تويت
اعداد صحيحه (حلقه)
Integers - Entiers relatifs
الأعداد الصحيحة (حلقة ـ)
بعد أن عَرَفَ الإنسان نظام الأعداد الطبيعية 0، 1، 2، 3، واستطاع حلَّ بعض المعادلات الجبرية البسيطة عليه، وجد أن هذا النظام لا يفي بكل حاجاته فهو لا يستطيع به مثلاً حل المعادلة س+ 7=2، أي أنه لا يوجد عدد طبيعي يحقق هذه المعادلة، من هنا نبعت الحاجة إلى نظام جديد يسدّ النقص في النظام السابق فكان نظام الأعداد الصحيحة integers . و+1 و-1 و+2 و-2،... والذي يرمز له بـ ص (Z).
عُرِّفت على مجموعة الأعداد الصحيحة ص عمليتا جمع وضرب تجعلُ منها حلقة تبادلية واحدية كاملة، وعلاقة ترتيب (وهي أصغر أو يساوي) تجعلها مرتبة تماماً.
تعريف الأعداد الصحيحة بعلاقة تكافؤ في ط × ط والعمليات عليها
1ـ ترمز ط لمجموعة الأعداد الطبيعية 0، 1، 2، 3، . و ط × ط لمجموعة الجُداء ط في ط أي مجموعة الأزواج (س،ع) حيث ينتمي كل من س و ع إلى ط. تُعرَّف على ط × ط العلاقة ~ التالية:
(أ، ب) ~ (أَ، بَ) ⇔ أ + بَ = ب + أَ
تتصف هذه العلاقة بأنها:
ـ انعكاسية لأن أ + ب = ب + أ يقتضي (أ، ب) ~ (أ، ب)
ـ تناظرية لأن:
(أ، ب) ~ (أَ، بَ) ⇔ أ + بَ = ب + أَ ⇔ أَ + ب = بَ + أ ⇔ (أَ، بَ) ~ (أ، ب)
ـ متعدية لأن:
(أ، ب) ~ (أَ، بَ) و (أَ، بَ) ~ (أً، بً) مكافئ لـ:
أ + بَ = ب + أَ و أَ + بً = بَ +أً
وهذا يعطي بجمع كل طرف إلى الطرف الذي يماثله والاختصار:
أ + بً = ب + أً ⇔ (أ، ب) ~ (أً، بً) وهكذا تكون العلاقة المعرّفة في ط × ط علاقة تكافؤ.
تسمى مجموعة صفوف التكافؤ من ط × ط (أي المجموعة الخارجة لـ ط × ط على ~) مجموعة الأعداد الصحيحة.
أمثلة على الأزواج المتكافئة: إن الأزواج (17، 20)، (6، 9) و(13، 16) متكافئة وتمثل عدداً صحيحاً واحداً، والأمر ذاته يصح في الأزواج (8، 3)، (7، 2)، (15، 10) و(12، 7).
وفي كل صف تكافؤ زوج تكون إحدى مركبتيه على الأقل مساوية الصفر، ففي المثال الأول يوجد الزوج (0، 3) أما في المثال الثاني فيوجد الزوج (5، 0). يمثل الزوج (0، 0) صف التكافؤ (أ، أ) وذلك مهما كان العنصر أ من ط، وهكذا يقبل كل عدد صحيح ممثلاً قانونياً هو أحد الأشكال التالية (مـ، 0) أو (0، ن) أو (0، 0) حيث تنتمي كل من مـ وَ ن إلى ط*.
تقابل هذه الأشكال الثلاثة المختلفة للتمثيلات القانونية على التوالي الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة والصفر بالشكل الذي جرت العادة باستعماله في الحسابات الابتدائية. وينتج من هذا أنه إذا كانت ب في العدد (أ، ب) أصغر من أ فإن هذا العدد موجب، أما إذا كانت ب أكبر من أ فإنه سالب.
يرمز لصف تكافؤ الزوج (مـ، 0) بـ مـ ولصف تكافؤ الزوج (0، ن) بـ -ن وصف تكافؤ الزوج (0، 0) بـ0.
ترمز صَ لمجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة بما في ذلك الصفر، كما ترمز صً لمجموعة الأعداد السالبة بما في ذلك الصفر فيكون
ص = صَ È صً و {0} = صً Ç صً
2ـ الجمع في ص: بفرض أن (أ، ب)، (حـ، د) زوجان من ط × ط، فإن الزوج (أ + جـ، ب+ د) يسمى مجموع هذين الزوجين بالترتيب الذي وردا فيه، يرمز لعملية الجمع الجديدة في ص بالإشارة +، التي لا تختلف عن إشارة الجمع في ط.
يجب أن لا يتغير حاصل الجمع بتغيير الممثل لصف التكافؤ أي إنه ينبغي أن تكون علاقة التكافؤ منسجمة مع عملية الجمع، أي إذا كان:
(أ، ب) ~ (أَ، بَ) و (جـ، د) ~ (جـَ، دَ)
فيجب أن يكون:
[(أ،ب) + (جـ،د)] ~ [(أَ،بَ) +(جـَ،دَ)]
أو: (أ + جـ، ب + د) ~ (أَ + جـَ، بَ + دَ)
لدينا:
(أ، ب) ~ (أَ، بَ) ⇔ أ + بَ = ب + أَ
(جـ، د) ~ (جـَ، دَ) ⇔ جـ + دَ = د + جـَ
وهذا يقتضي:
أ + جـ + بَ + دَ = ب + د + أَ + جـَ
أو: (أ + جـ، ب + د) ~ (أَ + جـَ، بَ + دَ)
أي إنه يمكن أن يؤخذ أي ممثلٍ لصف تكافؤ لإجراء عملية جمع عنصرين من ص.
يتصف الجمع في ص بأنه:
ـ تجميعي س + (ع + ف) = (س + ع) + ف؛ ∀س، ع، ف Э ص
ـ تبادلي س + ع = ع + س؛ "س، ع Э ص
ـ ذو عنصر محايد هو الصفر 0 = (0 ، 0)؛ س + 0= س، ∀س Э ص
ـ كل عنصر من ص نظور (أي له نظير)، ونظير سэ ص هو العنصر سَ بحيث يكون س + سَ = (0 ، 0)؛ ويرمز للنظير سَ بـ -س وهذا يعلل لماذا يرمز لـ (0، س) بـ -س.
تشكل المجموعة ص مزودةً بعملية الجمع هذه زمرة تبادلية.
وينتج من تعريف الجمع أن حاصل جمع أي عددين صحيحين موجبين أو سالبين هو عدد صحيح موجب أو سالب على الترتيب، وأن نظير أي عدد صحيح موجب هو عدد صحيح سالب.
3 ـ الضرب في ص: بفرض أن (أ،ب)، (جـ، د) زوجان في ط × ط، فإن الزوج (أ جـ + ب د، أ د + ب جـ) يسمى جُداء هذين الزوجين ويكتب:
(أ، ب) × (جـ، د) = (أ جـ + ب د، أ د + ب جـ)
حيث رمز لعملية الضرب بالإشارة × التي لا تختلف عن إشارة الضرب في ط. لا يتغير حاصل الضرب بتغيير الممثل لصف التكافؤ، أي أن علاقة التكافؤ ~ منسجمة مع عملية الضرب في ص؛ وهذا يعني أن الجداء (أ، ب) × (جـ، د) مكافئ للجداء (أََ، بَ) × (جـَ، دَ) إذا كان (أ، ب) و(جـ، د) مكافئين على الترتيب لـ (أََ، بَ)و (جـَ، دَ)
يتصف الضرب في ص بأنه:
ـ تجميعي س × (ع × ف) = (س × ع) × ف؛ ∀س، ع، ف Э ص
تبادلي س × ع = ع × س؛ ∀س، ع Э ص
ـ توزيعي بالنسبة للجمع س × (ع + ف) = س × ع + س × ف، ∀س، ع، ف Э ص
ـ ذو عنصر محايد (1، 0) ويرمز له بـ 1، ويكون:
س × 1= 1 × س= س؛ ∀س Э ص
ينتج من تعريف الضرب أن جداء أي عددين صحيحين موجبين معاً أو سالبين معاً هو عدد موجب، وجداء عدد صحيح موجب بآخر سالب هو عدد صحيح سالب.
4 ـ ص حلقة صحيحة: تشكل مجموعة الأعداد الصحيحة ص مزودة بعمليتي الجمع والضرب حلقة واحدية تبادلية، إضافة إلى ذلك فإن ص حلقة كاملة أي:
س × ع =0 تقتضي س =0 أو ع =0 بذلك تصبح ص حلقة صحيحة (حلقة تبادلية واحدية وكاملة).
5 ـ غَمْر ص لـ ط: إن التطبيق
تا: ط ← ص
أ ← (أ، 0)
تباكل (تشاكل متباين)، كذلك فإن تا تماكل (تشاكل تقابلي) لـ ط على المجموعة
تا(ط)= {(أ،0)| أЭ ط} الجزئية من ط × ط وهذا يبرر الاصطلاح أ = (أ، 0).
6 ـ علاقة الترتيب في ص: تُعرّف في ص العلاقة ≤ بحيث أن س ≤ ع ⇔ ع - س Э صَ (وتقرأ س أصغر أو تساوي ع أو س أصغر من ع اختصاراً). تتصف هذه العلاقة بأنها:
ـ انعكاسية لأن س - س =0 Э صَ
ـ متخالفة التناظر لأن (س ≤ ع و ع ≤ س) تكافئ ع- س Э ص وس- ع Э ص وهذا يقتضي
س-ع Э صَ Ç صً ={0}أي أن س - ع =0 أو س = ع.
ـ متعدية لأنه إذا كان (س ≤ ع وع ≤ ف) أي إذا كان ع – س Э صَ وف – ع Э صَ فإن
ع - س + ف - ع Э صَ
أي أن ف - س Э صَ ومن ثمَّ فإن س ≤ ف.
ينتج مما سبق أن ≤ علاقة ترتيب؛ يضاف إلى ذلك أنها علاقة ترتيب كلية، لأنه مهما يكن س،ع э ص، فإما أن يكون س – ع э صَ أي أن ع ≤ س، أو أن يكون س – ع Э صً أي س ≤ ع؛ كما أنه يمكن أن يكون س-ع Эصَ∩صً={0} وعندها يكون س=ع.
Integers - Entiers relatifs
الأعداد الصحيحة (حلقة ـ)
بعد أن عَرَفَ الإنسان نظام الأعداد الطبيعية 0، 1، 2، 3، واستطاع حلَّ بعض المعادلات الجبرية البسيطة عليه، وجد أن هذا النظام لا يفي بكل حاجاته فهو لا يستطيع به مثلاً حل المعادلة س+ 7=2، أي أنه لا يوجد عدد طبيعي يحقق هذه المعادلة، من هنا نبعت الحاجة إلى نظام جديد يسدّ النقص في النظام السابق فكان نظام الأعداد الصحيحة integers . و+1 و-1 و+2 و-2،... والذي يرمز له بـ ص (Z).
عُرِّفت على مجموعة الأعداد الصحيحة ص عمليتا جمع وضرب تجعلُ منها حلقة تبادلية واحدية كاملة، وعلاقة ترتيب (وهي أصغر أو يساوي) تجعلها مرتبة تماماً.
تعريف الأعداد الصحيحة بعلاقة تكافؤ في ط × ط والعمليات عليها
1ـ ترمز ط لمجموعة الأعداد الطبيعية 0، 1، 2، 3، . و ط × ط لمجموعة الجُداء ط في ط أي مجموعة الأزواج (س،ع) حيث ينتمي كل من س و ع إلى ط. تُعرَّف على ط × ط العلاقة ~ التالية:
(أ، ب) ~ (أَ، بَ) ⇔ أ + بَ = ب + أَ
تتصف هذه العلاقة بأنها:
ـ انعكاسية لأن أ + ب = ب + أ يقتضي (أ، ب) ~ (أ، ب)
ـ تناظرية لأن:
(أ، ب) ~ (أَ، بَ) ⇔ أ + بَ = ب + أَ ⇔ أَ + ب = بَ + أ ⇔ (أَ، بَ) ~ (أ، ب)
ـ متعدية لأن:
(أ، ب) ~ (أَ، بَ) و (أَ، بَ) ~ (أً، بً) مكافئ لـ:
أ + بَ = ب + أَ و أَ + بً = بَ +أً
وهذا يعطي بجمع كل طرف إلى الطرف الذي يماثله والاختصار:
أ + بً = ب + أً ⇔ (أ، ب) ~ (أً، بً) وهكذا تكون العلاقة المعرّفة في ط × ط علاقة تكافؤ.
تسمى مجموعة صفوف التكافؤ من ط × ط (أي المجموعة الخارجة لـ ط × ط على ~) مجموعة الأعداد الصحيحة.
أمثلة على الأزواج المتكافئة: إن الأزواج (17، 20)، (6، 9) و(13، 16) متكافئة وتمثل عدداً صحيحاً واحداً، والأمر ذاته يصح في الأزواج (8، 3)، (7، 2)، (15، 10) و(12، 7).
وفي كل صف تكافؤ زوج تكون إحدى مركبتيه على الأقل مساوية الصفر، ففي المثال الأول يوجد الزوج (0، 3) أما في المثال الثاني فيوجد الزوج (5، 0). يمثل الزوج (0، 0) صف التكافؤ (أ، أ) وذلك مهما كان العنصر أ من ط، وهكذا يقبل كل عدد صحيح ممثلاً قانونياً هو أحد الأشكال التالية (مـ، 0) أو (0، ن) أو (0، 0) حيث تنتمي كل من مـ وَ ن إلى ط*.
تقابل هذه الأشكال الثلاثة المختلفة للتمثيلات القانونية على التوالي الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة والصفر بالشكل الذي جرت العادة باستعماله في الحسابات الابتدائية. وينتج من هذا أنه إذا كانت ب في العدد (أ، ب) أصغر من أ فإن هذا العدد موجب، أما إذا كانت ب أكبر من أ فإنه سالب.
يرمز لصف تكافؤ الزوج (مـ، 0) بـ مـ ولصف تكافؤ الزوج (0، ن) بـ -ن وصف تكافؤ الزوج (0، 0) بـ0.
ترمز صَ لمجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة بما في ذلك الصفر، كما ترمز صً لمجموعة الأعداد السالبة بما في ذلك الصفر فيكون
ص = صَ È صً و {0} = صً Ç صً
2ـ الجمع في ص: بفرض أن (أ، ب)، (حـ، د) زوجان من ط × ط، فإن الزوج (أ + جـ، ب+ د) يسمى مجموع هذين الزوجين بالترتيب الذي وردا فيه، يرمز لعملية الجمع الجديدة في ص بالإشارة +، التي لا تختلف عن إشارة الجمع في ط.
يجب أن لا يتغير حاصل الجمع بتغيير الممثل لصف التكافؤ أي إنه ينبغي أن تكون علاقة التكافؤ منسجمة مع عملية الجمع، أي إذا كان:
(أ، ب) ~ (أَ، بَ) و (جـ، د) ~ (جـَ، دَ)
فيجب أن يكون:
[(أ،ب) + (جـ،د)] ~ [(أَ،بَ) +(جـَ،دَ)]
أو: (أ + جـ، ب + د) ~ (أَ + جـَ، بَ + دَ)
لدينا:
(أ، ب) ~ (أَ، بَ) ⇔ أ + بَ = ب + أَ
(جـ، د) ~ (جـَ، دَ) ⇔ جـ + دَ = د + جـَ
وهذا يقتضي:
أ + جـ + بَ + دَ = ب + د + أَ + جـَ
أو: (أ + جـ، ب + د) ~ (أَ + جـَ، بَ + دَ)
أي إنه يمكن أن يؤخذ أي ممثلٍ لصف تكافؤ لإجراء عملية جمع عنصرين من ص.
يتصف الجمع في ص بأنه:
ـ تجميعي س + (ع + ف) = (س + ع) + ف؛ ∀س، ع، ف Э ص
ـ تبادلي س + ع = ع + س؛ "س، ع Э ص
ـ ذو عنصر محايد هو الصفر 0 = (0 ، 0)؛ س + 0= س، ∀س Э ص
ـ كل عنصر من ص نظور (أي له نظير)، ونظير سэ ص هو العنصر سَ بحيث يكون س + سَ = (0 ، 0)؛ ويرمز للنظير سَ بـ -س وهذا يعلل لماذا يرمز لـ (0، س) بـ -س.
تشكل المجموعة ص مزودةً بعملية الجمع هذه زمرة تبادلية.
وينتج من تعريف الجمع أن حاصل جمع أي عددين صحيحين موجبين أو سالبين هو عدد صحيح موجب أو سالب على الترتيب، وأن نظير أي عدد صحيح موجب هو عدد صحيح سالب.
3 ـ الضرب في ص: بفرض أن (أ،ب)، (جـ، د) زوجان في ط × ط، فإن الزوج (أ جـ + ب د، أ د + ب جـ) يسمى جُداء هذين الزوجين ويكتب:
(أ، ب) × (جـ، د) = (أ جـ + ب د، أ د + ب جـ)
حيث رمز لعملية الضرب بالإشارة × التي لا تختلف عن إشارة الضرب في ط. لا يتغير حاصل الضرب بتغيير الممثل لصف التكافؤ، أي أن علاقة التكافؤ ~ منسجمة مع عملية الضرب في ص؛ وهذا يعني أن الجداء (أ، ب) × (جـ، د) مكافئ للجداء (أََ، بَ) × (جـَ، دَ) إذا كان (أ، ب) و(جـ، د) مكافئين على الترتيب لـ (أََ، بَ)و (جـَ، دَ)
يتصف الضرب في ص بأنه:
ـ تجميعي س × (ع × ف) = (س × ع) × ف؛ ∀س، ع، ف Э ص
تبادلي س × ع = ع × س؛ ∀س، ع Э ص
ـ توزيعي بالنسبة للجمع س × (ع + ف) = س × ع + س × ف، ∀س، ع، ف Э ص
ـ ذو عنصر محايد (1، 0) ويرمز له بـ 1، ويكون:
س × 1= 1 × س= س؛ ∀س Э ص
ينتج من تعريف الضرب أن جداء أي عددين صحيحين موجبين معاً أو سالبين معاً هو عدد موجب، وجداء عدد صحيح موجب بآخر سالب هو عدد صحيح سالب.
4 ـ ص حلقة صحيحة: تشكل مجموعة الأعداد الصحيحة ص مزودة بعمليتي الجمع والضرب حلقة واحدية تبادلية، إضافة إلى ذلك فإن ص حلقة كاملة أي:
س × ع =0 تقتضي س =0 أو ع =0 بذلك تصبح ص حلقة صحيحة (حلقة تبادلية واحدية وكاملة).
5 ـ غَمْر ص لـ ط: إن التطبيق
تا: ط ← ص
أ ← (أ، 0)
تباكل (تشاكل متباين)، كذلك فإن تا تماكل (تشاكل تقابلي) لـ ط على المجموعة
تا(ط)= {(أ،0)| أЭ ط} الجزئية من ط × ط وهذا يبرر الاصطلاح أ = (أ، 0).
6 ـ علاقة الترتيب في ص: تُعرّف في ص العلاقة ≤ بحيث أن س ≤ ع ⇔ ع - س Э صَ (وتقرأ س أصغر أو تساوي ع أو س أصغر من ع اختصاراً). تتصف هذه العلاقة بأنها:
ـ انعكاسية لأن س - س =0 Э صَ
ـ متخالفة التناظر لأن (س ≤ ع و ع ≤ س) تكافئ ع- س Э ص وس- ع Э ص وهذا يقتضي
س-ع Э صَ Ç صً ={0}أي أن س - ع =0 أو س = ع.
ـ متعدية لأنه إذا كان (س ≤ ع وع ≤ ف) أي إذا كان ع – س Э صَ وف – ع Э صَ فإن
ع - س + ف - ع Э صَ
أي أن ف - س Э صَ ومن ثمَّ فإن س ≤ ف.
ينتج مما سبق أن ≤ علاقة ترتيب؛ يضاف إلى ذلك أنها علاقة ترتيب كلية، لأنه مهما يكن س،ع э ص، فإما أن يكون س – ع э صَ أي أن ع ≤ س، أو أن يكون س – ع Э صً أي س ≤ ع؛ كما أنه يمكن أن يكون س-ع Эصَ∩صً={0} وعندها يكون س=ع.