تويت
عدد اولي
Prime number - Nombre premier
العدد الأولي
للأعداد الأولية أهمية كبرى؛ لأنها تعد حجر الأساس في بناء الأعداد الصحيحة الموجبة، وفي بناء نظرية الأعداد[ر].
تعريفات:
العدد الأولي prime number هو عدد صحيح أكبر من الواحد، ليس له إلا قاسمان موجبان فقط، هما: الواحد والعدد نفسه.
يتضح من التعريف أن العدد 2 هو أصغر عدد أولي، وأنّه هو العدد الأولي الزوجي الوحيد.
الأعداد التالية مثلاً: 2، 3، 5، 13 … هي أعداد أولية.
إذا كان ن عدداً صحيحاً أكبر من الواحد و لم يكن أوّلياً فإنه يدعى عدداً مؤلفاً، أي إنّ كل عدد صحيح أكبر من الواحد هو إمّا عدد أولي، أو عدد مؤلف، والأعداد التالية 4 =2´2، ن91 = 7 ´ ن13 … هي أعداد مؤلفة.
يقال إنّ العددين الصحيحين ب وجـ أوليان نسبياً إذا كان القاسم المشترك الأعظم لهما = 1، أي إذا كان (ب، جـ) = 1، فالعددان (6، 25) مثلاً أوليان نسبياً.
المبرهنة الأساسية في الحساب:
إنّ كل عدد صحيح ن أكبر من الواحد يمكن أن يُكتب جداءَ عددٍ منتهٍ من الأعداد الأولية، قد يكون بعضها مكرراً، ويتم ذلك بشكل وحيد، فيمكن مثلاً كتابة العدد 17640 على النحو 17640=23×3 2×5×7 2، وتسمى هذه العملية تحليل العدد إلى عوامله الأولية.
ينتج من المبرهنة الأساسية أنّ لكل عدد صحيح أكبر من الواحد، عاملاً أولياً واحداً على الأقل.
ويمكن بسهولة إثبات النتيجة التالية: إذا كان ن عدداً مؤلفاً أكبر من الواحد فإنه يوجد حتماً عددٌ أولي ل أصغر من أو يساوي جذر ن، يقسم العدد ن، وإلا كان العدد ن أولياً.
مرشحة إراتوستينس (230 ق.م): the sieve of Eratosthenes
هي قاعدة للحصول على الأعداد الأولية التي هي أصغر من عدد صحيح ما (ن)، ويتم ذلك كما يأتي:
تكتب جميع الأعداد الصحيحة بدءاً من العدد 2 حتى العدد ن، ثم يُشطَب من هذه الأعداد كل مضاعفات العدد 2، فيكون العدد 3 هو أصغر عدد لم يتم شطبه، وهو عدد أولي، ثم يُشطَب من الأعداد الباقية مضاعفات العدد 3 جميعها، فيكون العدد 5 هو أصغر عدد لم يُشطَب، وهو عدد أولي، ثم يُتابَع العمل على هذا المنوال حتى نصل إلى العدد الأولي الذي يقل عن الجذر التربيعي لـ ن أو يساويه، فتكون الأعداد التي لم تُشطَبَ هي جميع الأعداد الأولية المطلوبة.
فللحصول على الأعداد الأولية التي هي أصغر من مئة مثلاً تُشطَبُ مضاعفات الأعداد 2 و3 و5 و7 فقط، من جدول الأعداد من 2 إلى 100.
كم هو عدد الأعداد الأولية؟
اهتم العلماء منذ القدم بهذه المسألة، وقد وضعت براهين كثيرة على أنّ عدد الأعداد الأولية غير منتهٍ.
من أقدم هذه البراهين البرهان الذي قدمه إقليدس Euclid في نحو300 قبل الميلاد، في المقالة التاسعة في كتابه الشهير «الأصول».
تسمى الأعداد التي تكتب على النحو قن = ق1، ق2 .... قن-1+1 حيث ق1 = 2 وينتج عن ذلك ق2= 3، … أعداد إقليدس.
وليست كلها أولية فالعدد ق5 مثلاً يساوي 1807 = ´13 ن139 هو عدد مؤلف.
كيف تتوزع الأعداد الأولية؟
إنّ عدد الأعداد الأولية غير منتهٍ، والبحث عن الأعداد الكبيرة منها في غاية الصعوبة، فهل تتوزع هذه الأعداد بشكل منتظم، وهل يمكن وضع دستور يعطي جميع الأعداد الأولية؟.
لقد بحث العلماء عن دساتير بسيطة تعطي أعداداً أولية فوضعت العبارة:
س2- س + 41، و وجد أنها تعطي أعداداً أولية من أجل قيم س من الصفر حتى العدد 40، لكنها تعطي عدداً مؤلفاً عندما تصبح س = 41.
حاول الرياضيون تطوير هذه العبارة والبحث عن حدوديات تحقق الغاية دون جدوى.
ثم تم إثبات المبرهنة التي تنص على أنه لا توجد أي حدودية ذات أمثال صحيحة و قوى موجبة تعطي أعداداً أولية فقط من أجل قيم المتحول س ، فبحث العلماء عن صيغ أخرى .
وضع فيرما (1601ـ 1665م) Pierre de Fermat الصيغة التي ظن بحدسه أنها تعطي أعداداً أولية فقط، وهي العبارة:
فن = 2 (2ن)+1 و ن £ 0 ولكنه أخطأ بحدسه هذا إذ أثبت أولر Euler في عام 1732 م ، أنّ ف5 عدد مؤلف ولم يستطع أحد حتى اليوم إيجاد عدد أولي بعد هذا العدد من أعداد فيرما.
كما وضع ميرسن (1644م) Mersenne صيغة أخرى على النحو: م ل = 2ل - 1 حيث ل عدد أولي، ثم تبين أن العدد م = 23×89 عدد مؤلف.
استخدمت صيغة ميرسن لتعيين أكبر عدد أولي حُدِّد عام 1984م، وهو العدد الذي يوافق القيمة ل=216091.
ولم يستطع أحد حتى اليوم وضع صيغة تعطي أعداداً أولية فقط، ولكن لدى دراسة جداول الأعداد الأولية لوحظ أن توزع هذه الأعداد غير منتظم، وأن الفجوات بينها تزداد مع ازدياد قيمها.
في عام 1793م وضع العالم غاوس Gaussالمبرهنة الشهيرة التي تسمى مبرهنة الأعداد الأولية، وتنص على أنه إذا كان (س) هو عدد الأعداد الأولية التي لا تتجاوز قيمها العدد س فإن نسبة (س) إلى الدالة س/لع س تنتهي إلى الواحد عندما تنتهي قيمة س إلى مالانهاية، ولم تثبت صحة هذه المبرهنة إلا عام 1896م حين أثبتها العالمان بوسان C.J.V.Poussin وهادامارJ.Hadamard كلٌ على انفراد.
وبقيت البراهين على صحة هذه المبرهنة معقدة و صعبة حتى نشر العالم النروجي سلبرغ Selberg برهاناً بسيطاً أثار ضجة علمية، يعتمد على مفاهيم نظرية الأعداد و ذلك في عام 1949م.
مازال البحث عن خصائص الأعداد الأولية مستمراً، والاهتمام بها يتزايد مع تطور الحواسيب وتطور علم التعمية والتشفير، حيث تؤدي الأعداد الأولية الكبيرة دوراً مهاماً في هذه العلوم.
دعد الحسيني
Prime number - Nombre premier
العدد الأولي
للأعداد الأولية أهمية كبرى؛ لأنها تعد حجر الأساس في بناء الأعداد الصحيحة الموجبة، وفي بناء نظرية الأعداد[ر].
تعريفات:
العدد الأولي prime number هو عدد صحيح أكبر من الواحد، ليس له إلا قاسمان موجبان فقط، هما: الواحد والعدد نفسه.
يتضح من التعريف أن العدد 2 هو أصغر عدد أولي، وأنّه هو العدد الأولي الزوجي الوحيد.
الأعداد التالية مثلاً: 2، 3، 5، 13 … هي أعداد أولية.
إذا كان ن عدداً صحيحاً أكبر من الواحد و لم يكن أوّلياً فإنه يدعى عدداً مؤلفاً، أي إنّ كل عدد صحيح أكبر من الواحد هو إمّا عدد أولي، أو عدد مؤلف، والأعداد التالية 4 =2´2، ن91 = 7 ´ ن13 … هي أعداد مؤلفة.
يقال إنّ العددين الصحيحين ب وجـ أوليان نسبياً إذا كان القاسم المشترك الأعظم لهما = 1، أي إذا كان (ب، جـ) = 1، فالعددان (6، 25) مثلاً أوليان نسبياً.
المبرهنة الأساسية في الحساب:
إنّ كل عدد صحيح ن أكبر من الواحد يمكن أن يُكتب جداءَ عددٍ منتهٍ من الأعداد الأولية، قد يكون بعضها مكرراً، ويتم ذلك بشكل وحيد، فيمكن مثلاً كتابة العدد 17640 على النحو 17640=23×3 2×5×7 2، وتسمى هذه العملية تحليل العدد إلى عوامله الأولية.
ينتج من المبرهنة الأساسية أنّ لكل عدد صحيح أكبر من الواحد، عاملاً أولياً واحداً على الأقل.
ويمكن بسهولة إثبات النتيجة التالية: إذا كان ن عدداً مؤلفاً أكبر من الواحد فإنه يوجد حتماً عددٌ أولي ل أصغر من أو يساوي جذر ن، يقسم العدد ن، وإلا كان العدد ن أولياً.
مرشحة إراتوستينس (230 ق.م): the sieve of Eratosthenes
هي قاعدة للحصول على الأعداد الأولية التي هي أصغر من عدد صحيح ما (ن)، ويتم ذلك كما يأتي:
تكتب جميع الأعداد الصحيحة بدءاً من العدد 2 حتى العدد ن، ثم يُشطَب من هذه الأعداد كل مضاعفات العدد 2، فيكون العدد 3 هو أصغر عدد لم يتم شطبه، وهو عدد أولي، ثم يُشطَب من الأعداد الباقية مضاعفات العدد 3 جميعها، فيكون العدد 5 هو أصغر عدد لم يُشطَب، وهو عدد أولي، ثم يُتابَع العمل على هذا المنوال حتى نصل إلى العدد الأولي الذي يقل عن الجذر التربيعي لـ ن أو يساويه، فتكون الأعداد التي لم تُشطَبَ هي جميع الأعداد الأولية المطلوبة.
فللحصول على الأعداد الأولية التي هي أصغر من مئة مثلاً تُشطَبُ مضاعفات الأعداد 2 و3 و5 و7 فقط، من جدول الأعداد من 2 إلى 100.
كم هو عدد الأعداد الأولية؟
اهتم العلماء منذ القدم بهذه المسألة، وقد وضعت براهين كثيرة على أنّ عدد الأعداد الأولية غير منتهٍ.
من أقدم هذه البراهين البرهان الذي قدمه إقليدس Euclid في نحو300 قبل الميلاد، في المقالة التاسعة في كتابه الشهير «الأصول».
تسمى الأعداد التي تكتب على النحو قن = ق1، ق2 .... قن-1+1 حيث ق1 = 2 وينتج عن ذلك ق2= 3، … أعداد إقليدس.
وليست كلها أولية فالعدد ق5 مثلاً يساوي 1807 = ´13 ن139 هو عدد مؤلف.
كيف تتوزع الأعداد الأولية؟
إنّ عدد الأعداد الأولية غير منتهٍ، والبحث عن الأعداد الكبيرة منها في غاية الصعوبة، فهل تتوزع هذه الأعداد بشكل منتظم، وهل يمكن وضع دستور يعطي جميع الأعداد الأولية؟.
لقد بحث العلماء عن دساتير بسيطة تعطي أعداداً أولية فوضعت العبارة:
س2- س + 41، و وجد أنها تعطي أعداداً أولية من أجل قيم س من الصفر حتى العدد 40، لكنها تعطي عدداً مؤلفاً عندما تصبح س = 41.
حاول الرياضيون تطوير هذه العبارة والبحث عن حدوديات تحقق الغاية دون جدوى.
ثم تم إثبات المبرهنة التي تنص على أنه لا توجد أي حدودية ذات أمثال صحيحة و قوى موجبة تعطي أعداداً أولية فقط من أجل قيم المتحول س ، فبحث العلماء عن صيغ أخرى .
وضع فيرما (1601ـ 1665م) Pierre de Fermat الصيغة التي ظن بحدسه أنها تعطي أعداداً أولية فقط، وهي العبارة:
فن = 2 (2ن)+1 و ن £ 0 ولكنه أخطأ بحدسه هذا إذ أثبت أولر Euler في عام 1732 م ، أنّ ف5 عدد مؤلف ولم يستطع أحد حتى اليوم إيجاد عدد أولي بعد هذا العدد من أعداد فيرما.
كما وضع ميرسن (1644م) Mersenne صيغة أخرى على النحو: م ل = 2ل - 1 حيث ل عدد أولي، ثم تبين أن العدد م = 23×89 عدد مؤلف.
استخدمت صيغة ميرسن لتعيين أكبر عدد أولي حُدِّد عام 1984م، وهو العدد الذي يوافق القيمة ل=216091.
ولم يستطع أحد حتى اليوم وضع صيغة تعطي أعداداً أولية فقط، ولكن لدى دراسة جداول الأعداد الأولية لوحظ أن توزع هذه الأعداد غير منتظم، وأن الفجوات بينها تزداد مع ازدياد قيمها.
في عام 1793م وضع العالم غاوس Gaussالمبرهنة الشهيرة التي تسمى مبرهنة الأعداد الأولية، وتنص على أنه إذا كان (س) هو عدد الأعداد الأولية التي لا تتجاوز قيمها العدد س فإن نسبة (س) إلى الدالة س/لع س تنتهي إلى الواحد عندما تنتهي قيمة س إلى مالانهاية، ولم تثبت صحة هذه المبرهنة إلا عام 1896م حين أثبتها العالمان بوسان C.J.V.Poussin وهادامارJ.Hadamard كلٌ على انفراد.
وبقيت البراهين على صحة هذه المبرهنة معقدة و صعبة حتى نشر العالم النروجي سلبرغ Selberg برهاناً بسيطاً أثار ضجة علمية، يعتمد على مفاهيم نظرية الأعداد و ذلك في عام 1949م.
مازال البحث عن خصائص الأعداد الأولية مستمراً، والاهتمام بها يتزايد مع تطور الحواسيب وتطور علم التعمية والتشفير، حيث تؤدي الأعداد الأولية الكبيرة دوراً مهاماً في هذه العلوم.
دعد الحسيني