إليكم .. الاعداد النسبية و خصائصها ، و العمليات الحسابية عليها

الاعداد النسبية


الاعداد النسبية هي الأعداد التي تكتب على شكل كسرٍ له بسط ومقام، وبحيث يكون الرقم الموجود في المقام لا يساوي الصفر. تعتبر الاعداد النسبية طريقةً يمكن كتابة كافة الأرقام من خلالها، فأي رقمٍ صحيحٍ سواءً كان موجبًا أو سالبًا، أو حتى الصفر، يمكننا كتابته على شكل رقمٍ نسبيٍّ، على سبيل المثال الرقم 6، يمكن كتابته على الشكل 6/1، أما سبب إطلاق مصطلح النسبية على هذه الأرقام فيعود إلى استخدام النسبة عند تقسيم البسط على المقام في هذه الأعداد. يمكن كتابة الاعداد النسبية السالبة من خلال وضع إشارة السالب (-) إما أمام الكسر أو أمام الرقم الموجود في بسط العدد النسبي..

خصائص الاعداد النسبية

• لا تتغير قيمة الاعدد النسبية عند قسمة البسط والمقام على متغيرٍ صحيحٍ لا يساوي الصفر.
  • مثال على ذلك: عند قسمة بسط ومقال العدد النسبي 6/15 على الرقم 3، سينتج لدينا رقمٌ نسبيٌّ جديد هو 2/5 ، إن قيمة هذا الرقم النسبي هي ذاتها قيمة الرقم النسبي السابق 6/15.
• لا تتغير قيمة العدد النسبي عند ضرب بسطه ومقامه بمتغيرٍ لا يساوي الصفر.
  • مثال على ذلك: عند ضرب البسط والمقام للعدد النسبي 2/5 بالعدد 3، ينتج لدينا عددٌ نسبيٌّ جديد هو 6/15، إن قيمة هذا العدد هي نفسها قيمة العدد النسبي 2/5، ويمكنك التأكد من ذلك عند قيامك بتبسيط الكسر من خلال تقسيم البسط والمقام على القاسم المشترك.
• في حال كان العامل المشترك بين بسط ومقام العدد النسبي هو 1 فقط، فنسمي العدد عددًا نسبيًّا قياسيًّا.
  • مثال على ذلك: الاعداد النسبية القياسية 2/5 و5/2.
• كان الاعتقاد السائد بين علماء الرياضيات الإغريق، أن كافة الأرقام عبارةً عن أرقامٍ نسبيةٍ، إلا أن أحد طلاب عالَم الرياضيات، هيبياسي (Hippasus)، وبالاستعانة بعلم الهندسة، تمكن من إثبات أنه من غير الممكن كتابة جذر الرقم 2 على شكل كسرٍ، ما يعني أن الرقم ليس نسبيًّا، إلا أن هذا الاستنتاج لم يلقَ رواجًا بين طلاب عالِم الرياضيات فيثاغورث..

العمليات الحسابية على الاعداد النسبية

• جمع الاعداد النسبية: عند جمع عددين نسبيين، يجب علينا توحيد المقامين لمقامٍ مشتركٍ عن طريق ضرب أحد العددين بأعدادٍ صحيحةٍ، وأحيانًا كليهما. عند توحيد المقامات، نقوم بجمع بسطي العددين مع بقاء العدد في المقام ثابتًا.
  • مثال على ذلك: المطلوب جمع العددين النسبيين 1/2 و3/4، والحل هو أن نقوم بضرب بسط ومقام العدد الأول 1/2 بالرقم 2، فنحصل على 2/4، نلاحظ ان المقامين في العددين أصبحا متطابقين، عندها 2/4 + 3/4 = 5/4.
• طرح الاعداد النسبية: كما هو الحال عند جمع عددين نسبيين، أول خطوةٍ سنقوم بها هي توحيد مقامي العددين، وذلك بضرب بسط ومقام أحد العددين (أو كليهما) بمتغيرٍ صحيحٍ، ثم طرح قيمة البسط الأول من الثاني، مع بقاء قيمة المقام ثابتة.
  • مثال على ذلك: ما حاصل طرح العدد 3/4 من العدد 1/2؟ الحل: نقوم بتوحيد المقامات من خلال ضرب بسط ومقام العدد النسبي الثاني ب 2، يصبح الرقم على الشكل 2/4، عندئذٍ تصبح معادلة الطرح من الشكل: 2/4 - 3/4 = 1/4-.
• جداء الاعداد النسبية: عند إجراء جداء عددين نسبيين نقوم بضرب بسط العدد الأول ببسط العدد الثاني، ثم نضرب مقام العدد الأول بمقام العدد الثاني.
  • مثال على ذلك: ما هو حاصل جداء العددين النسبيين 1/2 و4/5؟ الحل: 1/2 * 4/5 = (1*4)/(2*5) = 4/10 .
• قسمة الاعداد النسبية: عند قسمة عددين نسبيين، نقوم بتثبيت العدد الأول على حاله، مع تغيير إشارة القسمة إلى جداء، ثم نقوم بقلب العدد الثاني، بحيث يصبح بسطه مقامًا، ومقامه بسطًا، أي تصبح العملية جداء العدد الأول في مقلوب العدد الثاني، ونقوم عندها بعملية الجداء، بالطريقة السابقة، بضرب البسط بالبسط، والمقام بالمقام.
  • مثال على ذلك: ما هو حاصل قسمة العدد النسبي 1/2 على 3/4؟ الحل: 1/2 ÷ 3/4 = (2×3)/(1×4) = 4/6 = 2/3.

متى يكون العدد غير نسبي


يطلق مصطلح الرقم غير النسبي (Irrational Number) على الأرقام الحقيقية التي لا يمكن تمثيلها على شكل كسرٍ بسيطٍ، ومن أهم الأمثلة على هذه الأعداد:

• العدد π: وهو كسرٌ عشريٌّ غير منتهٍ لا يمكن معرفة قيمته بشكلٍ محددٍ، إذ للعدد أرقام عشرية لا منتهية بعد الفاصلة، والعدد π يساوي تقريبًا 3.1415926535897932384626433832795.
• العدد النيبري e: العدد النيبري أو ما يعرف بثابت أويلر (Euler's Number)، هو رقمٌ طبيعيٌّ غير نسبيٍّ شائع الاستخدام في علم الرياضيات، تم حساب الكثير من المنازل العشرية للرقم النيبري دون التمكن من تحديد نمطٍ معينٍ ضمن هذه المنازل أو نهاية لها. فيما يلي قيمة العدد النيبري مع منازله العشرية الأولى 2.7182818284590452353602874713527.
• بعض الجذور التربيعية والتكعيبية: تعتبر الكثير من الجذور التربيعية والتكعيبية أعدادًا غير نسبيةٍ، كالجذر التربيعية للرقم 3 والذي يساوي 1.7320508075688772935274463415059 مع وجود منازل عشرية غير منتهية، والجذر التربيعي للعدد 99 والذي يساوي 9.9498743710661995473447982100121 مع وجود مناول عشرية غير منتهية.