تويت
كيفية احتساب الفائدة المركبة
في المقال التالي كافة المعلومات التي ترغب في معرفتها عن الفائدة المركبة، ومكوناتها، وطريقة إيجادها بالإضافة للمعادلة العامة لحساب الفائدة وشرح مفصل عن المتغيرات الموجودة في المعادلة ثم بعض الأمثلة التطبيقية التي تساعد في فهم كيفية حساب الفائدة.
تعريف الفائدة المركبة
الفائدة المركبة هي الفائدة التي تفرض على الأموال المودعة ضمن حساب أو أموال القروض الممنوحة التي يتم حسابها وفقًا لمبلغ رأس المال الأولي، بالإضافة إلى الفوائد المتراكمة التي تتبع لفترات زمنية سابقة، تعود أولى استخدامات الفائدة المركبة إلى القرن السابع عشر في إيطاليا، يُطلف على الفائدة المركبة مصطلح الفائدة على الفائدة interest on interest وذلك بسبب احتسابنا فوائد إضافية على فوائد تم احتسابها سابقًا على رأس المال الأولي، كما تقوم الفائدة المركبة بزيادة المجموع المالي الكل بمعدل أعلى من المعدل الذي يرتفع به المجموع الكلي عند استخدام الفائدة البسيطة التي تحتسب فقط على رأس المال الأولي فقط، يتزايد مبلغ الفائدة المركبة بازدياد عدد مرات التحصيل على الفائدة خلال فترة زمنية محددة، فإن مبلغ تحصيل فائدة مركبة على مبلغ 100 دولار نسبتها 5% لمرتين سنويًا سيكون أعلى من مبلغ تحصيل فائدة مركبة لمرة واحدة بالسنة حتى ولو بلغت قيمة الفائدة 10%.
مكونات الفائدة المركبة
للفائدة المركبة أربع مكونات أساسية، هي:
كيفية حساب الفائدة المركبة
يمكن حساب الفائدة المركبة من خلال تطبيق العلاقة التالية: القيمة المستقبلية للقرض أو الاستثمار متضمنةً الفوائد المركبة تساوي جداو رأس المال الأولي في حاصل قسمة معدل الفائدة السنوي على عدد مرات تحصيل الفائدة مضافًا إليه الرقم 1 ومرفوعًا لأُس يساوي مدة استعارة أو إيداع الأموال في عدد مرات التحصيل، بتحويل ما سبق إلى معادلة رياضية نتحصل على ما يلي:
حيث:
المعادلة السابقة تقيس القيمة المستقبلية للمبلغ المسحوب أو المودع، وإيجاد قيمة الفائدة المركبة فقط عن الفترة الزمنية المحددة يجب طرق رأس المال الأولي من القيمة المستقبلية، لتظهر بذلك قيمة الفائدة.
أمثلة عن حساب الفائدة المركبة
مثال 1: تم إيداع مبلغ 2000 دولار أمريكي في حساب للإيداع وفائدة مركبة سنوية تبلغ 3٪ والمطلوب حساب قيمة الحساب بعد سنة وسنتين وثلاث من لحظة الإيداع.
الحل: عندما تكون الفائدة المركبة سنوية تصبح معادلة القيمة المستقبلية على الشكل التالي: A= P (1 + r)^t وتعويض المعطيات الموجودة معنا، تصبح المعادلات على الشكل التالي:
بعد سنة: A= 2000 (1 + 0.03)^1 = 2060$
بعد سنتين: A= 2000 (1 + 0.03)^2 = 2121.80$
بعد ثلاث سنوات: A= 2000 (1 + 0.03)^3 = 2185.45$
مثال 2: مطلوب حساب القيمة المستقبلية بعد مرور ثلاث سنوات لحساب إيداع تبلغ قيمته الحالية 1000 دولار أمريكي، وفائدته سنوية تبلغ 3٪ في حالتين، حيث تكون الفائدة مركبة في الحالة الأولى وفي الحالة الثانية الفائدة بسيطة.
في حالة الفائدة مركبة: معادلة القيمة المستقبلية تكون على الشكل التالي: A = P(1 + r)^t، بتعويض المعطيات تصبح: 1000(1 + 0.03) ^3 = 1092.73 دولار أمريكي.
في حالة الفائدة بسيطة: معادلة القيمة المستقبلية تكون من الشكل: A = P + P(1 + r t) والتعويض نجد: A= 1000 + 1000 (1 + 0.03*3) = 1090 دولار أمريكي.
مثال 3: ما القيمة المستقبلية بعد خمسة سنوات لحساب إيداع قيمته الحالية 3000 دولار والفائدة مركبة قدرها 5٪ ويتم احتسابها خمسة مرات في كل سنة.
الحل: الفائدة المركبة تحتسب كل ثلاثة أشهر، أي في السنة أربعة مرات، معادلة القيمة المستقبلية من الشكل: A = P(1 + r/n)^n*t، حيث n عدد مرات التحصيل في كل سنة، و t عدد السنوات، بالتعويض تصبح المعادلة من الشكل A = P(1 + r/4)^4t = 3000(1 + 0.05/4) 4 × 5 = 3846.11 دولار أمريكي.
تعريف الفائدة المركبة
الفائدة المركبة هي الفائدة التي تفرض على الأموال المودعة ضمن حساب أو أموال القروض الممنوحة التي يتم حسابها وفقًا لمبلغ رأس المال الأولي، بالإضافة إلى الفوائد المتراكمة التي تتبع لفترات زمنية سابقة، تعود أولى استخدامات الفائدة المركبة إلى القرن السابع عشر في إيطاليا، يُطلف على الفائدة المركبة مصطلح الفائدة على الفائدة interest on interest وذلك بسبب احتسابنا فوائد إضافية على فوائد تم احتسابها سابقًا على رأس المال الأولي، كما تقوم الفائدة المركبة بزيادة المجموع المالي الكل بمعدل أعلى من المعدل الذي يرتفع به المجموع الكلي عند استخدام الفائدة البسيطة التي تحتسب فقط على رأس المال الأولي فقط، يتزايد مبلغ الفائدة المركبة بازدياد عدد مرات التحصيل على الفائدة خلال فترة زمنية محددة، فإن مبلغ تحصيل فائدة مركبة على مبلغ 100 دولار نسبتها 5% لمرتين سنويًا سيكون أعلى من مبلغ تحصيل فائدة مركبة لمرة واحدة بالسنة حتى ولو بلغت قيمة الفائدة 10%.
مكونات الفائدة المركبة
للفائدة المركبة أربع مكونات أساسية، هي:
- رأس مال أولي (Principal): وهو مبلغ المال الأولي الذي يودع ضمن بيئة تقدم فائدة مركبة على الإيداعات، وهو المبلغ الذي تحسب عليه الفائدة لأول مرة.
- معدل الفائدة (Interest Rate): يشير معدل الفائدة إلى النسبة من قيمة المبلغ المودع في الحساب التي ستدفع في كل مرة تُجبى فيها الفائدة، ومبلغ الفائدة هو حاصل حداء معدل الفائدة بالقيمة المالية المودعة.
- دورة الفائدة (Compounding Frequency): تتحدد دورة الفائدة بكم مرةً في السنة يجب أن تدفع الفوائد، تكون الدورى عادةً سنوية، أو كل ثلاث أشهر، أو أحيانًا كل شهر، ويتحدد طول الدورة بمعدل الفائدة، فكلما كانت مدة الدورة أطول كان معدل الفائدة أعلى.
- الأفق الزمني (Time Horizon): وهو أهم المكونات التي ترتبط بالفائدة المركبة، والأُفق الزمني يعني المدة التي ستبقى خلالها آلية احتساب الفائدة المركبة فعالة، فكلما ازداد طول الأُفق الزمني، ازدادت كمية الأموال التي من الممكن جنيها كفوائد، يعتبر الأُفق الزمني المحدد الرئيسي لمدى ربحية الاستثمار مستقبلًا.
كيفية حساب الفائدة المركبة
يمكن حساب الفائدة المركبة من خلال تطبيق العلاقة التالية: القيمة المستقبلية للقرض أو الاستثمار متضمنةً الفوائد المركبة تساوي جداو رأس المال الأولي في حاصل قسمة معدل الفائدة السنوي على عدد مرات تحصيل الفائدة مضافًا إليه الرقم 1 ومرفوعًا لأُس يساوي مدة استعارة أو إيداع الأموال في عدد مرات التحصيل، بتحويل ما سبق إلى معادلة رياضية نتحصل على ما يلي:
حيث:
- A: القيمة المستقبلية
- P: المبلغ الأصلي الذي تم سحبه أو إيداعه
- n: عدد المرات التي تحتسب فيها الفائدة خلال الدورة الزمنية الواحدة
- t: عدد الدورات الزمنية
- r: معدل الفائدة المركبة
المعادلة السابقة تقيس القيمة المستقبلية للمبلغ المسحوب أو المودع، وإيجاد قيمة الفائدة المركبة فقط عن الفترة الزمنية المحددة يجب طرق رأس المال الأولي من القيمة المستقبلية، لتظهر بذلك قيمة الفائدة.
أمثلة عن حساب الفائدة المركبة
مثال 1: تم إيداع مبلغ 2000 دولار أمريكي في حساب للإيداع وفائدة مركبة سنوية تبلغ 3٪ والمطلوب حساب قيمة الحساب بعد سنة وسنتين وثلاث من لحظة الإيداع.
الحل: عندما تكون الفائدة المركبة سنوية تصبح معادلة القيمة المستقبلية على الشكل التالي: A= P (1 + r)^t وتعويض المعطيات الموجودة معنا، تصبح المعادلات على الشكل التالي:
بعد سنة: A= 2000 (1 + 0.03)^1 = 2060$
بعد سنتين: A= 2000 (1 + 0.03)^2 = 2121.80$
بعد ثلاث سنوات: A= 2000 (1 + 0.03)^3 = 2185.45$
مثال 2: مطلوب حساب القيمة المستقبلية بعد مرور ثلاث سنوات لحساب إيداع تبلغ قيمته الحالية 1000 دولار أمريكي، وفائدته سنوية تبلغ 3٪ في حالتين، حيث تكون الفائدة مركبة في الحالة الأولى وفي الحالة الثانية الفائدة بسيطة.
في حالة الفائدة مركبة: معادلة القيمة المستقبلية تكون على الشكل التالي: A = P(1 + r)^t، بتعويض المعطيات تصبح: 1000(1 + 0.03) ^3 = 1092.73 دولار أمريكي.
في حالة الفائدة بسيطة: معادلة القيمة المستقبلية تكون من الشكل: A = P + P(1 + r t) والتعويض نجد: A= 1000 + 1000 (1 + 0.03*3) = 1090 دولار أمريكي.
مثال 3: ما القيمة المستقبلية بعد خمسة سنوات لحساب إيداع قيمته الحالية 3000 دولار والفائدة مركبة قدرها 5٪ ويتم احتسابها خمسة مرات في كل سنة.
الحل: الفائدة المركبة تحتسب كل ثلاثة أشهر، أي في السنة أربعة مرات، معادلة القيمة المستقبلية من الشكل: A = P(1 + r/n)^n*t، حيث n عدد مرات التحصيل في كل سنة، و t عدد السنوات، بالتعويض تصبح المعادلة من الشكل A = P(1 + r/4)^4t = 3000(1 + 0.05/4) 4 × 5 = 3846.11 دولار أمريكي.