لنتعرف .. كيفية ترتيب العمليات الحسابية (مع أمثلة مشروحة)

ترتيب العمليات الحسابية (مع أمثلة مشروحة)



قبل أن نبدأ بصلب موضوعنا، ألا وهو ترتيب العمليات الحسابية في الرياضيات، أريد أن أطرح عليك سؤالًا عزيزي القارئ، ماذا لو صادفتك المسألة الرياضية التالية أدناه، هل يمكنك توقع الإجابة؟

1 + 5 * 2 - 12

ستعتمد الإجابة على الترتيب الذي تحل به هذه المسألة، فإذا قمت بمعالجتها من اليسار إلى اليمين بالترتيب، فستكون الإجابة 51 وهي إجابة خاطئة:

1 + 5 * 2 - 12

1 + 5* 10 =


1 + 50 =

51 =

ماذا لو بدأت الحل بالاتجاه المعاكس من اليمين إلى اليسار، فستكون الإجابة صفرًا وهي أيضًا إجابة خاطئة:

1 + 5 * 2 - 12

6 * 2 - 12 =

12 - 12 =

0 =

حتمًا ستتغير النتيجة فيما لو استخدمت المبادئ الرياضية المتعلقة بقوانين ترتيب العمليات الحسابية فمثلًا، بدأت بعملية الضرب ثم أتبعتها بالطرح والجمع، فإن الإجابة ستكون 3 وهي الإجابة الصحيحة:

1 + 5 * 2 - 12

1 + 10 - 12 =

2+1 =

3 =

يبدو أن 3 هي الإجابة الصحيحة، لأنها الإجابة الناتجة عن اتباع الترتيب الصحيح للعمليات الحسابية. سنتعرف في هذه المقالة على القواعد التي تحدد ترتيب العمليات الحسابية الصحيح، مع بعض الأمثلة لتبسيطها.

ما هو ترتيب العمليات الحسابية


مجموعةٌ من القواعد الواجب اتباعها عند حل أي مسألةٍ رياضيةٍ، مما يسمح بالحصول على إجابةٍ واحدةٍ صحيحةٍ، عندما تتم عملية الحساب وفق الترتيب التالي:

1. الأقواس (Parentheses).
2. الأس (Exponents).
3. الضرب والقسمة (Multiplication and Division).
4. الجمع والطرح (Addition and Subtraction).

لاحظ أن الضرب والقسمة مدرجان معًا في نفس البند، فإذا صادف وجود الضرب والقسمة في ذات العملية الحسابية، تكون القاعدة هي الانتقال من اليسار إلى اليمين، والأمر نفسه ينطبق على الجمع والطرح .

يميل العديد من الأشخاص إلى حفظ ترتيب العمليات الحسابية من خلال ربطها بالكلمة "PEMDAS"، حيث يشير الحرف "P" إلى الأقواس (Parentheses)، بينما يشير الحرف "E" إلى الأسس (Exponents)، والحرف"M" إلى الضرب (Multiplication)، والحرف "D" إلى القسمة (Division)، أما الحرف"A" إلى الجمع (Addition)، والحرف "S" إلى الطرح (Subtraction).

حفظ ترتيب العمليات الحسابية من خلال ربطها بكلمة "PEMDAS"
أمثلة عن ترتيب العمليات الحسابية


المثال الأول


لنلقِ نظرةً على المثال التالي، قد يبدو للوهلة معقدًا، لكنه في حقيقة الأمر يمثل عمليةً حسابيةً بسيطةً فيما لو تم حلّها باستخدام الترتيب الصحيح للعمليات الحسابية.

4 ÷ 2 * 3 + (4 + 6 * 2) + 18÷ 3² - 8

1. نبدأ بالعمليات الواردة بين الأقواس، فإذا كان هناك أكثر من مجموعةٍ واحدةٍ من الأقواس، لا بد من حلّ تلك الموجودة على اليسار أولًا، في مثالنا، لدينا مجموعةٌ واحدةٌ فقط الأقواس.

• في الأقواس، سنتبع ترتيب العمليات الحسابية تمامًا كما نفعل مع أي جزءٍ آخر من المسألة. في هذا القوس لدينا عمليتان: الجمع والضرب، نظرًا لأن الضرب له أولوية على الجمع، فسنبدأ بضرب 6 * 2، الناتج 12 ونضيف 4 فيكون ناتج ما بين القوسين 16.

8 - 3² ÷ 18 +16+ 3 * 2 ÷4

1. الخطوة التالية هي حل الأسس (3²) يساوي 9.

8 - 9 ÷ 18 +16+ 3 * 4/2

1. ننتقل لعمليات الضرب و القسمة، لا يأتي الضرب بالضرورة قبل القسمة أو العكس، إنما يتم حل هذه العمليات من اليسار إلى اليمين. نبدأ من اليسار بحل 2÷ 4 يساوي 2، ثم نضرب بـ3 والناتج يساوي 6.

8 - 9 ÷ 18 + 16+ 6

• نحسب 9÷18 ويساوي 2.

8 - 2 + 16 + 6

1. ننتقل للمرحلة الأخيرة الجمع والطرح، لا يأتي الجمع بالضرورة قبل الطرح أو العكس، إنما يتم حل هذه العمليات من اليسار إلى اليمين. (6 + 16) يساوي 22، يُضاف لها 2 فتساوي 24، أخيرًا يُطرح منها 8، فتساوي 16.

22+2-8

16=24-8

وبذلك فإن:

16= 8 - 3² ÷ 18 + (2*6 + 4) + 3 * 2 ÷4

المثال الثاني


7- 3 ÷ (5+4) * 6 + 3

1. نبدأ بالعمليات الواردة ضمن الأقواس (5+4) وتساوي 9.

7- 3 ÷ 9 * 6+ 3

1. ننتقل لعمليات الضرب والقسمة، لا يأتي الضرب بالضرورة قبل القسمة أو العكس، إنما يتم حل هذه العمليات من اليسار إلى اليمين. (9 * 6) وتساوي 54.

7 - 3 ÷ 3+54

• (3 ÷ 54) وتساوي 18.

3+18-7

1. ننتقل للمرحلة الأخيرة الجمع والطرح، لا يأتي الجمع بالضرورة قبل الطرح أو العكس، إنما يتم حل هذه العمليات من اليسار إلى اليمين. (3 + 18) ويساوي 21 يُطرح منها 7 ليكون الناتج 14.

14 =21-7

وبذلك فإن:

14 =7- 3÷ (5+4)* 6 + 3

المثال الثالث


(2*9)+3 ÷ 20-6

1. نبدأ بحل العملية الواردة بين الأقواس، وهي ضرب (2*9) ويساوي 18.

18 +3 ÷ 20-6

1. نظرًا لغياب الأسس، ننتقل لحل عملية القسمة حسب ترتيب العمليات الحسابية (3 ÷ 6) ويساوي 2.

20-2+18

1. ننتقل للمرحلة الأخيرة وهي الجمع والطرح، ويتم حل هذه العمليات من اليسار إلى اليمين. 20-2 يساوي 18، ويُضاف لها 18 يساوي 36.

36 =18+18

وبذلك فإن:

36=(2*9)+3 ÷ 20-6

المثال الرابع


2*12 +6 ÷ 48 - 25

1. نبدأ بعمليات الضرب والقسمة، و يتم حل هذه العمليات بالترتيب من اليسار إلى اليمين.

• 6 ÷ 48 وتساوي 8، 2*12 وتساوي 24.

24 + 8 - 25

1. أخيرًا عمليات الطرح والجمع، ويتم حل هذه العمليات بالترتيب من اليسار إلى اليمين.

• 25-8 ويساوي 17، يُضاف لها 24.

41 = 24 + 17

وبذلك فإن:

41 = 2*12 +6 ÷ 48 - 25