تويت
قانون حجم المنشور (مع أمثلة مشروحة)
قبل أن نبدأ بشرح قانون حجم المنشور وبعض الأمثلة المشروحة عنه، يجب أن نعرف بعض المعلومات عن المنشور. المنشور جسمٌ فراغيٌّ متعدد الأوجه، جميع أوجهه مسطحة، وله طرفان يعرفان بقاعدتي المنشور. قاعدتا المنشور هما مضلعان من نفس النوع، فإما أن يكونا مثلثين أو مربعين أو مضلعين خماسيين وهكذا، ويسمى المنشور على حسب نوع القاعدة، فمثلًا لو كانت القاعدتان مثلثتين، سمي منشورًا ثلاثيًّا.
توجد القاعدتان في مستويين متوازيين، وتقابلان بعضهما. انظر للصورة التالية في الأسفل، تلاحظ أن الطرفين أو القاعدتين شكلان خماسيان ولذلك نسميه منشورًا خماسيًّا، وتلاحظ كذلك وجود عدد من الوجوه الأخرى عددها خمسة، هذه الوجوه جميعها مستطيلات وهي الأوجه الجانبية للمنشور (في حالاتٍ أخرى تكون متوازيات أضلاع)، ويتناسب عددها مع عدد أضلاع قاعدة المنشور، ففي المنشور الثلاثي عدد الأوجه الجانبية ثلاثة، وفي الرباعي أربعة وهكذا.
المستقيمات التي تتلاقى عندها الأوجه الجانبية تسمى الأحرف الجانبية للمنشور، مرة أخرى نعود للصورة، حيث تجد وجهين جانبيين، أحدهما له لون أزرق، وللآخر درجة من درجات البني أو شيء كهذا، المهم أن الوجهين يلتقيان معًا عند حرفٍ من حروف المنشور نسميه حرفًا جانبيًّا.
منشور خماسي
بأخذ مقطع عرضي في المنشور بموازاة القاعدة، يكون المقطع دائمًا مطابقًا للقاعدة، لنفرض أننا اقتطعنا جزءًا من المنشور في الصورة السابقة في أي مكانٍ منه على امتداد طوله، بحيث يكون المقطع موازيًّا للقاعدة، فإن المقطع يكون خماسي الشكل كما القاعدة. لإيضاح الفكرة أكثر، انظر للصورة التالية التي تبيّن مقطعًا عرضيًّا في منشورٍ ثلاثي، قاعدة المنشور عبارة عن مثلثٍ، والمقطع مثلثٌ هو الآخر..
مقطع عرضي في منشور ثلاثي
من بين الطرق التي نستطيع بها استيعاب مفهوم المنشور، أن نتخيله مضلعًا ثنائي الأبعاد، كالمثلث المرسوم على الورق، ثم اكتسب ذلك المثلث أو المضلع مهما يكن نوعه بعدًا ثالثًا أو سُمكًا، هذا السُمك هو الارتفاع، والذي يعبر عن المسافة العمودية بين قاعدتي المنشور. أريدك أن تبقي في ذاكرتك مفهوم الارتفاع لأننا سنحتاجه عندما نصل إلى الحديث عن حجم المنشور، لكن قبل ذلك، لاحظ الصورتين الآتيتين، في إحداهما مثلث ثنائي الأبعاد، وفي الأخرى نفس المثلث، وقد اكتسب بعدًا ثالثًا فصار منشورًا..
أنواع المنشور
ذكرتُ سابقًا أن المنشور يصنف طبقًا لنوع المضلع الذي يشكل قاعدته، فهناك منشورٌ ثلاثي ورباعي وخماسي.... إلخ، لكن ليس هذا ما يندرج تحت عنوان أنواع المنشور، فهنا سنعرض تصنيفين مختلفين للمنشور، أحدهما يصف انتظام المنشور من عدمه، والآخر يصف الزاوية بين الأحرف الجانبية وأضلاع القاعدة.
يتوقف ذلك على نوع قاعدة المنشور، فالمنشور المنتظم قاعدته مضلع منتظم أي مضلع له زوايا متساوية في قياساتها وأضلاع متساوية في أطوالها، أما المنشور غير المنتظم فإن قاعدته مضلع غير منتظمٍ أي قياسات زواياه وأطوال أضلاعه مختلفة. في الصورة التالية مضلعان خماسيان، باللون الأزرق شكل خماسي منتظم، وباللون البني شكل خماسي غير منتظمٍ.
المنشور المنتظم والمنشور غير المنتظم
المنشور القائم والمنشور المائل
يوضح الشكلان في الصورة منشورًا قائمًا إلى اليسار، وآخر مائل إلى اليمين، الفرق بينهما في الزاوية بين الأحرف الجانبية وأضلاع قاعدة المنشور، التي هي في هذه الحالة المحددة مربع. الزاوية بين الحرف الجانبي وضلع القاعدة في حالة المنشور القائم زاوية قائمة (قياسها 90 درجة)، وفي حالة المنشور المائل ليست قائمةً فهي إما حادة أو منفرجة.
ليس نوع الزوايا بين الأحرف الجانبية وأضلاع القاعدة بالفرق الوحيد بين نوعي المنشور، فهناك فرقٌ آخر حددته تلك الزوايا، تأمل الأوجه الجانبية للمنشور القائم، تجدها مستطيلات، أما الأوجه الجانبية للمنشور المائل فمتوازيات أضلاع. للعلم، فإن المستطيل ما هو إلا متوازي أضلاع زواياه قائمة..
قانون حساب مساحة المنشور
طالما تناولنا تعريف المنشور وأنواعه، لنبيّن إذًا كيفية حساب مساحة سطحه قبل تبيان كيفية حساب حجمه. مجموع مساحات الأوجه الجانبية للمنشور يعبر عما يسمى بالمساحة الجانبية، وبإضافة مساحتي القاعدتين إلى المساحة الجانبية، نحصل على المساحة الكلية لسطح المنشور.
يمكننا حساب مساحة السطح بطريقةٍ مباشرةٍ عبر العلاقة الآتية:.
مساحة سطح المنشور = (2 × مساحة القاعدة) + (محيط القاعدة × الارتفاع)
قانون حساب حجم المنشور
يعبر حجم المنشور عن الحيز الذي يشغله المنشور، ويُحتسب الحجم من العلاقة الآتية:
حجم المنشور = مساحة القاعدة × ارتفاع المنشور
يمكن تعديل الصيغة الرياضية لحساب حجم المنشور على حسب نوع المنشور كالتالي:
كما نعلم، فإن مساحة المثلث = ½ × القاعدة × الارتفاع، لا نقصد هنا قاعدة المنشور وارتفاعه، بل قاعدة وارتفاع المثلث، وهما أحد أضلاعه (قاعدته كمثلث)، والمسافة العمودية على ذات الضلع من الرأس المقابلة له. لنسمي قاعدة المثلث b وارتفاعه a، وارتفاع المنشور h كما في الشكل.
منشور ثلاثي
عندها يمكن صياغة قانون حجم المنشورالثلاثي كالتالي:
حجم المنشور = ½ × a × b × h
مساحة المستطيل = الطول × العرض، لنسمي طول وعرض المستطيل a وb مثلًا، وارتفاع المنشور h، بذلك نحسب حجم المنشور المستطيل كالتالي:
حجم المنشور = a × b × h
تُحسب مساحة المضلع الخماسي المنتظم كالتالي:
المساحة = 52 × طول الضلع × طول الخط المستقيم العمودي من مركز الشكل على الضلع
منشور خماسي
في الشكل يُرمز للضلع وللعمود عليه من المركز، بالحرفين b وa على التوالي، بهذا نستطيع التعبير عن مساحة القاعدة كالتالي:
المساحة = 52 × a × b
أما حجم المنشور الخماسي فيكون:
حجم المنشور = 52 × a × b × h
بنفس الطريقة يمكن حساب حجم المنشور إن كانت قاعدته مضلعًا منتظمًا مهما يكن عدد أضلاعه.
أمثلة على كيفية حساب حجم المنشور
في الشكل التالي منشور ثلاثي ارتفاعه 20 سم، وارتفاع قاعدته 16 سم وقاعدة المثلث المشكل لقاعدة المنشور 12 سم، احسب حجم المنشور.
مساحة القاعدة (قاعدة المنشور) = ½ القاعدة (قاعدة الثلث) × الارتفاع = ½ × 12 × 16 = 96 سم2.
حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع = 96 × 20 = 1920 سم3.
أوجد حجم منشور ثلاثي مساحة قاعدته 60 سم مربع، وارتفاعه 7 سم.
حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع = 60 × 7 = 420 سم3.
منشور قاعدته مستطيل طوله 3 سم وعرضه 4 سم، وارتفاع المنشور 6 سم، احسب حجم المنشور.
مساحة القاعدة = الطول × العرض = 3 × 4 = 12 سم2.
حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع = 12 × 6 = 72 سم3.
الأسئلة الشائعة عن قانون حجم المنشور
ما هو المنشور الرباعي؟
المنشور الرباعي، هو شكل ثلاثي الأبعاد، يحتوي على قاعدتين متطابقتين ومتوازيتين، تحيط بها أوجه جانبية، ويبلغ عدد الرؤوس فيه ثمانية.
كيف نحسب حجم المنشور الرباعي؟
لحساب حجم المنشور الرباعي نقوم بضرب مساحة قاعدة المنشور * الارتفاع. وبالتالي يصبح القانون هو كالتالي: حجم المنشور الرباعي = طول القاعدة * الارتفاع النازل على القاعدة * ارتفاع المنشور.
مثال:
أوجد حجم المنشور الرباعي الذي طول قاعدته 5 سم، وارتفاعها 10 سم، وارتفاع المنشور 30 سم.
حجم المنشور الرباعي = طول القاعدة * الارتفاع النازل على القاعدة * ارتفاع المنشور.
حجم المنشور الرباعي = 5 * 10 * 30 = 1500 سم مكعب.
ما هي مساحة سطح المنشور؟
إذا كانت القاعدة مربعة، فإن مساحة سطح المنشور الرباعي = 2 × مساحة القاعدة المربعة + 4 × مساحة أحد الأوجه.
إذا كانت القاعدة مستطيلة، مساحة سطح المنشور الرباعي = 2 × [(الطول × العرض) + (الطول × الارتفاع) + (العرض × الارتفاع)]
كم عدد رؤوس المنشور؟
في المنشور الثلاثي يكون عدد الرؤوس ستة، وفي المنشور الرباعي يكون عدد الرؤوس ثمانية.
كم ضلع للمنشور؟
ضمن المنشور الثلاثي، تحتوي كل قاعدة على ثلاثة أضلاع. في حين أن المنشور الرباعي يحتوي على أربعة أضلاع في كل قاعدة.
كم عدد زوايا المنشور الرباعي؟
يحتوي المنشور الرباعي على أربع زوايا في كل وجه. وتكون هذه الزوايا موازية لبعضها ومتساوية أيضاً.
قبل أن نبدأ بشرح قانون حجم المنشور وبعض الأمثلة المشروحة عنه، يجب أن نعرف بعض المعلومات عن المنشور. المنشور جسمٌ فراغيٌّ متعدد الأوجه، جميع أوجهه مسطحة، وله طرفان يعرفان بقاعدتي المنشور. قاعدتا المنشور هما مضلعان من نفس النوع، فإما أن يكونا مثلثين أو مربعين أو مضلعين خماسيين وهكذا، ويسمى المنشور على حسب نوع القاعدة، فمثلًا لو كانت القاعدتان مثلثتين، سمي منشورًا ثلاثيًّا.
توجد القاعدتان في مستويين متوازيين، وتقابلان بعضهما. انظر للصورة التالية في الأسفل، تلاحظ أن الطرفين أو القاعدتين شكلان خماسيان ولذلك نسميه منشورًا خماسيًّا، وتلاحظ كذلك وجود عدد من الوجوه الأخرى عددها خمسة، هذه الوجوه جميعها مستطيلات وهي الأوجه الجانبية للمنشور (في حالاتٍ أخرى تكون متوازيات أضلاع)، ويتناسب عددها مع عدد أضلاع قاعدة المنشور، ففي المنشور الثلاثي عدد الأوجه الجانبية ثلاثة، وفي الرباعي أربعة وهكذا.
المستقيمات التي تتلاقى عندها الأوجه الجانبية تسمى الأحرف الجانبية للمنشور، مرة أخرى نعود للصورة، حيث تجد وجهين جانبيين، أحدهما له لون أزرق، وللآخر درجة من درجات البني أو شيء كهذا، المهم أن الوجهين يلتقيان معًا عند حرفٍ من حروف المنشور نسميه حرفًا جانبيًّا.
منشور خماسي
بأخذ مقطع عرضي في المنشور بموازاة القاعدة، يكون المقطع دائمًا مطابقًا للقاعدة، لنفرض أننا اقتطعنا جزءًا من المنشور في الصورة السابقة في أي مكانٍ منه على امتداد طوله، بحيث يكون المقطع موازيًّا للقاعدة، فإن المقطع يكون خماسي الشكل كما القاعدة. لإيضاح الفكرة أكثر، انظر للصورة التالية التي تبيّن مقطعًا عرضيًّا في منشورٍ ثلاثي، قاعدة المنشور عبارة عن مثلثٍ، والمقطع مثلثٌ هو الآخر..
مقطع عرضي في منشور ثلاثي
من بين الطرق التي نستطيع بها استيعاب مفهوم المنشور، أن نتخيله مضلعًا ثنائي الأبعاد، كالمثلث المرسوم على الورق، ثم اكتسب ذلك المثلث أو المضلع مهما يكن نوعه بعدًا ثالثًا أو سُمكًا، هذا السُمك هو الارتفاع، والذي يعبر عن المسافة العمودية بين قاعدتي المنشور. أريدك أن تبقي في ذاكرتك مفهوم الارتفاع لأننا سنحتاجه عندما نصل إلى الحديث عن حجم المنشور، لكن قبل ذلك، لاحظ الصورتين الآتيتين، في إحداهما مثلث ثنائي الأبعاد، وفي الأخرى نفس المثلث، وقد اكتسب بعدًا ثالثًا فصار منشورًا..
أنواع المنشور
ذكرتُ سابقًا أن المنشور يصنف طبقًا لنوع المضلع الذي يشكل قاعدته، فهناك منشورٌ ثلاثي ورباعي وخماسي.... إلخ، لكن ليس هذا ما يندرج تحت عنوان أنواع المنشور، فهنا سنعرض تصنيفين مختلفين للمنشور، أحدهما يصف انتظام المنشور من عدمه، والآخر يصف الزاوية بين الأحرف الجانبية وأضلاع القاعدة.
- المنشور المنتظم والمنشور غير المنتظم
يتوقف ذلك على نوع قاعدة المنشور، فالمنشور المنتظم قاعدته مضلع منتظم أي مضلع له زوايا متساوية في قياساتها وأضلاع متساوية في أطوالها، أما المنشور غير المنتظم فإن قاعدته مضلع غير منتظمٍ أي قياسات زواياه وأطوال أضلاعه مختلفة. في الصورة التالية مضلعان خماسيان، باللون الأزرق شكل خماسي منتظم، وباللون البني شكل خماسي غير منتظمٍ.
المنشور المنتظم والمنشور غير المنتظم
- المنشور القائم والمنشور المائل
المنشور القائم والمنشور المائل
يوضح الشكلان في الصورة منشورًا قائمًا إلى اليسار، وآخر مائل إلى اليمين، الفرق بينهما في الزاوية بين الأحرف الجانبية وأضلاع قاعدة المنشور، التي هي في هذه الحالة المحددة مربع. الزاوية بين الحرف الجانبي وضلع القاعدة في حالة المنشور القائم زاوية قائمة (قياسها 90 درجة)، وفي حالة المنشور المائل ليست قائمةً فهي إما حادة أو منفرجة.
ليس نوع الزوايا بين الأحرف الجانبية وأضلاع القاعدة بالفرق الوحيد بين نوعي المنشور، فهناك فرقٌ آخر حددته تلك الزوايا، تأمل الأوجه الجانبية للمنشور القائم، تجدها مستطيلات، أما الأوجه الجانبية للمنشور المائل فمتوازيات أضلاع. للعلم، فإن المستطيل ما هو إلا متوازي أضلاع زواياه قائمة..
قانون حساب مساحة المنشور
طالما تناولنا تعريف المنشور وأنواعه، لنبيّن إذًا كيفية حساب مساحة سطحه قبل تبيان كيفية حساب حجمه. مجموع مساحات الأوجه الجانبية للمنشور يعبر عما يسمى بالمساحة الجانبية، وبإضافة مساحتي القاعدتين إلى المساحة الجانبية، نحصل على المساحة الكلية لسطح المنشور.
يمكننا حساب مساحة السطح بطريقةٍ مباشرةٍ عبر العلاقة الآتية:.
مساحة سطح المنشور = (2 × مساحة القاعدة) + (محيط القاعدة × الارتفاع)
قانون حساب حجم المنشور
يعبر حجم المنشور عن الحيز الذي يشغله المنشور، ويُحتسب الحجم من العلاقة الآتية:
حجم المنشور = مساحة القاعدة × ارتفاع المنشور
يمكن تعديل الصيغة الرياضية لحساب حجم المنشور على حسب نوع المنشور كالتالي:
- حجم المنشور الثلاثي
كما نعلم، فإن مساحة المثلث = ½ × القاعدة × الارتفاع، لا نقصد هنا قاعدة المنشور وارتفاعه، بل قاعدة وارتفاع المثلث، وهما أحد أضلاعه (قاعدته كمثلث)، والمسافة العمودية على ذات الضلع من الرأس المقابلة له. لنسمي قاعدة المثلث b وارتفاعه a، وارتفاع المنشور h كما في الشكل.
منشور ثلاثي
عندها يمكن صياغة قانون حجم المنشورالثلاثي كالتالي:
حجم المنشور = ½ × a × b × h
- حجم المنشور المستطيل
مساحة المستطيل = الطول × العرض، لنسمي طول وعرض المستطيل a وb مثلًا، وارتفاع المنشور h، بذلك نحسب حجم المنشور المستطيل كالتالي:
حجم المنشور = a × b × h
- حجم المنشور الخماسي
تُحسب مساحة المضلع الخماسي المنتظم كالتالي:
المساحة = 52 × طول الضلع × طول الخط المستقيم العمودي من مركز الشكل على الضلع
منشور خماسي
في الشكل يُرمز للضلع وللعمود عليه من المركز، بالحرفين b وa على التوالي، بهذا نستطيع التعبير عن مساحة القاعدة كالتالي:
المساحة = 52 × a × b
أما حجم المنشور الخماسي فيكون:
حجم المنشور = 52 × a × b × h
بنفس الطريقة يمكن حساب حجم المنشور إن كانت قاعدته مضلعًا منتظمًا مهما يكن عدد أضلاعه.
أمثلة على كيفية حساب حجم المنشور
في الشكل التالي منشور ثلاثي ارتفاعه 20 سم، وارتفاع قاعدته 16 سم وقاعدة المثلث المشكل لقاعدة المنشور 12 سم، احسب حجم المنشور.
مساحة القاعدة (قاعدة المنشور) = ½ القاعدة (قاعدة الثلث) × الارتفاع = ½ × 12 × 16 = 96 سم2.
حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع = 96 × 20 = 1920 سم3.
أوجد حجم منشور ثلاثي مساحة قاعدته 60 سم مربع، وارتفاعه 7 سم.
حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع = 60 × 7 = 420 سم3.
منشور قاعدته مستطيل طوله 3 سم وعرضه 4 سم، وارتفاع المنشور 6 سم، احسب حجم المنشور.
مساحة القاعدة = الطول × العرض = 3 × 4 = 12 سم2.
حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع = 12 × 6 = 72 سم3.
الأسئلة الشائعة عن قانون حجم المنشور
ما هو المنشور الرباعي؟
المنشور الرباعي، هو شكل ثلاثي الأبعاد، يحتوي على قاعدتين متطابقتين ومتوازيتين، تحيط بها أوجه جانبية، ويبلغ عدد الرؤوس فيه ثمانية.
كيف نحسب حجم المنشور الرباعي؟
لحساب حجم المنشور الرباعي نقوم بضرب مساحة قاعدة المنشور * الارتفاع. وبالتالي يصبح القانون هو كالتالي: حجم المنشور الرباعي = طول القاعدة * الارتفاع النازل على القاعدة * ارتفاع المنشور.
مثال:
أوجد حجم المنشور الرباعي الذي طول قاعدته 5 سم، وارتفاعها 10 سم، وارتفاع المنشور 30 سم.
حجم المنشور الرباعي = طول القاعدة * الارتفاع النازل على القاعدة * ارتفاع المنشور.
حجم المنشور الرباعي = 5 * 10 * 30 = 1500 سم مكعب.
ما هي مساحة سطح المنشور؟
إذا كانت القاعدة مربعة، فإن مساحة سطح المنشور الرباعي = 2 × مساحة القاعدة المربعة + 4 × مساحة أحد الأوجه.
إذا كانت القاعدة مستطيلة، مساحة سطح المنشور الرباعي = 2 × [(الطول × العرض) + (الطول × الارتفاع) + (العرض × الارتفاع)]
كم عدد رؤوس المنشور؟
في المنشور الثلاثي يكون عدد الرؤوس ستة، وفي المنشور الرباعي يكون عدد الرؤوس ثمانية.
كم ضلع للمنشور؟
ضمن المنشور الثلاثي، تحتوي كل قاعدة على ثلاثة أضلاع. في حين أن المنشور الرباعي يحتوي على أربعة أضلاع في كل قاعدة.
كم عدد زوايا المنشور الرباعي؟
يحتوي المنشور الرباعي على أربع زوايا في كل وجه. وتكون هذه الزوايا موازية لبعضها ومتساوية أيضاً.