تويت
وكيبيديا
ريتشارد ستريت هاميلتون (من مواليد 10 يناير 1943) عالم رياضيات أمريكي يعمل كأستاذ ديفيز للرياضيات في جامعة كولومبيا . وهو معروف بمساهماته في التحليل الهندسي والمعادلات التفاضلية الجزئية . اشتهر هاملتون بمساهماته التأسيسية في نظرية تدفق ريتشي وتطوير برنامج مماثل من التقنيات والأفكار لحل تخمين بوانكاريه وتخمينات الهندسة في مجال الطوبولوجيا الهندسية . بنى جريجوري بيرلمان على نتائج هاملتون لإثبات التخمينات ، وحصل على جائزة الألفية لعمله. ومع ذلك ، رفض بيرلمان الجائزة ، فيما يتعلق بمساهمة هاملتون على أنها مساوية لمساهمته.
متباينات هارناك لمعادلات الحرارة
في عام 1986 ، اكتشف Peter Li و Shing-Tung Yau طريقة جديدة لتطبيق مبدأ الحد الأقصى للتحكم في حلول معادلة الحرارة . من بين النتائج الأخرى ، أظهروا أنه إذا كان لدى أحدهم حل موجب u لمعادلة الحرارة على مشعب ريماني مغلق من انحناء ريتشي غير السلبي ، فعندئذٍ يكون لدى المرء
{\ displaystyle {\ frac {\ جزئي u} {\ جزئي t}} + {\ frac {u} {2t}} + 2du (v) + u | v | _ {g} ^ {2} geq 0}{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {u}{2t}}+2du(v)+u|v|_{g}^{2}\geq 0}
لأي متجه مماس v . مثل هذه اللامساواة ، والمعروفة باسم "التفاضلية Harnack التفاضلية " أو "متباينات Li-Yau" ، مفيدة حيث يمكن دمجها على طول المسارات لمقارنة قيم u في أي نقطتين من الزمكان. كما أنهم يعطون مباشرة معلومات موجزة عن u ، بأخذ v يساوي صفرًا.
في عام 1993 ، أظهر هاميلتون أنه يمكن توسيع حسابات Li و Yau لإظهار أن تباين Harnack كان نتيجة لتباين أقوى في المصفوفة. [H93a] تطلبت نتيجته من مشعب ريماني المغلق أن يكون له انحناء مقطعي غير سلبي وموتر ريتشي موازٍ (مثل الحلقة المسطحة أو مقياس Fubini-Study على الفضاء الإسقاطي المعقد ) ، وفي غيابه حصل على نتيجة أضعف قليلاً. تُعرف متباينات المصفوفة أحيانًا باسم متباينات Li – Yau – Hamilton .
اكتشف هاملتون أيضًا أن منهجية Li-Yau يمكن تكييفها مع تدفق ريتشي . في حالة المشعبات ثنائية الأبعاد ، وجد أن حساب Li و Yau يمكن تكييفهما بشكل مباشر مع الانحناء القياسي على طول تدفق ريتشي. [H88] في الأبعاد العامة ، أظهر أن موتر انحناء ريمان يلبي تفاوتًا معقدًا ، مشابهًا بشكل رسمي لتمديد مصفوفته لمتباينة Li-Yau ، في حالة أن عامل الانحناء غير سالب. يلبي [H93b] كنتيجة جبرية فورية ، الانحناء القياسي عدم المساواة التي تكاد تكون مطابقة لتلك الخاصة بـ Li و Yau. تم استخدام هذه الحقيقة على نطاق واسع في دراسة هاميلتون وبيرلمان الإضافية لتدفق ريتشي.
عدّل هاملتون لاحقًا تقديره Li-Yau لتدفق Ricci مع تحديد متوسط تدفق الانحناء ، وهو أبسط قليلاً نظرًا لأن الهندسة تحكمها الشكل الأساسي الثاني ، الذي يتميز ببنية أبسط من موتر انحناء ريمان. [H95c] نظرية هاملتون ، التي تتطلب التحدب الصارم ، قابلة للتطبيق بشكل طبيعي على بعض التفردات لمتوسط تدفق الانحناء بسبب تقديرات التحدب لجيرهارد هويسكين وكارلو سينستراري
متباينات هارناك لمعادلات الحرارة
في عام 1986 ، اكتشف Peter Li و Shing-Tung Yau طريقة جديدة لتطبيق مبدأ الحد الأقصى للتحكم في حلول معادلة الحرارة . من بين النتائج الأخرى ، أظهروا أنه إذا كان لدى أحدهم حل موجب u لمعادلة الحرارة على مشعب ريماني مغلق من انحناء ريتشي غير السلبي ، فعندئذٍ يكون لدى المرء
{\ displaystyle {\ frac {\ جزئي u} {\ جزئي t}} + {\ frac {u} {2t}} + 2du (v) + u | v | _ {g} ^ {2} geq 0}{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {u}{2t}}+2du(v)+u|v|_{g}^{2}\geq 0}
لأي متجه مماس v . مثل هذه اللامساواة ، والمعروفة باسم "التفاضلية Harnack التفاضلية " أو "متباينات Li-Yau" ، مفيدة حيث يمكن دمجها على طول المسارات لمقارنة قيم u في أي نقطتين من الزمكان. كما أنهم يعطون مباشرة معلومات موجزة عن u ، بأخذ v يساوي صفرًا.
في عام 1993 ، أظهر هاميلتون أنه يمكن توسيع حسابات Li و Yau لإظهار أن تباين Harnack كان نتيجة لتباين أقوى في المصفوفة. [H93a] تطلبت نتيجته من مشعب ريماني المغلق أن يكون له انحناء مقطعي غير سلبي وموتر ريتشي موازٍ (مثل الحلقة المسطحة أو مقياس Fubini-Study على الفضاء الإسقاطي المعقد ) ، وفي غيابه حصل على نتيجة أضعف قليلاً. تُعرف متباينات المصفوفة أحيانًا باسم متباينات Li – Yau – Hamilton .
اكتشف هاملتون أيضًا أن منهجية Li-Yau يمكن تكييفها مع تدفق ريتشي . في حالة المشعبات ثنائية الأبعاد ، وجد أن حساب Li و Yau يمكن تكييفهما بشكل مباشر مع الانحناء القياسي على طول تدفق ريتشي. [H88] في الأبعاد العامة ، أظهر أن موتر انحناء ريمان يلبي تفاوتًا معقدًا ، مشابهًا بشكل رسمي لتمديد مصفوفته لمتباينة Li-Yau ، في حالة أن عامل الانحناء غير سالب. يلبي [H93b] كنتيجة جبرية فورية ، الانحناء القياسي عدم المساواة التي تكاد تكون مطابقة لتلك الخاصة بـ Li و Yau. تم استخدام هذه الحقيقة على نطاق واسع في دراسة هاميلتون وبيرلمان الإضافية لتدفق ريتشي.
عدّل هاملتون لاحقًا تقديره Li-Yau لتدفق Ricci مع تحديد متوسط تدفق الانحناء ، وهو أبسط قليلاً نظرًا لأن الهندسة تحكمها الشكل الأساسي الثاني ، الذي يتميز ببنية أبسط من موتر انحناء ريمان. [H95c] نظرية هاملتون ، التي تتطلب التحدب الصارم ، قابلة للتطبيق بشكل طبيعي على بعض التفردات لمتوسط تدفق الانحناء بسبب تقديرات التحدب لجيرهارد هويسكين وكارلو سينستراري