ولدت أسماء حمزة في 11 ديسمبر عام 1936 في حلفاية الملوك في السودان وهي وحيدة والديها ولها بنت وحيدة (وفاق) أنجبت لها حفيدتين، كانت تتمنى أن تكون طبيبة أو مغنية ولكن ولدت بعلة في حبالها الصوتية منعتها من أن تكون مغنية، وساعدها والدها واشترى لها عودا لتعزف عليه عندما وجدها تعزف بصورة جيدة على الصافرة، وتأثرت بأم كلثوم وعبد الحليم حافظ ومحمد عبد الوهاب في بداية انطلاقها كملحنة ومن الذين تتلمذوا على يديها الموسيقار والعازف السوداني الشهير بشير عباس.
بدأت رحلتها مع عزف العود عام 1948 في مدينة كسلا وكانت بعمر 12 سنة، وأول أغنية قامت بتلحينها هي أغنية يا عيوني من ديوان الملاح التائه للشاعر المصري علي محمود طه في عام 1956 وبدأت العمل في سلاح الموسيقى السودانية عام 1982، وأول عمل اشتهرت به كملحنة أغنية الزمن الطيب للشاعر السوداني سيف الدين الدسوقي وقامت بغنائها المطربة السودانية سمية وتلحينها لملحمة عَزة وعِزة، وفي 21 مايو عام 2018، انتقلت العازفة أسماء بشير إلى رحاب الله.