علم الهندسة وتخمينات بوانكاريه

وكالات
كان تخمين بوانكاريه ، الذي اقترحه عالم الرياضيات هنري بوانكاريه في عام 1904 ، يُنظر إليه طوال القرن العشرين على أنه مشكلة رئيسية في الطوبولوجيا . على الكرة الثلاثية ، المُعرَّفة على أنها مجموعة النقاط بطول الوحدة من الأصل في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد ، يمكن لأي حلقة أن تتقلص إلى نقطة. اقترح بوانكاريه أن العكس قد يكون صحيحًا: إذا كان لمشعب مغلق ثلاثي الأبعاد خاصية أن أي حلقة يمكن أن تتقلص إلى نقطة ، فيجب أن تكون مكافئة طوبولوجيًا لمجال ثلاثي . أثبت ستيفن سميل أنه نظير عالي الأبعادمن تخمين بوانكاريه في عام 1961 ، وأثبت مايكل فريدمان النسخة رباعية الأبعاد في عام 1982.




على الرغم من عملهم ، ظلت حالة الفضاءات ثلاثية الأبعاد دون حل تمامًا. علاوة على ذلك ، لم يكن لطرق Smale و Freedman أي تأثير على الحالة ثلاثية الأبعاد ، حيث يبدو أن التلاعب الطوبولوجي ، ونقل "المناطق الإشكالية" بعيدًا عن الطريق دون التدخل في المناطق الأخرى ، يتطلب أبعادًا عالية من أجل العمل.



في عام 1982 ، طور ويليام ثورستون وجهة نظر جديدة ، جاعلاً تخمين بوانكاريه إلى حالة خاصة صغيرة من نظرية البنية المنهجية الافتراضية للطوبولوجيا في ثلاثة أبعاد. اقترح اقتراحه ، المعروف باسم تخمين ثورستون الهندسي ، أنه بالنظر إلى أي مشعب ثلاثي الأبعاد مغلق على الإطلاق ، هناك مجموعة من المجالات ثنائية الأبعاد والتوري داخل المشعب الذي يفصل الفضاء إلى قطع منفصلة ، يمكن منح كل منها بهيكل هندسي موحد. كان ثورستون قادرًا على إثبات تخمينه في ظل بعض الافتراضات المؤقتة. في جون مورغانمن وجهة نظر ثورستون ، فقط من وجهة نظر ثورستون المنهجية ، توصل معظم الطوبولوجيين إلى الاعتقاد بأن تخمين بوانكاريه سيكون صحيحًا.
في نفس الوقت الذي نشر فيه ثورستون تخمينه ، قدم ريتشارد هاملتون نظريته عن تدفق ريتشي . تدفق ريتشي هاملتون هو وصفة طبية ، تحددها معادلة تفاضلية جزئية مماثلة رسميًا لمعادلة الحرارة ، لكيفية تشويه مقياس ريماني على مشعب. معادلة الحرارة ، كما هو الحال عند تطبيقها في العلوم على الظواهر الفيزيائية مثل درجة الحرارة، نماذج لكيفية انتشار تركيزات درجات الحرارة القصوى حتى يتم تحقيق درجة حرارة موحدة في جميع أنحاء الجسم. في ثلاث مقالات أساسية نُشرت في الثمانينيات ، أثبت هاميلتون أن معادلته حققت ظواهر مماثلة ، ونشرت انحناءات شديدة وتوحيد مقياس ريماني ، في إعدادات هندسية معينة. كمنتج ثانوي ، تمكن من إثبات بعض النظريات الجديدة والمذهلة في مجال الهندسة الريمانية .
على الرغم من أوجه التشابه الشكلية ، فإن معادلات هاملتون أكثر تعقيدًا وغير خطية بشكل ملحوظ من معادلة الحرارة ، ومن المستحيل تحقيق هذا التوحيد دون افتراضات سياقية. في الإعدادات العامة تمامًا ، لا مفر من حدوث "التفردات" ، مما يعني أن الانحناء يتراكم إلى مستويات غير محدودة بعد انقضاء فترة زمنية محدودة. بعد اقتراح Shing-Tung Yau بأن الفهم التفصيلي لهذه التفردات يمكن أن يكون ذا مغزى طوبولوجي ، وعلى وجه الخصوص أن مواقعهم قد تحدد المجالات والتوري في تخمين Thurston ، بدأ هاملتون في تحليل منهجي. خلال التسعينيات ، وجد عددًا من النتائج والأساليب الفنية الجديدة ، وبلغت ذروتها في مطبوعة عام 1997 عن "تدفق ريتشي مع الجراحة" للمساحات رباعية الأبعاد. كتطبيق لبناءه ، تمكن هاميلتون من تسوية تخمين بوانكاريه القائم على الانحناء رباعي الأبعاد. حدد ياو هذا المقال كواحد من أهم المقالات في مجال التحليل الهندسي ، قائلاً إنه مع نشره أصبح من الواضح أن تدفق ريتشي يمكن أن يكون قويًا بما يكفي لتسوية تخمين ثورستون. كان مفتاح تحليل هاملتون هو الفهم الكمي لكيفية حدوث التفردات في محيطه رباعي الأبعاد. كانت الصعوبة الأكثر بروزًا هي الفهم الكمي لكيفية حدوث التفردات في الإعدادات ثلاثية الأبعاد. على الرغم من أن هاملتون لم يكن قادرًا على حل هذه المشكلة ، إلا أنه نشر في عام 1999 عملاً عن تدفق ريتشي في ثلاثة أبعاد ، موضحًا أنه إذا كان بالإمكان تطوير نسخة ثلاثية الأبعاد من تقنيات الجراحة الخاصة به ، وإذا كان هناك حدس معين بشأن سلوك ريتشي لفترة طويلة يمكن إنشاء التدفق ، ثم سيتم حل تخمين ثورستون. أصبح هذا معروفًا باسم برنامج هاميلتون.