تويت
القيمة المطلقه وخصائصها مع بعض التطبيقات والتمارين عليها
لنفترض أنك تقوم بقيادة سيارتك على الطريق، ومن ثم رأيت لافتةً مكتوبًا عليها أن السرعة المسموحة كحدٍّ أقصى هي 50 ميلًا في الساعة، وقمت بمشاهدة عداد سرعتك ورأيت أنها كانت عندها 45 ميلًا في الساعة فقط، عندها نقول أنك تسير بسرعة 5 ميل في الساعة أقل من الحد الأقصى المسموح للسرعة، لاحظ هنا أنه بالرغم من سيرك 5 ميل في الساعة أقل من الحد؛ إلا أننا لا نقول إنك ستذهب 5- ميل في الساعة، بل فقط نذكر الفرق من 50 ميلًا في الساعة كقيمةٍ موجبةٍ. ما سبق هو مثالٌ واقعيٌّ على استخدام القيمة المطلقه في الحياة، وفي مقالنا هذا، سنتعرف على المفهوم العام للقيمة المطلقة رياضيًّا وخصائصها وأمثلة عنها.
القيمه المطلقه
القيمة المطلقه (Absolute Value)، هي مصطلحٌ رياضيٌّ له استخداماتٌ متعددةٌ، ومن الممكن تعريفها على أنها المسافة التي يبعدها العدد الحقيقي عن الصفر بغض النظر عن إشارته على مستقيم الأعداد، حيث أن العدد 6 يبعد عن الصفر بمقدار 6 درجاتٍ، وأيضًا العدد (6-) يبعد نفس المسافة، يمكن القول أنها تُعنى بقيمة العدد بغض النظر عن إشارته، وعادةً تستخدم للتكلم عن المسافات وذلك لعدم وجود مسافاتٍ سالبةٍ في الواقع والحياة.
يرمز للقيمة المطلقة بالرمز”||” حيث تكتب القيمة المطلقه للعدد a مثلًا بالشكل التالي: |a|، على سبيل المثال، يمكن التعبير عن القيمة المطلقة للعدد (3) بالشكل |3| = 3، وكذلك الأمر بالنسبة للعدد (-3): |3-|= 3، وهي تعني عمليًّا التفكير بجميع الأعداد على أنها أعدادٌ موجبةٌ أو مساويةً للصفر فقط، وإزالة الإشارة السالبة الموجودة أمام العدد في حال وجودها.
القيمة المطلقه
ملاحظة صغيرة وهامة جدًا: إن كتابة القيمة المطلقه هي بالشكل “|a|” وليس أقواس، لأن ذلك يغير من العملية الرياضية بشكلٍ كاملٍ، إذ تعمل الأقواس كما في الشكل (3-)- = +3، أما في حال كان لدينا |3-|- فإنها تساوي |3-|- = (3)- = 3-، لذلك لا يمكنك استبدال الإشارة|| بقوس بأي شكلٍ من الأشكال، كما يمكن ترميز القيمة المطلقة بالرمز “()abs” أي يمكن كتابة عبارة “القيمة المطلقة لسالب 3” على أنها “(abs (-3”.
خصائص القيمة المطلقه
دالة القيمة المطلقه
تعطى بالعلاقة |f(x)=|x، هذه الدالة تأخذ القيمة x وتجعلها موجبةً دومًا، فعلى سبيل المثال، إذا كانت قيمة x تساوي 4-، فإن f(-4) =|-4|=4. ببساطةٍ، نحن نأخذ مدخلًا ونعوضه في دالة القيمة المطلقه ويكون الناتج هو القيمة الموجبة للمدخل، وعند تمثيل هذه الدالة بيانيًّا فإنها تأخذ شكل حرف (v)، ويكون لها الخصائص التالية:
دالة القيمة المطلقه
بعض التطبيقات والتمارين
لنفترض أنك تقوم بقيادة سيارتك على الطريق، ومن ثم رأيت لافتةً مكتوبًا عليها أن السرعة المسموحة كحدٍّ أقصى هي 50 ميلًا في الساعة، وقمت بمشاهدة عداد سرعتك ورأيت أنها كانت عندها 45 ميلًا في الساعة فقط، عندها نقول أنك تسير بسرعة 5 ميل في الساعة أقل من الحد الأقصى المسموح للسرعة، لاحظ هنا أنه بالرغم من سيرك 5 ميل في الساعة أقل من الحد؛ إلا أننا لا نقول إنك ستذهب 5- ميل في الساعة، بل فقط نذكر الفرق من 50 ميلًا في الساعة كقيمةٍ موجبةٍ. ما سبق هو مثالٌ واقعيٌّ على استخدام القيمة المطلقه في الحياة، وفي مقالنا هذا، سنتعرف على المفهوم العام للقيمة المطلقة رياضيًّا وخصائصها وأمثلة عنها.
القيمه المطلقه
القيمة المطلقه (Absolute Value)، هي مصطلحٌ رياضيٌّ له استخداماتٌ متعددةٌ، ومن الممكن تعريفها على أنها المسافة التي يبعدها العدد الحقيقي عن الصفر بغض النظر عن إشارته على مستقيم الأعداد، حيث أن العدد 6 يبعد عن الصفر بمقدار 6 درجاتٍ، وأيضًا العدد (6-) يبعد نفس المسافة، يمكن القول أنها تُعنى بقيمة العدد بغض النظر عن إشارته، وعادةً تستخدم للتكلم عن المسافات وذلك لعدم وجود مسافاتٍ سالبةٍ في الواقع والحياة.
يرمز للقيمة المطلقة بالرمز”||” حيث تكتب القيمة المطلقه للعدد a مثلًا بالشكل التالي: |a|، على سبيل المثال، يمكن التعبير عن القيمة المطلقة للعدد (3) بالشكل |3| = 3، وكذلك الأمر بالنسبة للعدد (-3): |3-|= 3، وهي تعني عمليًّا التفكير بجميع الأعداد على أنها أعدادٌ موجبةٌ أو مساويةً للصفر فقط، وإزالة الإشارة السالبة الموجودة أمام العدد في حال وجودها.
القيمة المطلقه
ملاحظة صغيرة وهامة جدًا: إن كتابة القيمة المطلقه هي بالشكل “|a|” وليس أقواس، لأن ذلك يغير من العملية الرياضية بشكلٍ كاملٍ، إذ تعمل الأقواس كما في الشكل (3-)- = +3، أما في حال كان لدينا |3-|- فإنها تساوي |3-|- = (3)- = 3-، لذلك لا يمكنك استبدال الإشارة|| بقوس بأي شكلٍ من الأشكال، كما يمكن ترميز القيمة المطلقة بالرمز “()abs” أي يمكن كتابة عبارة “القيمة المطلقة لسالب 3” على أنها “(abs (-3”.
خصائص القيمة المطلقه
- a|≥0|: أي أن القيمة المطلقه لأي عدد a، أكبر أو تساوي الصفر، حيث a عدد حقيقي.
- (a| = √(a2|: إن تربيع قيمة العدد a ستجعله عددًا موجبًا حتمًا، أو مساويًّا للصفر، وعندها عندما نأخذ الجذر فالقيمة أيضًا موجبة، وهذا يوافق القيمة المطلقه.
- |a × b| = |a| × |b|: حاصل ضرب القيمة المطلقه لعدد a بالقيمة المطلقة لعددٍ آخر b يساوي القيمة المطلقة لحاصل ضرب العددين a وb، والعكس صحيح.
- |a||b|=|ab|: حاصل قسمة القيمة المطلقه لعدد a على القيمة المطلقة لعددٍ آخر b يساوي القيمة المطلقة لحاصل قسمة العددين a وb، حيث b لا تساوي الصفر.
- |a|=|-a|: العدد الحقيقي وسالبه لهما نفس القيمة المطلقه.
- |a-b|=|b-a|: فقط في القيمة المطلقه، أما في الحالة العادية فإن (a-b)≠ (b-a).
- |a|=|b| فقط في حال كان a=b أو a=-b.
- |a±b|≤|a|+|b|: القيمة المطلقة لناتج جمع أو طرح قيمة عددين a وb، أقل دائمًا أو مساويةً لناتج جمع القيمة المطلقة للعدد a مع القيمة المطلقة للعدد b.
دالة القيمة المطلقه
تعطى بالعلاقة |f(x)=|x، هذه الدالة تأخذ القيمة x وتجعلها موجبةً دومًا، فعلى سبيل المثال، إذا كانت قيمة x تساوي 4-، فإن f(-4) =|-4|=4. ببساطةٍ، نحن نأخذ مدخلًا ونعوضه في دالة القيمة المطلقه ويكون الناتج هو القيمة الموجبة للمدخل، وعند تمثيل هذه الدالة بيانيًّا فإنها تأخذ شكل حرف (v)، ويكون لها الخصائص التالية:
- مجالها جميع الأعداد الحقيقية.
- مداها جميع الأعداد الحقيقية التي تساوي أو تزيد عن الصفر.
- رسمها البياني يقع بالكامل فوق محور السينات (المحورx).
- رسمها البياني متناظر بالنسبة للمحورy.
دالة القيمة المطلقه
بعض التطبيقات والتمارين
- أولًا: فيما يلي بعض عمليات القيمه المطلقه البسيطة:
- |3.5| – |2.5-| = 3.5 – 2.5 =1.
- |5×6-|=|30-|=30.
- |2×(2/3 – 0.5)| = |2×(1/6)| = |1/3| = 1/3.
- |12-|- = 12-.
- ثانيًا: أوجد قيمة x في المسألة التالية: x+2|= 5|.
الحل: x+2 = ±5 حيث أنه في حال كان x+2=5 فإن x=3، أما في حال كان x+2=-5 فإن x=-7. - ثالثًا: احسب مدى x في المسألة: x| < 3|.
الحل: يمكن كتابة هذه المسألة بالشكل: x<±3 وعليه: x<3 أو x>-3. - رابعًا: احسب قيمة x في المسألة التالية: |3x-2|=|5x+4|
- الحل: لدينا (3x-2)=±(5x+4) أي لدينا حلان هما: إما 3x-2=5x+4 أي x=-3، أو 3x-2=-5x-4 أي x=-1/4.
- خامسًا: إذا كانت قيمة x=2، أوجد قيمة عملية القيمة المطلقه التالية: |4x+3|*|-3x-14|.
الحل: نعوض x=2 فيما سبق فينتج |4*2+3|*|3*2-14-|=|11|*|20-|=11*20=220. - سادسًا: إذا كان لدينا2a-3|=5 ،|3-4b|=11|، أوجد قيمة |b-a|علمًا أن a وb أعداد سالبة.
الحل: .2a-3|=5→2a-3=±5→ a=4 or a=-1|
.3-4b|=11→3-4b=±11→b=-2 or b=11|
نختار a=-1 وb=-2، لأنه وحسب نص المسألة، a وb أعداد سالبة.
بالتالي، b-a|=|(-1)-(-2)|=1|.