ما هي المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة.. - هيا المساعفه

المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة - بواسطة: هيا المساعفه -٣ أبريل ٢٠٢٢
المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة
تعرف المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة (بالإنجليزية: Homogeneous linear differential equations):
هي عبارة عن معادلات تفاضلية يكون كل مصطلح فيها على شكل y^n p(x) أي أنها مشتقة من y مضروباً في دالة x.
وبشكل عام، فإنه من الصعب جداً التعامل معها و حلها، ولكن في الحالة التي تكون فيها جميع المعاملات ثوابت، فإنه يمكن حلها تماماً. تتم كتابة النظام الخطي من الرتبة n للمعادلات التفاضلية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة على شكل:[١]
a0y+a1y'+a2y+...+an-1y(n-1)+any(n) = 0 حيث تكون a0, a1,..., an-1, an ثوابت حقيقة، تشبه كثيرات الحدود تقريباً. في الحقيقة، فإن النظر إلى جذور كثير الحدود المرتبط بها يعطي حلولاً للمعادلة التفاضلية.[١]

المعادلات التفاضلية الخطية ذات المعاملات الثابتة أو المتغيرة :
تسمى المعادلات التفاضلية بالمعادلات التفاضلية الخطية إذا كان المتغير التابع وجميع مشتاقاته من الدرجة الأولى (أي أنهم مرفوعين للأس واحد).
والصيغة العامة للمعادلات التفاضلية الخطية من الرتبة n تكون على شكل: a0y+a1y'+a2y+...+an-1y(n-1)+any(n) = f(x) وتسمى خطية في y.[٢] وإذا كانت جميع المعاملات a0, a1, ..., an-1, an قيم ثابتة فإنها تسمى معادلة خطية ذات معاملات ثابتة (بالإنجليزية: Linear equations of constant coefficients)، أما إذا كانت واحدة من المعاملات على الأقل دالة في x، سميت معادلة خطية ذات معاملات متغيرة (بالإنجليزية: Linear equations of variable coefficients).
لتوضيح الأمر، نأخذ المعادلة التالية:
x2y + xy' + x2 y = ex sin x حيث أنها تعتبر معادلة تفاضلية خطية ذات معاملات متغيرة، لأن كل من المتغير التابع (y) و مشتقاته (y' , y) خطية، أي أن كل منهما مرفوع للأس واحد ولا يوجد حواصل ضرب مشتركة بينهما، والمعاملات دوال في x.
و عندما تكون f(x) تسوي صفراً، أي:
f(x) = 0 يطلق على المعادلة بأنها معادلة خطية متجانسة. يمكن وبشكل آخر كتابة نظام المعادلات التفاضلية على شكل:
x'(t) = ax(t) + f(t)
ويطلق على النظام على أنه نظام متجانس إذا كان f(t) يساوي صفر، أي:
f(t) = 0، فتصبح المعادلة:
x'(t) = ax(t) واذا كان المعامل a عبارة عن قيمة ثابتة، حين إذن تسمى المعادلة بمعادلة تفاضلية متجانسة ذات معامل ثابت.[٣]
نموذج لحل مثل هذه المعادلات أي معادلة تفاضلية خطية متجانسة وبأي رتبة كانت على الإطلاق وذات معاملات ثابتة لها حل واحد على الأقل من النموذج التالي: y = e^(rt) ، مع اختيار r مناسب، اكتشفه بعض العلماء منذ فترة طويلة ووجدوا أنها تعمل.
ونستخدمه غالباً في حل مثل هذه المعادلات، و فيما يلي مثال توضيحي لحل مثل هذه المعادلات باستخدام هذه الطريقة.[٤]
مثال توضيحي:
فيما يأتي مثال يوضح كيفية حل المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة:
حل المعادلة التالية:[٤]
y + 3y' - 4y = 0
نأخذ في البداية باستراتيجية الحل وهي:
y = e^ (rt) نحسب المشتقات: y′ = re(rt) y′′ = (r2)e(rt) 3.
نعوض في المعادلة التفاضلية المعطاة فتصبح:
r2)e(rt) + 3(re(rt)) − 4(e(rt)) = (r2 + 3r − 4)e(rt) = 0) 4.
نقسم على e (rt) فتصبح المعادلة:
r2 + 3r − 4 = 0 5.
بتحليل المعادلة نحصل على الجذور(الحلول) لهذا كثير الحدود:
(r−1)(r+4)=0 r = 1, r = -4 6.
يمكننا أن نستنتج أن هناك حليين وهما:
y1 = et y2 = e(−4t)