العدد النيبيري أو ثابت أويلرالمعروف بالرمز e ..وهي متتالية حسابية

أعداد أويلر
من ويكيبيديا
ميز عن العدد e، يسمى أيضًا عدد أويلر.

أعداد أويلر في نظرية الأعداد، هي متتالية حسابية {\displaystyle E_{n}} من الأعداد الصحيحة، معرفة بمتسلسلة تايلور التالية:^[1]
{\displaystyle {\frac {1}{\cosh t}}={\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n!}}\cdot t^{n}\!}
حيث {\displaystyle \cosh t} هي دالة جيب التمام الزائدية.
أمثلة

أعداد أويلر ذات أدلة ^{[الإنجليزية]} فردية كلها تساوي الصفر. تلك الأعداد التي لها أدلة زوجية لها إشارات متناوبة. بعض القيم هي: **********************************
ه (رياضيات)

من ويكيبيديا
ميّز عن عدد أويلر.
لمعانٍ أخرى، طالع ثابت أويلر.
صورة منحنى العدد النيبيري، حيث المنحنى الأزرق هو منحنى الدالة الأسية الطبيعية.

العدد {\displaystyle e} (عربي: هـ‍)، يسمى أيضًا عدد أويلر أو ثابت أويلر نسبةً إلى العالم السويسري ليونهارت أويلر، أو ثابت نابير نسبة إلى عالم الرياضيات الإسكتلندي جون نابير، أو العدد الهائي نسبةً إلى رمزه العربي هـ؛^[1][2][3] هو عدد حقيقي غير نسبي يساوي تقريبا 2.718281828 أو مختصرا بالتقريب 2.72، حيث مجموع الكسور في المتوالية التالية لا ينتهي وتصغر عناصر المتتالية باستمرار.
{\displaystyle e=\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {1}{n!}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots }
للعدد النيبيري أهمية كبيرة في الرياضيات والعلوم، وقد فتح الباب لحل المعادلات التفاضلية وخصوصاً الخطية و المثلثية. قدم الثابت الحسابي هـ (أو e ) إجابات على عدد من المسائل الفيزيائية والهندسية لا حدود لها وخصوصاً عند تعميم مجال استخدام الدالة في مجال الأعداد المركبة (خصوصا في الهندسة الكهربائية) فيعطي حلا لكثير من المسائل ينتج عنها دالة الجيب أو جيب التمام (طالع معادلات دوال مثلثية).

التاريخ

نشرت أول إشارة لهذه الثابتة عام 1618 في عمل لجون نابير حول اللوغاريتمات. و لكن اكتشاف الثابت الفعلي يُنسب إلى ياكوب بيرنولي الذي حاول ايجاد نهاية للمتتالية التالية:
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}تطبيقات

الفائدة المركبة


أثر ربح عشرين في المائة من الفائدة السنوية من استثمار مبلغ 1000 دولار بترددات مختلفة لتركيب الفائدة؛ سنويا أو ربع سنوي أو شهريا أو غير ذلك.

اكتشف يعقوب بيرنولي الثابت خلال دراسته للفائدة المركبة.
في الحساب

الثابت الرياضي e هو عدد حقيقي فريد من نوعه فمشتق دالته {\displaystyle f(x)=e^{x}} عند النقطة {\displaystyle x=0} تساوي الواحد تماما ً. يطلق على هذه الدالة اسم دالة الأس الطبيعي ، وعلى معكوسها دالة اللوغاريتم الطبيعي. يمكن حساب قيمته من خلال السلسلة الآتية:
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
أو {\displaystyle \lim _{n\to 0}\left(1+n\right)^{1/n}}
خصائص

نظرية الأعداد


العدد e عدد غير نسبي (أصم). برهن على ذلك أويلر بالبرهان على كون الكسر المستمر البسيط الممثل ل e غير منته (انظر أيضا إلى البرهان على أن e عدد غير جذري من طرف فورييه).
الأعداد العقدية

يمكن أن تكتب دالة الأس على شكل متسلسلة تايلور كما يلي:
{\displaystyle e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}
صيغة أويلر:
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,\,\!}
حيث أن {\displaystyle i} عدد خيالي مربعه يساوي 1- (أي أن {\displaystyle i^{2}=-1})، و {\displaystyle x\in \mathbb {R} }
المعادلات التفاضلية


الدالة العامة:
{\displaystyle y(x)=Ce^{x}\,}
هي الحل للمعادلة التفاضلية التالية:
{\displaystyle y'=y.\,}منحنى الدالة النيبيرية


يرسم منحنى الدالة النيبيرية بعدة أشكال، وهذا هو الشكل الأساسي:
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=\lim _{h\to 0}{\frac {e^{x+h}-e^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {e^{x}e^{h}-e^{x}}{h}}=e^{x}\left(\lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}\right).}اشتقاق الدوال الحاوية للثابت e

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(3e^{x}+x^{2})=3e^{x}+2x.}{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\sin(e^{x}))=\cos(e^{x})(e^{x}).}{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(e^{\sin x})=(e^{\sin x})(\cos x).}{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x^{2}e^{x\sin x})=2xe^{x\sin x}+(x^{2})(e^{x\sin x})(1\sin x+x\cos x).}
لاحظ أن: {\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{u}=e^{u}{\frac {du}{dx}}}
******************************
نظرة عامة حول العدد النيبيري يُعرف العدد النيبيري أو ثابت أويلر (Euler’s Number) بأنه من أكثر الثوابت الرياضية شهرةً بعد الثابت باي، ويُرمز له بالرمز (e) باللغة الإنجليزية، وبالعربية بالرمز (هـ)،[١] ويساوي (...........2.7182818284590452353602874713527)؛ وهو عدد غير نسبي ولا نهائي؛ أي لا يمكن كتابته على صورة كسر عادي، وهو أساس اللوغاريتم الطبيعي الذي ابتكره عالم الرياضيات الاسكتلندي جون نابير (John Napier) ولهذا يُسمّى بالعدد النيبيري، أما بالنسبة لتسميته ثابت أويلر فنسبةً إلى العالم السويسري ليونهارد أويلر (Leonhard Euler)،[٢] ويُعرف اللوغاريتم الذي أساسه العدد النيبيري باللوغاريتم الطبيعي، ويُكتب على صورة لوهـ (س)، وبالإنجليزية ln (x).[٣] ومن الجدير بالذكر أن الاقترانات التي تضم العدد النيبيري؛ مثل ق(س)= هـ س، واللوغاريتم الطبيعي لوهـ (س) تُستخدم للتعبير عن المتغيرات في الكثير من المسائل العلمية؛ كمعادلات الاضمحلال الإشعاعي في علمي الكيمياء، والفيزياء، وفي معادلات النمو السكاني، ودراسة كيفية تغيّر درجة الحرارة بارتفاع درجة حرارة المادة، وانخفاضها،[٤] كما أنه يمكن باستخدم اللوغاريتم الطبيعي حل المعادلات الأسية المختلفة، والمثال الآتي يوضّح ذلك:[٣] مثال: ما هو حل المعادلة الأسية الآتية: 3 س²-1 = 8؟ إدخال اللوغاريتم على طرفي المساواة فإنّ: لوهـ (3س² - 1) = لوهـ 8. استخدام قواعد اللوغاريتم، وذلك كما يلي: (س²-1)×لوهـ 3 = لوهـ 8 س²-1 = لوهـ 8/لوهـ 3، وبالتالي فإنّ: س = ((لوهـ 8 / لوهـ 3)+1)√
اكتشاف العدد النيبيري
بدأت فكرة العدد النيبيري عام 1618م عندما وضع العالم نابير جدولاً يوضّح اللوغاريتمات الطبيعية لمجموعة من الأعداد، على الرغم من عدم معرفة اللوغريتمات قديماً والتفكير بها بطريقة مماثلة للوقت الحالي، وفعلياً بدأ العلماء التوصّل إلى مفهوم العدد النيبيري عندما حسب سانت فنسنت مساحة المنطقة الواقعة أسفل القطع الزائد القائم، إلا أنه لم يتوصل إلى مفهوم العدد النيبري بشكل صريح، وفي عام 1961م فهم هيجنز (Huygens) العلاقة بين اللوغاريتمات، والقطع الزائد القائم، حيث وضّح أن المساحة أسفل القطع الزائد في المنطقة التي تتراوح بين 1 إلى هـ، تعادل القيمة 1، وهي الحقيقة التي جعلت من العدد النيبيري أساس اللوغاريتم الطبيعي فيما بعد، والتي لم يتوصل إليها العلماء في ذلك الوقت.[٥] في عام 1668م استخدم نيكولاس مركاتور (Nicolaus Mercator) مفهوم اللوغاريتم الطبيعي لأول مرة، وعرّفه بأنّه اللوغاريتم الذي أساسه هو العدد النيبيري (هـ)، ولكنه وفي الوقت نفسه فشل في تحديد قيمة الثابت هـ، وفي عام 1683م حاول العالم ياكوب برنولي (Jacob Bernoulli) حلّ مسألة متعلقة بالفائدة المركبة كما حاول حساب قيمة نهاية (1+(1/ن)ن عندما تقترب ن من المالانهاية، باستخدم مبرهنة ثنائي الحد ( Binomial theorem)، ليتوصل إلى أنّ قيمة هذه النهاية تتراوح بين العددين 2، و3، وهي قيمة العدد النيبيري هـ، وبذلك يظهر أنّ تحديد قيمة العدد النيبيري (هـ) لأول مرة لم تكن عن طريق اللوغاريتمات، وإنما عن طريق حساب الفائدة المركّبة.[٥] ظهر الثابت هـ بقيمته الحقيقية لأول مرة عام 1960م عندما كتب العالم لايبنتز رسالة إلى هيجنز، وذكر القيمة الحقيقة للعدد النيبيري فيها، ولكنه لم يرمز له بالرمز (هـ) أو (e) بالإنجليزية، وإنما رمز له بالرمز (b)، وبعد ذلك تم استخدام الرمز (e) أو هـ للعدد النيبري لأول مرة في رسالة كتبها أويلر إلى غولدباج عام 1731م، والذي قام بعد ذلك بالعديد من الاكتشافات المتعلقة به خلال السنوات التالية. في عام 1748م نشر أويلر بحثاً علمياً، واستعرض فيه مفهوم العدد النيبيري، وقيمته بالضبط؛ حيث وضّح أنّ قيمته تساوي قيمة نها (ن/1+1)ن عندما تقترب ن من المالانهاية، وقرّب أويلر هذا العدد إلى 18 منزلة عشرية، لتقدر قيمته منذ ذلك الوقت بالقيمة: 2.718281828459045235.[٥]
طرق حساب العدد النيبيري
هناك عدة طرق لإيجاد قيمة العدد النيبيري، ولكنّ جميع هذه الطرق لا تعطي قيمة دقيقة لهذا العدد؛ وذلك لأن العدد النيبيري هو عدد غير نسبي، ولا نهائي، وغير دوري، ويحتاج إلى أكثر من تريليون منزلة عشرية للتعبير عنه بدقة، وهذه الطرق بيانها كالآتي:[٢] حساب العدد النيبيري باستخدام النهايات نها (1+(1/ن))ن، وكلما اقتربت قيمة ن من المالانهاية أصبحت قيمة العدد النيبيري أكثر دقة، وذلك كما يلي: ن (1+(1/ن))ن 1 2.00000 2 2.25000 5 2.48832 10 2.59374 100 2.70481 1000 2.71692 10000 2.71815 100000 2.71827
حساب العدد النيبيري باستخدام المتسلسلة قيمة العدد النيبيري = (1/ 0!) + (1 / 1!) + (1 / 2!) + (1 / 3!) + (1 / 4!) + (1 / 5!) + (1 / 6!) + (1 / 7!) + ......؛ حيث إنّ الإشارة (!) تعني مضروب، وبالتالي بإيجاد نتيجة هذه القيم ينتج أنّ: قيمة العدد النيبيري = 1+1+ (1/2) + ( 1/6) + ( 1/24) + ( 1/120) = ......2.71666 وتجدر الإشارة هنا إلى أنّ العالم أويلر نفسه استخدم هذه المتسلسلة لإيجاد قيمة العدد النيبيري؛ حيث قدّر قيمته لأقرب 18 منزلة عشرية من خلالها. خصائص العدد النيبيري يمكن تلخيص خصائص العدد النيبيري كما يلي:[٦] مقلوب العدد النيبيري يساوي نهاس←∞ (1-(1/س))س، ويساوي 1/هـ. مشتقة العدد النيبيري، ويمكن تقسيمها إلى جزأين: مشتقة العدد النيبيري المرفوع لأس متغير أي: (هـ س)َ تساوي هـ س. مشتقة اللوغاريتم الطبيعي مثل: لوهـ س تساوي 1/س. ∫ هـ س ءس = هـ س + جـ. ∫ لوهـ س ءس = (س×لوهـ س) - س + جـ. التكامل المحدود من 1 إلى هـ للاقتران ∫1/س ءس = 1، ويمكن التوصل إلى هذه النتيجة عن طريق إيجاد المساحة المحصورة بين أسفل الاقتران (1/س)، ومحور السينات في الفترة من 1 إلى هـ، ليتّضح أنها تساوي لوهـ هـ = 1.[٧]
حاول العالم أويلر ربط بعض الثوابت الرياضية المعروفة في علاقة رياضية واحدة؛ فتوصل إلى أنّ: هـ (i×π) + 1 = صفر؛ حيث إنّ:[٨]π: الثابت باي وقيمته التقريبية 3.14. i: الجذر التربيعي للعدد -1، (i =√(-1. هـ: العدد النيبيري وقيمته التقريبية = 2.71828182845.
استخدامات العدد النيبيري
يُوجد العديد من الاستخدامات للعدد النيبيري في الحياة العلمية والعملية ومن أهمّها ما يأتي:[٩] يُستخدم في الاقترانات اللوغارتمية والأسية. يستخدم في حساب الفائدة المركّبة. يُستخدم في حساب معدل اضمحلال النشاط الإشعاعي. يستخدم في العديد من المعادلات الفيزيائية المختصّة بالموجات، وأهمّها معادلات الضوء، والصوت، والكم. يُستخدم في نظرية الاحتمالات.