تويت
الفضاء الهرميتي
الفضاء (الواحدي) الهرميتي The Hermitian (Unitary) Space
تعريف: الفضاء الهرميتي هو فضاء عقدي مزود بجداء هرميتي. وقد سمي كذلك نسبة إلى العالم الفرنسي شارل هيرميت (1822-1943).
الفضاء العقدي V complex space هو فضاءٌ متجهي (شعاعي)[ر] معرف على حقل الأعداد العقدية C.
الجداء الهرميتي The Hermitian product على فضاء عقدي V هو تطبيق:
* : V.V ® C ; (u,v) a u * v
يحقق الشروط الآتية:
1) v0 < u * u وذلك أياً يكن u ¹ 0 , u Î V
2) u = 0 Û u * u = 0
3)
4) (au, bv) * w = a (u * w) + b (v * w) وذلك "a, b Î C, " u,v, w Î V
5)
مثال : ليكن V الفضاء المتجهي للدوال المستمرة f : [ 0, 2 π] → C
فإن العملية * على V المعرفة بالشكل:
حيث f , g Î V تعين جداءً هرميتياً على V.
النظيم norm
تعريف: إذا كان u متجهاً من فضاء هرميتي V فإن العدد الحقيقي غير السالب
يدعى نظيم المتجه u. إذا كان نظيم المتجه u يساوي الواحد، قيل إن u متجه منظَم.
إن كل متجه (u ≠ 0) , u يقابله متجه منظم
يوازي المتجه u.
خواص الجداء الهرميتي
يتصف الجداء الهرميتي بالخواص الآتية:
1) v"u, v Î V u * v ≠ v * w (الجداء الهرميتي غير تبديلي).
2) v"u, v, w Î V ; (u + v) * w = u * w + v * w (الخاصة التوزيعية من اليمين).
3) v"u, v, w Î V ; w * (u + v) = w * u + w * v (الخاصة التوزيعية من اليسار).
4)
5) v"u Î V ||u|| ≥ 0 (النظيم عدد حقيقي غير سالب)
6) u = 0 ⇔ ||u|| ≥ 0 (نظيم المتجه الصفري هو الصفر)
7) " λ Î C " u Î V || λ u|| = | λ | . ||u|| | λ
(| λ | طويلة العدد العقدي λ)
8) " u, v Î V |u * v| ≤ |u|. |v|v
9) v"u, v Î V ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||v
إن الخـاصـة الثامنــة تدعـى متباينـــة كوشــي - شــفارتز Cauchy- Schwarz inequality، كما تسـمى الخاصـة التاسعة متباينة المثلث triangle inequality أو متباينة مينكوفيسكي Minkowski inequality.
10) إذا كان x, y متجهين من فضاء هرميتي V، فإن الجداء الهرميتي:
تعامد متجهين في فضاء هرميتي
إذا كان a وb متجهين من فضاء هرميتي، فإن a وb متعامدان orthogonal إذا كان الجداء الهرميتي لهما يساوي الصفر، أي a*b = 0.
ـ إن u = 0 هو المتجه الوحيد العمودي على نفسه.
ـ يقال عن مجموعة المتجهات S من الفضاء الهرميتي V إنها متعامدة إذا كان كل متجهين منها متعامدين، وتدعى متعامدة منظمة orthonormal إذا كانت متعامدة وكان نظيم كل متجه منها يساوي الواحد.
ـ أي مجموعـة متجهات متعامدة {b1, b2, …, bn} من فضاء هرميتي V (لا تحوي المتجه الصفري)، تكون مستقلة خطياً. فإذا كان عددها يساوي بعد الفضاء V، كانت قاعدة متعامدة لهذا الفضاء.
ـ إذا كانت {b1, b2, …, bn} قاعدة متعامدة في فضاء هرميتي V، وكان
متجهاً ما من V، فإن:
ـ إذا كانت {a1, a2, …, a n} قاعدة متعامدة منظمة في فضاء هرميتي V، وكان
متجهاً ما من V، فإن:
xi = x * ai i = 1, …, n
ـ تكون مجموعة المتجهات {a1, a2, …, a n} قاعدة متعامدة منظمة للفضاء الهرميتي V إذا كان:
ـ كل فضـاء هرميتي منتهي البعد يملك قاعدة متعامدة منظمة واحدة على الأقل.
ـ إذا كانت {a1, a2, …, a n} قاعدة متعامدة منظمة للفضاء الهرميتي V فإن:
والجداء الهرميتي يصبح:
ويكون النظيم:
مثال: إن القاعدة القانونية للفضاء الهرميتي V = Cn هي
{e1 = (1,0,0,…,0), e2 = (0,1,0,…,0), …, en = (0,0,0,…,0,1)}
فإذا كان x, y Î V حيث {x = (x1, x2, …, xn) y = (y1, y2, …, yn)
فإن:
أي
هو جداء هرميتي على V = Cn ويدعى بالجداء القياسي على V.
ويكون نظيم المتجه x هو:
فمثلاً إن الجداء الهرميتي للمتجهين u = (1+i,3i,2-i), v = (2-3i,1+2i,3-i)
في C3 هو u * v = (1+i).(2+3i) + (3i).(1-2i) + (2-i).(3+i) =12 + 7i
وإن
وكذلك
ـ إن طريقة غرام - شميدت Gram- Schimdt المتبعة في إيجاد قواعد متعامدة منظمة للفضاءات الإقليدية، تطبق تماماً كما هي من أجل الفضاءات الهرميتية، بعد استبدال الجداء الهرميتي المعرف على الفضاء الهرميتي بالجداء الداخلي المعرف على الفضاء الإقليدي.
ـ إذا كان V فضاءً هرميتياً وكان u, v Î V; u ≠ 0 ≠ v فإن
يدعى مسقط (مرتسم) u القائم على v.
ـ إذا كان V فضاءً هرميتياً وكانت {a1, a2, …, a n} قاعدة للفضاء V فإن طريقة غرام - شميدت تعين قاعدة متعامدة منظمة {e1, e2, …, e n} للفضاء V كما يأتي:
b1 = a1
b2 = a2- Prb1(a2)
b3 = a3 - Prb2(a3) - Prb2(a3)
.
.
.
bn = an - Prb2(an) - Prb2(an) - ….. - Prbn-1(an)
إن {b1, b2, …, b n} قاعدة متعامدة للفضاء V.
إن القاعدة المتعامدة المنظمة المطلوبة هي:
إذا كان V فضاءً إقليدياً[ر] وكان u, v Î V
فإن: u, v متعامدان
أما إذا كان V فضاءً هرميتياً فإن: u,v متعامدان
لكن العكس غير صحيح. ذلك أن v = i.u وu ≠ 0 يجعل v ≠ 0
وبالتالي u * v ≠ 0، أي إن u, v غير متعامدين، ومع ذلك فإن
أي إنه في الفضاء الهرميتي
المصفوفات الهرميتية Hermitian matrices
إن مصفوفة matrix ذات n سطراً وn عموداً، تدعى مصفوفة مربعة من المرتبة (square matrix of order) n.
إن منقول مصفوفة A = [aij] (transpose of a matrix)، من المرتبة m.n، هو مصفوفة B = [bij] من المرتبة m.n؛ حيث bij = aji من أجل جميع قيم i, j؛ ويرمز لها AT.
إذا كانت A مصفوفة مربعة، وكانت A = AT فإن A تدعى مصفوفة متناظرة symmetric matrix.
إذا كانت A = [aij] مصفوفة معرفة على حقل الأعداد العقدية C، فإن مرافق منقول (conjugate transpose of A) vAv هو:
ويمكن البرهان على صحة ما يأتي:
1) (A*)* = A
2) (A + B)* = A* + B*
3) (A. B)* = B*. A*
4)
وذلك مهما تكن λ Î C
مثال: إن مرافق منقول المصفوفة
المصفوفة الهرميتية هي مصفوفة مربعة A معرفة على حقل الأعداد العقدية C، ومرافق منقول A يساوي A، أي
مثال: إن المصفوفة
مصفوفة هرميتية. ذلك لأن
بينما المصفوفة
ليست هرميتية، لأن
ـ إن كل عنصر من عناصر القطر الرئيسي في مصفوفة هرميتية هو عدد حقيقي.
ـ لتكن S = Mn(C) مجموعة كل المصفوفات المربعة ذات المرتبة n والمعرفة على حقل الأعداد العقدية C، إن S مع عمليتي جمع المصفوفات وضرب مصفوفة بعدد من C، تشكل فضاءً متجهياً عقدياً. بينما مجموعة كل المصفوفات الهرميتية ذات المرتبة n، ولتكن H، والتي هي مجموعة جزئية من S، لا تشكل فضاء جزئياً من S.
فمثلاً إذا كانت A مصفوفة هرميتية من H، فإن عناصر قطرها الرئيسي أعداد حقيقية، بينما المصفوفة B = i.A ليست هرميتية، لأن كل عنصر من عناصر قطرها الرئيسي هو عدد تخيلي، وبالتالي B لا تنتمي إلى H.
ـ تدعى المصفوفة الهرميتية A Î S = Mn(C) متعامدة إذا كان A. A* = In. أي إذا كانت (A* = A-1). (حيث In هي مصفوفة الواحدة في S).
أنور توفيق اللحام
الفضاء (الواحدي) الهرميتي The Hermitian (Unitary) Space
تعريف: الفضاء الهرميتي هو فضاء عقدي مزود بجداء هرميتي. وقد سمي كذلك نسبة إلى العالم الفرنسي شارل هيرميت (1822-1943).
الفضاء العقدي V complex space هو فضاءٌ متجهي (شعاعي)[ر] معرف على حقل الأعداد العقدية C.
الجداء الهرميتي The Hermitian product على فضاء عقدي V هو تطبيق:
* : V.V ® C ; (u,v) a u * v
يحقق الشروط الآتية:
1) v0 < u * u وذلك أياً يكن u ¹ 0 , u Î V
2) u = 0 Û u * u = 0
3)
4) (au, bv) * w = a (u * w) + b (v * w) وذلك "a, b Î C, " u,v, w Î V
5)
مثال : ليكن V الفضاء المتجهي للدوال المستمرة f : [ 0, 2 π] → C
فإن العملية * على V المعرفة بالشكل:
حيث f , g Î V تعين جداءً هرميتياً على V.
النظيم norm
تعريف: إذا كان u متجهاً من فضاء هرميتي V فإن العدد الحقيقي غير السالب
يدعى نظيم المتجه u. إذا كان نظيم المتجه u يساوي الواحد، قيل إن u متجه منظَم. إن كل متجه (u ≠ 0) , u يقابله متجه منظم
يوازي المتجه u.خواص الجداء الهرميتي
يتصف الجداء الهرميتي بالخواص الآتية:
1) v"u, v Î V u * v ≠ v * w (الجداء الهرميتي غير تبديلي).
2) v"u, v, w Î V ; (u + v) * w = u * w + v * w (الخاصة التوزيعية من اليمين).
3) v"u, v, w Î V ; w * (u + v) = w * u + w * v (الخاصة التوزيعية من اليسار).
4)
5) v"u Î V ||u|| ≥ 0 (النظيم عدد حقيقي غير سالب)
6) u = 0 ⇔ ||u|| ≥ 0 (نظيم المتجه الصفري هو الصفر)
7) " λ Î C " u Î V || λ u|| = | λ | . ||u|| | λ
(| λ | طويلة العدد العقدي λ)
8) " u, v Î V |u * v| ≤ |u|. |v|v
9) v"u, v Î V ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||v
إن الخـاصـة الثامنــة تدعـى متباينـــة كوشــي - شــفارتز Cauchy- Schwarz inequality، كما تسـمى الخاصـة التاسعة متباينة المثلث triangle inequality أو متباينة مينكوفيسكي Minkowski inequality.
10) إذا كان x, y متجهين من فضاء هرميتي V، فإن الجداء الهرميتي:
تعامد متجهين في فضاء هرميتي
إذا كان a وb متجهين من فضاء هرميتي، فإن a وb متعامدان orthogonal إذا كان الجداء الهرميتي لهما يساوي الصفر، أي a*b = 0.
ـ إن u = 0 هو المتجه الوحيد العمودي على نفسه.
ـ يقال عن مجموعة المتجهات S من الفضاء الهرميتي V إنها متعامدة إذا كان كل متجهين منها متعامدين، وتدعى متعامدة منظمة orthonormal إذا كانت متعامدة وكان نظيم كل متجه منها يساوي الواحد.
ـ أي مجموعـة متجهات متعامدة {b1, b2, …, bn} من فضاء هرميتي V (لا تحوي المتجه الصفري)، تكون مستقلة خطياً. فإذا كان عددها يساوي بعد الفضاء V، كانت قاعدة متعامدة لهذا الفضاء.
ـ إذا كانت {b1, b2, …, bn} قاعدة متعامدة في فضاء هرميتي V، وكان
متجهاً ما من V، فإن:
ـ إذا كانت {a1, a2, …, a n} قاعدة متعامدة منظمة في فضاء هرميتي V، وكان
متجهاً ما من V، فإن:
xi = x * ai i = 1, …, n
ـ تكون مجموعة المتجهات {a1, a2, …, a n} قاعدة متعامدة منظمة للفضاء الهرميتي V إذا كان:
ـ كل فضـاء هرميتي منتهي البعد يملك قاعدة متعامدة منظمة واحدة على الأقل.
ـ إذا كانت {a1, a2, …, a n} قاعدة متعامدة منظمة للفضاء الهرميتي V فإن:
والجداء الهرميتي يصبح:
ويكون النظيم:
مثال: إن القاعدة القانونية للفضاء الهرميتي V = Cn هي
{e1 = (1,0,0,…,0), e2 = (0,1,0,…,0), …, en = (0,0,0,…,0,1)}
فإذا كان x, y Î V حيث {x = (x1, x2, …, xn) y = (y1, y2, …, yn)
فإن:
أي
هو جداء هرميتي على V = Cn ويدعى بالجداء القياسي على V.
ويكون نظيم المتجه x هو:
فمثلاً إن الجداء الهرميتي للمتجهين u = (1+i,3i,2-i), v = (2-3i,1+2i,3-i)
في C3 هو u * v = (1+i).(2+3i) + (3i).(1-2i) + (2-i).(3+i) =12 + 7i
وإن
وكذلك
ـ إن طريقة غرام - شميدت Gram- Schimdt المتبعة في إيجاد قواعد متعامدة منظمة للفضاءات الإقليدية، تطبق تماماً كما هي من أجل الفضاءات الهرميتية، بعد استبدال الجداء الهرميتي المعرف على الفضاء الهرميتي بالجداء الداخلي المعرف على الفضاء الإقليدي.
ـ إذا كان V فضاءً هرميتياً وكان u, v Î V; u ≠ 0 ≠ v فإن
يدعى مسقط (مرتسم) u القائم على v.
ـ إذا كان V فضاءً هرميتياً وكانت {a1, a2, …, a n} قاعدة للفضاء V فإن طريقة غرام - شميدت تعين قاعدة متعامدة منظمة {e1, e2, …, e n} للفضاء V كما يأتي:
b1 = a1
b2 = a2- Prb1(a2)
b3 = a3 - Prb2(a3) - Prb2(a3)
.
.
.
bn = an - Prb2(an) - Prb2(an) - ….. - Prbn-1(an)
إن {b1, b2, …, b n} قاعدة متعامدة للفضاء V.
إن القاعدة المتعامدة المنظمة المطلوبة هي:
إذا كان V فضاءً إقليدياً[ر] وكان u, v Î V
فإن: u, v متعامدان
أما إذا كان V فضاءً هرميتياً فإن: u,v متعامدان
لكن العكس غير صحيح. ذلك أن v = i.u وu ≠ 0 يجعل v ≠ 0
وبالتالي u * v ≠ 0، أي إن u, v غير متعامدين، ومع ذلك فإن
أي إنه في الفضاء الهرميتي
المصفوفات الهرميتية Hermitian matrices
إن مصفوفة matrix ذات n سطراً وn عموداً، تدعى مصفوفة مربعة من المرتبة (square matrix of order) n.
إن منقول مصفوفة A = [aij] (transpose of a matrix)، من المرتبة m.n، هو مصفوفة B = [bij] من المرتبة m.n؛ حيث bij = aji من أجل جميع قيم i, j؛ ويرمز لها AT.
إذا كانت A مصفوفة مربعة، وكانت A = AT فإن A تدعى مصفوفة متناظرة symmetric matrix.
إذا كانت A = [aij] مصفوفة معرفة على حقل الأعداد العقدية C، فإن مرافق منقول (conjugate transpose of A) vAv هو:
ويمكن البرهان على صحة ما يأتي:
1) (A*)* = A
2) (A + B)* = A* + B*
3) (A. B)* = B*. A*
4)
وذلك مهما تكن λ Î C
مثال: إن مرافق منقول المصفوفة
المصفوفة الهرميتية هي مصفوفة مربعة A معرفة على حقل الأعداد العقدية C، ومرافق منقول A يساوي A، أي
مثال: إن المصفوفة
مصفوفة هرميتية. ذلك لأن
بينما المصفوفة
ليست هرميتية، لأن
ـ إن كل عنصر من عناصر القطر الرئيسي في مصفوفة هرميتية هو عدد حقيقي.
ـ لتكن S = Mn(C) مجموعة كل المصفوفات المربعة ذات المرتبة n والمعرفة على حقل الأعداد العقدية C، إن S مع عمليتي جمع المصفوفات وضرب مصفوفة بعدد من C، تشكل فضاءً متجهياً عقدياً. بينما مجموعة كل المصفوفات الهرميتية ذات المرتبة n، ولتكن H، والتي هي مجموعة جزئية من S، لا تشكل فضاء جزئياً من S.
فمثلاً إذا كانت A مصفوفة هرميتية من H، فإن عناصر قطرها الرئيسي أعداد حقيقية، بينما المصفوفة B = i.A ليست هرميتية، لأن كل عنصر من عناصر قطرها الرئيسي هو عدد تخيلي، وبالتالي B لا تنتمي إلى H.
ـ تدعى المصفوفة الهرميتية A Î S = Mn(C) متعامدة إذا كان A. A* = In. أي إذا كانت (A* = A-1). (حيث In هي مصفوفة الواحدة في S).
أنور توفيق اللحام