تويت
ما هي الجذور التربيعية
تدين البشرية بأغلب اكتشافاتها واختراعاتها إلى العلوم الرياضيّة، والتي بُنيَت عليها باقي العلوم الفيزيائية والكيميائية وعلوم الفضاء وغيرها الكثير، حيث سهّلت الحياة ونقلتها دائمًا إلى ضفافٍ جديدةٍ، ولم تكن الرياضيات نهجًا ثابتًا وإنما في تجددٍ دائمٍ، فالإضافات الدائمة والأدوات التسهيليّة التي ظهرت على مَرِّ العصور، جعلت الكثير من المسائل والقضايا الحياتية أبسط وأسرع حلًا. سنتحدث اليوم عن أحد المواضيع الهامة في عالم الرياضيات ألا وهي الجذور التربيعية (Square Roots).
تعريف الجذور التربيعية
الجذر التربيعيّ إحدى الأدوات الرياضية المستخدمة منذ زمنٍ بعيدٍ، والتي لا يمكن الاستغناء عنها مطلقًا، فقد مكّنت الإنسان من حل العديد من المسائل التي لا حصر لها، ولكي نوضح مفهوم الجذر التربيعيّ دعونا نفرض أنّ للعدد X مثلًا جذرًا تربيعيًّا وهو Y، بالتالي عند ضرب العدد Y بنفسه (مربعه) سيعطينا X، بالأرقام؛ العدد 2 هو الجذر التربيعيّ للعدد 4؛ لأن 2×2=4.
الرقم الذي يكون أكبر أو يساوي الصفر هو فقط ما له جذر تربيعي حقيقي، أمّا العدد السالب فلا يكون جذره التربيعي ضمن الأرقام الحقيقيّة، كالشكل الآتي:
يُطلق على العدد الصحيح الذي يكون جذره التربيعيّ أيضًا عددًا صحيحًا بالمربع المثالي، مثل الأعداد 0-1-4 -9-16-25-36-49-64-81-100-121-144. يشار للجذر التربيعيّ لعددٍ ما بالإشارة √ بجانب العدد المراد معرفة جذره التربيعيّ، ومن ثم يمكننا تمثيل مثالنا السابق بالشكل الرياضي التالي:.
√x = y
بحيث أن
Y × Y = X
كيفية التخلص من الجذور التربيعية في المعادلة
بما أن عملية التربيع هي العملية العكسية للجذر التربيعي، فعند القيام بتربيع الجذر التربيعيّ، نلغي عمل الجذر ونكون قد حللنا المعادلة، ولكن ذلك يخضع لقواعد محددة، من أجل تجنب الوقوع في الأخطاء، تُجرى الخطوات المُتّبعة لحل هذه المعادلة بالترتيب التالي:
استخدامات الجذور التربيعية
قد تسأل لماذا أحتاج إلى معرفة كيفية حساب الجذر التربيعيّ؟ أو هل هناك حاجة فعلية إلى الجذور التربيعية في الحياة الواقعية خارج الرياضيات؟
للجذور التربيعية استخداماتٌ عديدةٌ في الحياة اليومية، ولعلّ أهمها هو استخدام الجذر التربيعي في نظرية فيثاغورس التي تستند عليها العديد من الأعمال، حيث أنها تستخدم بشكلٍ شبه يومي في العديد من الوظائف، مثل النجارة والأعمال الهندسية بشكلٍ عام والهندسة المعمارية على وجه الخصوص.
مضمون نظرية فيثاغورث هو أنّ مربع طول الوتر في المثلث القائم يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الباقيين، ومن ثم يمكننا عن طريق أخذ الجذر التربيعي أن نتوصل لحساب طول الوتر، ومن هذه الاستخدامات:
الوحدة التخيُّليّة
تُعرّف الوحدة التخيُّليّة بأنها الجذر التربيعيّ للعدد -1، ويرمز لها بالرمز i، وقد كان السبب الرئيسي لإنشاء هذه الوحدة هو إيجاد حلٍّ للمعادلات التربيعيّة التي ليس لها حلولٌ ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية، فعلى سبيل المثال يمكننا من أجل حل معادلة تربيعيّة من الشكل التالي:
x2 + 4 = 0
بعد أن نقوم بتحويل المعادلة إلى الشكل التالي:
x2 = -4
نقوم بعزل الرقم التخيلي (i=√-1) ثمّ نقوم بإجراء الجذور التربيعية لطرفي المعادلة ليصبح حل المعادلة:
x = ±2i
لا بد لنا أن نفخر دومًا بما توصلت إليه البشرية على مرِّ العصور من أدواتٍ ووسائلَ تُسهِّل حياة الإنسان وتدفع بها بشكلٍ مباشرٍ أو غير مباشرٍ إلى التقدم والتطور..
تدين البشرية بأغلب اكتشافاتها واختراعاتها إلى العلوم الرياضيّة، والتي بُنيَت عليها باقي العلوم الفيزيائية والكيميائية وعلوم الفضاء وغيرها الكثير، حيث سهّلت الحياة ونقلتها دائمًا إلى ضفافٍ جديدةٍ، ولم تكن الرياضيات نهجًا ثابتًا وإنما في تجددٍ دائمٍ، فالإضافات الدائمة والأدوات التسهيليّة التي ظهرت على مَرِّ العصور، جعلت الكثير من المسائل والقضايا الحياتية أبسط وأسرع حلًا. سنتحدث اليوم عن أحد المواضيع الهامة في عالم الرياضيات ألا وهي الجذور التربيعية (Square Roots).
تعريف الجذور التربيعية
الجذر التربيعيّ إحدى الأدوات الرياضية المستخدمة منذ زمنٍ بعيدٍ، والتي لا يمكن الاستغناء عنها مطلقًا، فقد مكّنت الإنسان من حل العديد من المسائل التي لا حصر لها، ولكي نوضح مفهوم الجذر التربيعيّ دعونا نفرض أنّ للعدد X مثلًا جذرًا تربيعيًّا وهو Y، بالتالي عند ضرب العدد Y بنفسه (مربعه) سيعطينا X، بالأرقام؛ العدد 2 هو الجذر التربيعيّ للعدد 4؛ لأن 2×2=4.
الرقم الذي يكون أكبر أو يساوي الصفر هو فقط ما له جذر تربيعي حقيقي، أمّا العدد السالب فلا يكون جذره التربيعي ضمن الأرقام الحقيقيّة، كالشكل الآتي:
- الأراقم الموجبة لها جذران؛ أحدهما موجب (أكبر من الصفر)، والآخر سالب (أصغر من الصفر)، في مثالنا السابق، العدد 4 له جذران؛ 2 و−2.
- الصفر له جذرٌ تربيعيٌّ وحيدٌ، وهو الصفر.
- كما ذركنا، لا تكون الجذور تربيعية للأرقام السالبة ضمن الأرقام الحقيقة، وإنما نلجأ إلى ما يدعى بالوحدة التخيُّليّة التي سنتكلم عنها لاحقًا.
يُطلق على العدد الصحيح الذي يكون جذره التربيعيّ أيضًا عددًا صحيحًا بالمربع المثالي، مثل الأعداد 0-1-4 -9-16-25-36-49-64-81-100-121-144. يشار للجذر التربيعيّ لعددٍ ما بالإشارة √ بجانب العدد المراد معرفة جذره التربيعيّ، ومن ثم يمكننا تمثيل مثالنا السابق بالشكل الرياضي التالي:.
√x = y
بحيث أن
Y × Y = X
كيفية التخلص من الجذور التربيعية في المعادلة
بما أن عملية التربيع هي العملية العكسية للجذر التربيعي، فعند القيام بتربيع الجذر التربيعيّ، نلغي عمل الجذر ونكون قد حللنا المعادلة، ولكن ذلك يخضع لقواعد محددة، من أجل تجنب الوقوع في الأخطاء، تُجرى الخطوات المُتّبعة لحل هذه المعادلة بالترتيب التالي:
- عزل الجذر التربيعي في طرف واحد من المعادلة
عبر إجراء عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة بهدف عزل الجذر التربيعي، ففي حال كانت المعادلة الأصلية على سبيل المثال:
√x + 2 = 11
فبالإمكان طرح 2 من طرفي المعادلة للحصول على ما يلي:
√x = 9 - القيام بتربيع طرفي المعادلة
إن تربيع طرفي المعادلة يلغي علامة الجذر التربيعي وبالتالي تصبح المعادلة:
x = 81
وبذلك نتوصل لقيمة x وبالتالي حل المعادلة، لكن تبقى خطوة واحدة قبل الانتهاء. - التأكد من صحة الحل
يتم ذلك عن طريق استبدال قيمة x التي تم التوصل إليها في المعادلة الأصلية، والتأكد من كون طرفي المعادلة صحيحان ومتساويان.
استخدامات الجذور التربيعية
قد تسأل لماذا أحتاج إلى معرفة كيفية حساب الجذر التربيعيّ؟ أو هل هناك حاجة فعلية إلى الجذور التربيعية في الحياة الواقعية خارج الرياضيات؟
للجذور التربيعية استخداماتٌ عديدةٌ في الحياة اليومية، ولعلّ أهمها هو استخدام الجذر التربيعي في نظرية فيثاغورس التي تستند عليها العديد من الأعمال، حيث أنها تستخدم بشكلٍ شبه يومي في العديد من الوظائف، مثل النجارة والأعمال الهندسية بشكلٍ عام والهندسة المعمارية على وجه الخصوص.
مضمون نظرية فيثاغورث هو أنّ مربع طول الوتر في المثلث القائم يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الباقيين، ومن ثم يمكننا عن طريق أخذ الجذر التربيعي أن نتوصل لحساب طول الوتر، ومن هذه الاستخدامات:
- الهندسة المدنية: يمكن توظيف الجذور التربيعية عند القيام بشق الطرق القادمة من أعلى التلال، وفي بناء الجسور، كما تستخدم في تحديد الهيكل الداعم للبناء.
- النجارة: يلجأ إليها النجار عندما يريد تحديد المواد اللازمة للبناء.
- الهندسة المعمارية: تظهر الحاجة هنا في بناء المباني الكبيرة، وفي رسم الزوايا القائمة أثناء رسم وإنشاء المخططات..
الوحدة التخيُّليّة
تُعرّف الوحدة التخيُّليّة بأنها الجذر التربيعيّ للعدد -1، ويرمز لها بالرمز i، وقد كان السبب الرئيسي لإنشاء هذه الوحدة هو إيجاد حلٍّ للمعادلات التربيعيّة التي ليس لها حلولٌ ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية، فعلى سبيل المثال يمكننا من أجل حل معادلة تربيعيّة من الشكل التالي:
x2 + 4 = 0
بعد أن نقوم بتحويل المعادلة إلى الشكل التالي:
x2 = -4
نقوم بعزل الرقم التخيلي (i=√-1) ثمّ نقوم بإجراء الجذور التربيعية لطرفي المعادلة ليصبح حل المعادلة:
x = ±2i
لا بد لنا أن نفخر دومًا بما توصلت إليه البشرية على مرِّ العصور من أدواتٍ ووسائلَ تُسهِّل حياة الإنسان وتدفع بها بشكلٍ مباشرٍ أو غير مباشرٍ إلى التقدم والتطور..