تويت
قانون الميل للخط المستقيم
تتعدد الأمثلة العملية حول مفهوم الميل في حياتنا اليومية، فخلال صعودك لتلٍّ ما، فقد اختبرت بالفعل مثالًا حقيقيًّا على الميل، وكلما كان التل أشد انحدارًا، سيصعب عليك الاستمرار في التحرك نحو الأعلى وستبذل جهدًا أكبر.. مع وضع هذه الحقيقة في عين الاعتبار، فإن الميل هو مقياسٌ لدرجة انحدار الخط واتجاهه. سنتعرف في هذا المقال على قانون الميل للخط المستقيم..
ميل الخط المستقيم (The Slope Of The Line)
الميل من أهم خصائص الخط المستقيم، ويُرمز له بالحرف (m)، يصف الميل مدى انحدار هذا الخط المستقيم عن المحور الأفقي (محور السينات أو محور X) سواءً اتجه نحو الأعلى أو انخفض.
قانون الميل للخط المستقيم
تتعدد الطرق التي يمكن من خلالها التعبير عن ميل الخط المستقيم:
إيجاد قانون الميل بتحديد نقطتين من مستقيم
يمكن إيجاد قانون الميل للخط المستقيم من خلال تحديد نقطتين على الأقل مثل (x1,y1) و(x2, y2)، يمر بهما هذا المستقيم، وذلك بتطبيق القانون التالي:
m = Δy/Δx = (y2-y1)/(x2-x1)
خطوات حساب ميل الخط المستقيم في هذه الطريقة:
مثال: لنفترض أن النقطتين (15،8) و (10،7) تنتميان إلى خط مستقيم، فما هو ميل هذا الخط؟
في المثال لدينا نقطتان (15،8) و(10،7)، نحدد إحداهما لتكون النقطة الأولى (A (x1,y1 والثانية النقطة B (x2, y2)، لنفترض بأن الثانية (B (15،8، والأولى (A (10،7 أخيرًا نعوّض في قانون ميل الخط المستقيم.
m = Δy/Δx = (8-7)/(15-10)= 1/5
في حال بدّلنا النقاط، أي كانت النقطة الثانية (10،7)، والأولى (15،8)، فهل سيختلف الميل؟
بالتعويض في قانون الميل نجد:
m = Δy/Δx =(7-8)/(10-15)=(-1)/(-5)= 1/5
لا توجد قاعدةٌ تشير إلى النقطة التي يجب أن تعينها كنقطةٍ أولى أو نقطةٍ ثانية، ما دمت تطرح القيم (قيم x وy) بالترتيب نفسه، ستحصل حتمًا على نفس الإجابة..
ويمكننا تعريف ميل الخط المستقيم (m) هنا أيضًا على أنه حاصل قسمة الارتفاع على المدى، حيث أن الارتفاع هو التغير العمودي (الرأسي) ما بين نقطتين، أما المدى فهو التغير الأفقي ما بين نقطتين:.
m= Δy/Δx = (y2-y1)/(x2-x1) = (المدى)/(الارتفاع)
إيجاد قانون الميل باستخدام ظل الزاوية
يمكن التعبير عن قانون الميل كزاويةٍ بالدرجات أو الراديان، وهي الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم ومحور السينات (محور X) ويُرمز لها Q، وذلك حسب القانون:.
الميل = ظل الزاوية
(m = tan(Q
الزاوية التي يشكلها المستقيم مع محور السينات
استخراج الميل من معادلة الخط المستقيم
يمكن استخراج الميل من معادلة الخط المستقيم y = mx + b مباشرةً حيث:.
تُسمى المعادلات من هذا النوع، والتي لا تحتوي على أُس (x2 مثلًا)، المعادلات الخطية"، لأنها تُرسم دائمًا كخطوطٍ مستقيمةٍ، كما تفيد المعادلة في تحديد النقاط التي تقع على الخط، فمثلًا، الخط المستقيم ذو المعادلة 12+y = 2x النقطة منه التي لها إحداثي x يساوي 4، بالتعويض بالمعادلة يمكن إيجاد إحداثي y لها وهو 20:
12 + y = 2x
12 + (y = 2(4
y = 8 + 12 = 20
حالات ميل الخط المستقيم مع أمثلة
ميل الخط المستقيم موجب
يكون الميل الموجب عندما تترافق الزيادة في قيم الإحداثيات X للنقط المكونة للمستقيم، مع الزيادة في قيم الإحداثيات Y، وفي هذه الحالة، فإن الخط ينحدر نحو الأعلى عند النظر إليه من اليسار إلى اليمين.
مثال: لنفترض أن النقطتين (5،17) و(3-،0) تقعان على خط مستقيم، فما هو ميل هذا الخط؟
الحل: النقطة 1: (5،17)، النقطة 2: (3-،0)، ومن قانون الميل نجد:
m = Δy/Δx = (-3-17)/(0-5)= (-20)/(-5)= 4
ميل الخط المستقيم سالب
يكون الميل سالبًا عندما تترافق الزيادة في قيم الإحداثيات X للنقط المكونة للمستقيم، مع النقص في قيم الإحداثيات Y وفي هذه الحالة فإن الخط ينحدر نحو الأسفل عند النظر إليه من اليسار إلى اليمين.
مثال: لنفترض أن النقطتين (-5،-11) و(12-،1) تقعان على خطٍ مستقيمٍ، فما هو ميل هذا الخط؟
الحل: النقطة 1: (-5،-11) النقطة 212-،1)، بتطبيق قانون الميل نجد:
m = Δy/Δx =(-12-(-5))/(1-(-11) =(-7)/12
ميل الخط المستقيم مساوٍ للصفر
في هذه الحالة، يبدو المستقيم كخطٍ أفقيٍّ يوازي محور السينات، لا يوجد له انحدار نحو الأعلى أو الأسفل.
مثال: لنفترض أن النقطتين (1،1) و (1،-4) تقعان على خط مستقيم، فما هو ميل هذا الخط؟
الحل: النقطة 1: (1،1) ، النقطة 2: (1،-4)، ومن قانون الميل يكون:
m = Δy/Δx =(1-1)/(-4-1)= 0/(-5) = 0
ميل الخط المستقيم قيمة غير مُعرفة
في هذه الحالة، يبدو المستقيم كخطٍ عموديٍّ على محور السينات.
مثال: لنفترض أن النقطتين (5،16) و(5،5) تقعان على خط مستقيم. فما هو ميل هذا الخط؟
الحل: النقطة 1 (5،5)، والنقطة 2 (5،16)، ومن قانون الميل نجد:
m =Δy/Δx =(16-5)/(5-5) = 11/0 = undefined
بما أننا لا نستطيع القسمة على صفر فلا يمكن إيجاد الميل، لذا فإن جميع الخطوط العمودية (الرأسية) ليس لها ميلٌ أو يمكننا القول بأن ميلها ذو قيمةٍ غير مُعرفةٍ (Undefined)..
حالات ميل الخط المستقيم
الأسئلة الشائعة عن قانون الميل للخط المستقيم
ما هو قانون ميل الخط المستقيم؟
يمكن التعبير عن قانون ميل الخط المستقيم، كزاويةٍ بالدرجات أو الراديان، وهي الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم ومحور السينات (محور X) ويُرمز لها Q، وذلك حسب القانون التالي: (الميل = ظل الزاوية) أي (m = tan(Q.
ما هي معادلة الخط المستقيم؟
توجد لكل خط مستقيم علاقة تربط بين إحداثيات محور الـ X ومحور الـ Y للنقط الواقعة عليه وتسمى هذه العلاقة باسم معادلة الخط المستقيم ونكتبها بأبسط هيئة على الشكل التالي: Y = A X + B حيث A,B عددان حقيقيان نسبيان.
كيف تكتب معادلة الخط المستقيم؟
توجد لكل خط مستقيم علاقة تربط بين إحداثيات محور الـ X ومحور الـ Y للنقط الواقعة عليه وتسمى هذه العلاقة باسم معادلة الخط المستقيم ونكتبها بأبسط هيئة على الشكل التالي: Y = A X + B حيث A,B عددان حقيقيان نسبيان.
كم يساوي الخط المستقيم؟
الميل من أهم خصائص الخط المستقيم، ويُرمز له بالحرف (m)، يصف الميل مدى انحدار هذا الخط المستقيم عن المحور الأفقي (محور السينات أو محور X) سواءً اتجه نحو الأعلى أو انخفض. وتكون زاوية الخط المستقيم أو ما يعرف بالزاوية المستقيمة بقياس 180 درجة.
تتعدد الأمثلة العملية حول مفهوم الميل في حياتنا اليومية، فخلال صعودك لتلٍّ ما، فقد اختبرت بالفعل مثالًا حقيقيًّا على الميل، وكلما كان التل أشد انحدارًا، سيصعب عليك الاستمرار في التحرك نحو الأعلى وستبذل جهدًا أكبر.. مع وضع هذه الحقيقة في عين الاعتبار، فإن الميل هو مقياسٌ لدرجة انحدار الخط واتجاهه. سنتعرف في هذا المقال على قانون الميل للخط المستقيم..
ميل الخط المستقيم (The Slope Of The Line)
الميل من أهم خصائص الخط المستقيم، ويُرمز له بالحرف (m)، يصف الميل مدى انحدار هذا الخط المستقيم عن المحور الأفقي (محور السينات أو محور X) سواءً اتجه نحو الأعلى أو انخفض.
قانون الميل للخط المستقيم
تتعدد الطرق التي يمكن من خلالها التعبير عن ميل الخط المستقيم:
إيجاد قانون الميل بتحديد نقطتين من مستقيم
يمكن إيجاد قانون الميل للخط المستقيم من خلال تحديد نقطتين على الأقل مثل (x1,y1) و(x2, y2)، يمر بهما هذا المستقيم، وذلك بتطبيق القانون التالي:
m = Δy/Δx = (y2-y1)/(x2-x1)
خطوات حساب ميل الخط المستقيم في هذه الطريقة:
- قم بتحديد نقطتين على الخط، أو استخدم النقاط المعطاة على أنها نقاطٌ تنتمي إلى الخط المستقيم المراد حساب ميله.
- اختر إحداهما لتكون النقطة الأولى (A (x1, y1 ، وتكون الثانية النقطة (B (x2, y2.
- استخدم قانون الميل للخط المستقيم لحساب الميل.
مثال: لنفترض أن النقطتين (15،8) و (10،7) تنتميان إلى خط مستقيم، فما هو ميل هذا الخط؟
في المثال لدينا نقطتان (15،8) و(10،7)، نحدد إحداهما لتكون النقطة الأولى (A (x1,y1 والثانية النقطة B (x2, y2)، لنفترض بأن الثانية (B (15،8، والأولى (A (10،7 أخيرًا نعوّض في قانون ميل الخط المستقيم.
m = Δy/Δx = (8-7)/(15-10)= 1/5
في حال بدّلنا النقاط، أي كانت النقطة الثانية (10،7)، والأولى (15،8)، فهل سيختلف الميل؟
بالتعويض في قانون الميل نجد:
m = Δy/Δx =(7-8)/(10-15)=(-1)/(-5)= 1/5
لا توجد قاعدةٌ تشير إلى النقطة التي يجب أن تعينها كنقطةٍ أولى أو نقطةٍ ثانية، ما دمت تطرح القيم (قيم x وy) بالترتيب نفسه، ستحصل حتمًا على نفس الإجابة..
ويمكننا تعريف ميل الخط المستقيم (m) هنا أيضًا على أنه حاصل قسمة الارتفاع على المدى، حيث أن الارتفاع هو التغير العمودي (الرأسي) ما بين نقطتين، أما المدى فهو التغير الأفقي ما بين نقطتين:.
m= Δy/Δx = (y2-y1)/(x2-x1) = (المدى)/(الارتفاع)
إيجاد قانون الميل باستخدام ظل الزاوية
يمكن التعبير عن قانون الميل كزاويةٍ بالدرجات أو الراديان، وهي الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم ومحور السينات (محور X) ويُرمز لها Q، وذلك حسب القانون:.
الميل = ظل الزاوية
(m = tan(Q
الزاوية التي يشكلها المستقيم مع محور السينات
استخراج الميل من معادلة الخط المستقيم
يمكن استخراج الميل من معادلة الخط المستقيم y = mx + b مباشرةً حيث:.
- x ،y: إحداثيات أي نقطةٍ على الخط.
- m: ميل الخط المستقيم.
- b: التقاطع (حيث يتقاطع الخط مع المحور العينات (المحور Y)).
تُسمى المعادلات من هذا النوع، والتي لا تحتوي على أُس (x2 مثلًا)، المعادلات الخطية"، لأنها تُرسم دائمًا كخطوطٍ مستقيمةٍ، كما تفيد المعادلة في تحديد النقاط التي تقع على الخط، فمثلًا، الخط المستقيم ذو المعادلة 12+y = 2x النقطة منه التي لها إحداثي x يساوي 4، بالتعويض بالمعادلة يمكن إيجاد إحداثي y لها وهو 20:
12 + y = 2x
12 + (y = 2(4
y = 8 + 12 = 20
حالات ميل الخط المستقيم مع أمثلة
ميل الخط المستقيم موجب
يكون الميل الموجب عندما تترافق الزيادة في قيم الإحداثيات X للنقط المكونة للمستقيم، مع الزيادة في قيم الإحداثيات Y، وفي هذه الحالة، فإن الخط ينحدر نحو الأعلى عند النظر إليه من اليسار إلى اليمين.
مثال: لنفترض أن النقطتين (5،17) و(3-،0) تقعان على خط مستقيم، فما هو ميل هذا الخط؟
الحل: النقطة 1: (5،17)، النقطة 2: (3-،0)، ومن قانون الميل نجد:
m = Δy/Δx = (-3-17)/(0-5)= (-20)/(-5)= 4
ميل الخط المستقيم سالب
يكون الميل سالبًا عندما تترافق الزيادة في قيم الإحداثيات X للنقط المكونة للمستقيم، مع النقص في قيم الإحداثيات Y وفي هذه الحالة فإن الخط ينحدر نحو الأسفل عند النظر إليه من اليسار إلى اليمين.
مثال: لنفترض أن النقطتين (-5،-11) و(12-،1) تقعان على خطٍ مستقيمٍ، فما هو ميل هذا الخط؟
الحل: النقطة 1: (-5،-11) النقطة 212-،1)، بتطبيق قانون الميل نجد:
m = Δy/Δx =(-12-(-5))/(1-(-11) =(-7)/12
ميل الخط المستقيم مساوٍ للصفر
في هذه الحالة، يبدو المستقيم كخطٍ أفقيٍّ يوازي محور السينات، لا يوجد له انحدار نحو الأعلى أو الأسفل.
مثال: لنفترض أن النقطتين (1،1) و (1،-4) تقعان على خط مستقيم، فما هو ميل هذا الخط؟
الحل: النقطة 1: (1،1) ، النقطة 2: (1،-4)، ومن قانون الميل يكون:
m = Δy/Δx =(1-1)/(-4-1)= 0/(-5) = 0
ميل الخط المستقيم قيمة غير مُعرفة
في هذه الحالة، يبدو المستقيم كخطٍ عموديٍّ على محور السينات.
مثال: لنفترض أن النقطتين (5،16) و(5،5) تقعان على خط مستقيم. فما هو ميل هذا الخط؟
الحل: النقطة 1 (5،5)، والنقطة 2 (5،16)، ومن قانون الميل نجد:
m =Δy/Δx =(16-5)/(5-5) = 11/0 = undefined
بما أننا لا نستطيع القسمة على صفر فلا يمكن إيجاد الميل، لذا فإن جميع الخطوط العمودية (الرأسية) ليس لها ميلٌ أو يمكننا القول بأن ميلها ذو قيمةٍ غير مُعرفةٍ (Undefined)..
حالات ميل الخط المستقيم
الأسئلة الشائعة عن قانون الميل للخط المستقيم
ما هو قانون ميل الخط المستقيم؟
يمكن التعبير عن قانون ميل الخط المستقيم، كزاويةٍ بالدرجات أو الراديان، وهي الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم ومحور السينات (محور X) ويُرمز لها Q، وذلك حسب القانون التالي: (الميل = ظل الزاوية) أي (m = tan(Q.
ما هي معادلة الخط المستقيم؟
توجد لكل خط مستقيم علاقة تربط بين إحداثيات محور الـ X ومحور الـ Y للنقط الواقعة عليه وتسمى هذه العلاقة باسم معادلة الخط المستقيم ونكتبها بأبسط هيئة على الشكل التالي: Y = A X + B حيث A,B عددان حقيقيان نسبيان.
كيف تكتب معادلة الخط المستقيم؟
توجد لكل خط مستقيم علاقة تربط بين إحداثيات محور الـ X ومحور الـ Y للنقط الواقعة عليه وتسمى هذه العلاقة باسم معادلة الخط المستقيم ونكتبها بأبسط هيئة على الشكل التالي: Y = A X + B حيث A,B عددان حقيقيان نسبيان.
كم يساوي الخط المستقيم؟
الميل من أهم خصائص الخط المستقيم، ويُرمز له بالحرف (m)، يصف الميل مدى انحدار هذا الخط المستقيم عن المحور الأفقي (محور السينات أو محور X) سواءً اتجه نحو الأعلى أو انخفض. وتكون زاوية الخط المستقيم أو ما يعرف بالزاوية المستقيمة بقياس 180 درجة.