ) وكان z * a = a * z = a، مهما يكن a من (∀ a ∈S)،S فإن z يسمى عنصراً ماصاً.
يبرهن على أن العنصر الماصّ في نصف زمرة إذا وجد فهو وحيد.
ففي المثال (1): إن (N, x) و (س ، *) أنصاف زمر ذات عنصر ماصّ (العنصر الماصّ في الأولى الصفر، والعنصر الماصّ في الثانية هو العدد خمسة)، أما نصفا الزمرتين (N, +) و (س ، #) فلا تملك أيّ منهما عنصراً ماصّاً.
بنية نصف الزمرة
جداء مجموعتين: إذا كانت A و B مجموعتين جزئيتين غير خاليتين من المجموعة S وكانت (S, ∗) نصف زمرة
فإن{a*b : a Œ ∈ A, b ∈ B}=A*B (وقد تكتب AB إذا لم يكن هناك التباس).
المثالي ideal: إذا كانت (*S, ) نصف زمرة، وكانت A مجموعة جزئية غير خالية من S فإن:
A تدعى مثالياً يمينياً right ideal في S إذا كانت AS Í A، أي إذا كانت A*S محتواة في A.
وإن A تدعى مثالياً يسارياً left ideal في S إذا كانت SA Í A، أي إذا كانت S*A محتواة في A.
وتدعى A مثالياً ثنائي الجانب two-sided ideal (أو مثالياً) في S، إذا كانت SA Í A و AS Í A، أي إذا كانت A مثاليًا يساريًا ويمينيًا في آن واحد.
نصف الزمرة الجزئية subsemigroup: إذا كانت (*S, ) نصف زمرة، وكانت A مجموعة جزئية غير خالية من (φ ≠ A Í S)،S، فإن (*A, ) تدعى نصف زمرة جزئية من S (أو يقال A نصف زمرة جزئية من S) إذا كانت مغلقة بالنسبة إلى العملية *؛ أي إذا تحقق الشرط:
مهما يكن العنصران a و b من A فإن (a *b ∈ A)؛ أي ("a *b ∈ A) (a *b ∈ A)
يمكن التعبير عن هذا الشرط بصورة أخرى باستخدام مفهوم جداء مجموعتين:
إذا كـانت (*S, ) نصف زمـرة، وكانت A مجموعة جـزئيـة غير خـاليـة من S، (φ ≠ A∈ S)، فإن (*A, ) تدعى نصـف زمـرة جـزئـية من S إذا تحقق الـشرط: A *A محتـواة في A (أي A * A = A2 ÍA).
تكون A زمرة جزئية من نصف الزمرة S إذا كانت A * A = A2 = A
إن كل مثالي (يساري، يميني، ثنائي الجانب) في S هو نصف زمرة جزئية من S، ولكن العكس غير صحيح.
فعلى سبيل المثال، مجموعة الأعداد الصحيحة Z مع عملية الضرب العادي (Z, x) تشكل نصف زمرة، ومجموعة الأعداد الطبيعية N هي مجموعة جزئية غير خالية من Z، وحاصل ضرب أي عددين طبيعيين هو عدد طبيعي، ومن ثمّ (N, x)، (أي N) نصف زمرة جزئية من (Z, x)، (أي من Z).
كذلك إن الجدولين (5 و 6) يعرِّفان نصفي زمرتين جزئيتين من نصفي الزمرتين المعرفتين بالجدولين (3 و4) في المثال (1).
نصفا الزمرتين المتماثلتان: يقال إن نصفي الزمرتين (**S, ) و (T, #) متماثلتان؛ إذا وُجد تماثل (تشاكل تقابلي)
ϕ : S → T؛
أي إذا وجدت دالة ϕ : S → T تحقق الشروط الثلاثة الآتية:
1) من أجل أيّ x و y من S فإن ϕ (x* y) = ϕ (x)# ϕ (y) (أي ϕ تشاكل)
2) من أجل أيّ x و y من S فإن ϕ (x) = ϕ (y) ࠁ⇒ x = y (أي ϕ متباين)
3) من أجل أيّ y من T فإنه يوجد x من S بحيث (y = ϕ (x (أي ϕ غامر)
نصف الزمرة الدوارة cyclic semigroup: إذا كان a عنصراً من نصف الزمرة
(*S, ) فإن: = {a, a2, a3,…}={an :n ∈ N}، (حيث a2 = a * a و a3 = a * a * a)، نصف زمرة جزئية من S تدعى نصف زمرة جزئية دوارة مولدها a. وإذا كانت S = فإن S تدعى نصف زمرة دوارة مولدها a (تدعى أيضًا نصف زمرة ذات مولّد واحد monogenic semigroup).
مثال (1): إن نصف الزمرة(N,+) نصف زمرة دوارة غير منتهية مولّدها الواحد، أي إن N = <1>.
مثال (2): مجموعة الأعداد س = {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4} مع قانون التشكيل الداخلي * المعرف بالجدول (7):
تشكل نصف زمرة دوّارة منتهية (س، *) وكل عنصر فيها (عدا الصفر) هو مولد لها.
أنور توفيق اللحام
Semigroup - Demi-groupe
نصف الزمرة
نظرية نصف الزمرة semigroup theory هي تعميم لنظرية الزمرة group theory التي هي أحد أهم مفاهيم الجبر المجرد abstract algebra. ولدت مع بدايات القرن العشرين، وتطورت بسرعة منذ بداية العقد الخامس منه، إذ أخذت نظرية أنصاف الزمر المنتهية أهمية خاصة في العلوم النظرية للحاسوب، وذلك نتيجة لارتباطها الوثيق بنظرية الأتُومات المنتهية finite automata.
نصف الزمرة هي بالتعريف نظام رياضي groupoid (بنية جبرية algebraic structure) تجميعي (*S, ).
أي هي مجموعة S غير خالية (S ≠ φ) معرَّف عليها قانون تشكيل داخلي (عملية اثنانية binary operation) تجميعي *.
أي معرَّف عليها دالة ( تابع): :S x S → S; (x, y) → x * y *تجميعية.
أي إنه من أجل أيّ ثلاثة عناصر a, b, c من المجموعة S، (∀ a, b, c ∈ S) يتحقق الشرطان الآتيان :
1) ناتج a مع b هو من المجموعة (a* b ∈ S)،S .
أي إن S مغلقة بالنسبة إلى العملية *.
2) ناتج [(a مع b) مع c]، يساوي ناتج [a مع (b مع c)].
أي (a*b)* c = a* (b* c). وهي ما تعرف بالخاصة التجميعية.
مثال (1):
أ) مجموعة الأعداد الطبيعية N = {0, 1, 2….} مع عملية الجمع العادي تشكل نصف زمرة (N, +)؛ لأن حاصل جمع أيّ عددين من S ينتمي إلى S، والجمع تجميعي. ولكن (N, +) ليست زمرة.
ب) مجموعة الأعداد الطبيعية N مع عملية الضرب العادي تشكل نصف زمرة (N, x)، وهي ليست زمرة.
ج) مجموعة الأعداد الطبيعية N مع عملية الطرح العادي لا تشكل نصف زمرة، لأن العددين 5 و 7 مثلاً ينتميان إلى N لكن 5 - 7 = - 2 لا ينتمي إلى N.
د) مجموعة الأعداد الطبيعية N مع عملية التقسيم العادي لا تشكل نصف زمرة، لأن العددين 2 و 3 مثلاً ينتميان إلى N، لكن ناتج 2 ÷ 3 لا ينتمي إلى N.
هـ) مجموعة الأعداد الصحيحة z =ء }ء000، -1، 0، 1، 2، 000ءم { مع عملية الطرح العادي لا تشكل نصف زمرة، لأن الأعداد 5 و6 و9 مثلاً تنتمي إلى Z لكن: (5 - 6) - 9 = - 10 لا تساوي 5 - (6 - 9 ) = 8، فعملية الطرح ليست تجميعية.
و) مجموعة الأعداد س = { 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 } مع كل من قانوني التشكيل * و # الداخليين المعرفين بالجدولين الآتيين:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| الجدول(1) | الجدول(2) |
ز) كل زمرة هي نصف زمرة، لكن العكس غير صحيح.
لمحة تاريخية
ظهر مفهوم نصف الزمرة في وقت متأخر نسبياً بعد ظهور مفاهيم بعض البنى الجبرية الأخرى ـ كالزمرة group والحلقة ring مثلاً ـ التي بدأت في منتصف القرن التاسع عشر. فقد ظهر مصطلح نصف الزمرة للمرة الأولى في باريس عام 1904 تحت اسم demi-group في كتاب للعالم الرياضي الفرنسي J.A.de Séguier عنوانه: «عناصر نظرية الزمرة المجردة» éléments de la théorie des groupes abstraits.
لكن نظرية نصف الزمرة بدأت في الحقيقة عام 1928 حين نشر العالم الرياضي الروسي أنطون سوشكيفيتش Anton K. Suschkewisch بحثاً مهماً مبينًا فيه أن كل نصف زمرة منتهية تحوي نواة، ودرس في بحثه هذا بنية أنصاف الزمر المنتهية. وحال دون تقدم نظرية نصف الزمرة أن النتائج التي أوردها سوشكيفيتش لم تكن بشكل يمكن استخدامها. وجاء دافيد ريز David Rees عام 1940، فأدخل مفاهيم جديدة، وأثبت بعض المبرهنات معمماً مبرهنة سوشكيفيتش، وأورد نتائج يمكن استخدامها. وتوالى بعد عام 1940 نشر الأبحاث عن نظرية نصف الزمرة، وازدادت على نحو مذهل. وفي عام 1970 صدر في الولايات المتحدة الأمريكية العدد الأول من المجلة العلمية الدورية: «منبر(منتدى) نصف الزمرة» Semigroup Forum المتخصصة في أبحاث نظرية نصف الزمرة. وتشعب البحث في نظرية نصف الزمرة وتطبيقاتها في شتى العلوم، وأخذت الدراسة فيها اتجاهين رئيسيين : النظرية الجبرية والنظرية التوبولوجية.
كان أول كتاب ظهر عن نظرية نصف الزمرة لسوشكيفيتش، نشره بالروسية في مدينة كراكوف عام 1937 تحت عنوان «تعميم نظرية الزمرة» Theory of Generalized Groups. ثم توالت الكتب المنشورة في هذا الموضوع.
تعاريف أساسية
نصف الزمرة التبديلية commutative semigroup: إذا كانت نصف الزمرة (*S, ) تملك الخاصة الإضافية الآتية:
من أجل أيّ عنصرين x و y من (∀ x, y ∈ S)S فإن x * y = y * x (وهو تعريف الخاصة التبديلية) سميَت نصف زمرة تبديلية.
ففي المثال (1)، على سبيل المثال: إن (N, +) و (N, x) و (س ، *) أنصاف زمر تبديلية، أما نصف الزمرة (س، #) فهي غير تبديلية.
نصف الزمرة الواحدية monoid: إذا كان في نصف الزمرة (*S, ) عنصر e بحيث: من أجل أيّ عنصر x من (∀ x ∈ S)S فإن x * y = y * x، دعي e عنصراً محايداً (حيادياً) identity element، وسميَت (*S, ) نصف زمرة واحدية (مونوئيد).
يبرهن على أن العنصر الحيادي في نصف زمرة إذا وجد فهو وحيد.
ففي المثال (1): إن (N, +) و (N, x) و (س ،*) أنصاف زمر واحدية (حيادي الأولى الصفر، وحيادي كل من الثانية والثالثة الواحد)، أما نصف الزمرة (س، #) فهي غير واحدية.
العنصرالجامد idempotent element: إذا كان a عنصراً من نصف الزمرة (*S, ) وكان a * a = a، أي (a2 = a)، فإن a يسمى عنصراً جامداً (وليس من الضروري أن يكون وحيداً). وإذا كانت عناصر S كلها جامدة سميت نصف الزمرة (*S, ) نصف زمرة جامدة idempotent semigroup أو عصبة band.
إن العنصر الحيادي في نصف زمرة واحدية هو عنصر جامد ، لكن العكس غير صحيح.
ففي المثال (1) إن(N, +) و (N, x) و (س ، *) و (س ، #) كلها أنصاف زمر ذات عناصر جامدة. أما نصفا الزمرتين المعرَّفتين بالجدولين الآتيين:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| الجدول(3) | الجدول(4) |
العنصرالماصّ (العنصر الصفري) zero element: إذا كان z عنصرًا من نصف الزمرة (*S, ) وكان z * a = a * z = a، مهما يكن a من (∀ a ∈S)،S فإن z يسمى عنصراً ماصاً.
يبرهن على أن العنصر الماصّ في نصف زمرة إذا وجد فهو وحيد.
ففي المثال (1): إن (N, x) و (س ، *) أنصاف زمر ذات عنصر ماصّ (العنصر الماصّ في الأولى الصفر، والعنصر الماصّ في الثانية هو العدد خمسة)، أما نصفا الزمرتين (N, +) و (س ، #) فلا تملك أيّ منهما عنصراً ماصّاً.
بنية نصف الزمرة
جداء مجموعتين: إذا كانت A و B مجموعتين جزئيتين غير خاليتين من المجموعة S وكانت (S, ∗) نصف زمرة
فإن{a*b : a Œ ∈ A, b ∈ B}=A*B (وقد تكتب AB إذا لم يكن هناك التباس).
المثالي ideal: إذا كانت (*S, ) نصف زمرة، وكانت A مجموعة جزئية غير خالية من S فإن:
A تدعى مثالياً يمينياً right ideal في S إذا كانت AS Í A، أي إذا كانت A*S محتواة في A.
وإن A تدعى مثالياً يسارياً left ideal في S إذا كانت SA Í A، أي إذا كانت S*A محتواة في A.
وتدعى A مثالياً ثنائي الجانب two-sided ideal (أو مثالياً) في S، إذا كانت SA Í A و AS Í A، أي إذا كانت A مثاليًا يساريًا ويمينيًا في آن واحد.
نصف الزمرة الجزئية subsemigroup: إذا كانت (*S, ) نصف زمرة، وكانت A مجموعة جزئية غير خالية من (φ ≠ A Í S)،S، فإن (*A, ) تدعى نصف زمرة جزئية من S (أو يقال A نصف زمرة جزئية من S) إذا كانت مغلقة بالنسبة إلى العملية *؛ أي إذا تحقق الشرط:
مهما يكن العنصران a و b من A فإن (a *b ∈ A)؛ أي ("a *b ∈ A) (a *b ∈ A)
يمكن التعبير عن هذا الشرط بصورة أخرى باستخدام مفهوم جداء مجموعتين:
إذا كـانت (*S, ) نصف زمـرة، وكانت A مجموعة جـزئيـة غير خـاليـة من S، (φ ≠ A∈ S)، فإن (*A, ) تدعى نصـف زمـرة جـزئـية من S إذا تحقق الـشرط: A *A محتـواة في A (أي A * A = A2 ÍA).
تكون A زمرة جزئية من نصف الزمرة S إذا كانت A * A = A2 = A
إن كل مثالي (يساري، يميني، ثنائي الجانب) في S هو نصف زمرة جزئية من S، ولكن العكس غير صحيح.
فعلى سبيل المثال، مجموعة الأعداد الصحيحة Z مع عملية الضرب العادي (Z, x) تشكل نصف زمرة، ومجموعة الأعداد الطبيعية N هي مجموعة جزئية غير خالية من Z، وحاصل ضرب أي عددين طبيعيين هو عدد طبيعي، ومن ثمّ (N, x)، (أي N) نصف زمرة جزئية من (Z, x)، (أي من Z).
كذلك إن الجدولين (5 و 6) يعرِّفان نصفي زمرتين جزئيتين من نصفي الزمرتين المعرفتين بالجدولين (3 و4) في المثال (1).
|
|
|||||||||||||||||||||||||
| الجدول(5) | الجدول(6) |
ϕ : S → T؛
أي إذا وجدت دالة ϕ : S → T تحقق الشروط الثلاثة الآتية:
1) من أجل أيّ x و y من S فإن ϕ (x* y) = ϕ (x)# ϕ (y) (أي ϕ تشاكل)
2) من أجل أيّ x و y من S فإن ϕ (x) = ϕ (y) ࠁ⇒ x = y (أي ϕ متباين)
3) من أجل أيّ y من T فإنه يوجد x من S بحيث (y = ϕ (x (أي ϕ غامر)
نصف الزمرة الدوارة cyclic semigroup: إذا كان a عنصراً من نصف الزمرة
(*S, ) فإن: = {a, a2, a3,…}={an :n ∈ N}، (حيث a2 = a * a و a3 = a * a * a)، نصف زمرة جزئية من S تدعى نصف زمرة جزئية دوارة مولدها a. وإذا كانت S = فإن S تدعى نصف زمرة دوارة مولدها a (تدعى أيضًا نصف زمرة ذات مولّد واحد monogenic semigroup).
مثال (1): إن نصف الزمرة(N,+) نصف زمرة دوارة غير منتهية مولّدها الواحد، أي إن N = <1>.
مثال (2): مجموعة الأعداد س = {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4} مع قانون التشكيل الداخلي * المعرف بالجدول (7):
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| الجدول(7) |
أنور توفيق اللحام