تعلموا كيفية استخدام المعادلات.الدوال.معادلات خطية

استخدام المعادلات
الدوال
حل المعادلات الخطية في متغيرين
معادلات الدرجة الثانية في متغير واحد
نبذة تاريخية
استخدام المعادلات


الدوال:

تعتمد الكمية التي تستهلكها طائرة من الوقود على سرعتها. وتعتمد قيمة الطوابع اللازمة لوضعها على طرد بريدي على وزن الطرد. وفكرة اعتماد شيء على شيء آخر من الأفكار المهمة في الرياضيات، وتسمى علاقة بين شيء وآخر. وتسمى العلاقات بين متغيرات في الجبر بالدوال. فالدالة بين متغير وآخر تعني أن قيمة أحد المتغيرين تعتمد على قيمة الآخر.



ويمكن توضيح فكرة الدالة عن طريق تقديم أمثلة مألوفة. لنفرض وجود أساس من الإسمنت يرتفع 16 سم فوق سطح الأرض، وأننا نريد أن نبني 6 طبقات من الحجر فوق هذا الأساس بحيث يكون ارتفاع كل منها 8 سم. في كل مرة ننتهي من بناء طبقة تحدث زيادة في الارتفاع الكلي.

لنرمز لعدد الطبقات بالرمز س وللارتفاع بالرمز ص. يوضح الجدول التالي العلاقة بين عدد الطبقات والارتفاع:

وباستطاعتنا التعبير عن هذا الجدول بالرسم البياني.

لنفرض أننا نقيس قيم س و ص على خطين مثل المسطرة. أحد هذين الخطين أفقي ويمثل قيم س، والآخر رأسي ويمثل قيم ص. نسمي هذين الخطين محوري الإحداثيات ونقوم الآن بتمثيل كل زوج من قيم الجدول بنقطة على المنحنى ذي 7 نقاط.



ويمكن كتابة معادلة تصف هذا الخط من النقاط، وهذه المعادلة هي ص = 8 س + 16. فمثلاً إذا كانت س = 2 فإن ص = 8(2) + 16 = 32. وإذا كانت س = 5 فإن ص = 8 (5) + 16 = 56. من السهل أن نرى كيف تتوافق هذه المعادلة مع القيم الموجودة في الجدول. إن مجال ص في هذه المعادلة هو مجموعة الأعداد }صفر، 1، 2، 3، 4، 5، 6 {. وتسمى مجموعة قيم ص بمدى ص، وهي مجموعة الأعداد{64، 56، 48، 40، 32، 24، 16}. وفي الرياضيات، تعرف العلاقة بين مجموعتين من الأعداد على أنها مجموعة من الأزواج المرتبة. وتكتب هذه المجموعة كالتالي:



}(س، ص) (صفر، 16)، (1، 24)، (2، 32)، (3، 40)، ...، (6، 64){ .

هذه المجموعة من الأزواج المرتبة دالة. وتسمى دالة متقطعة لأننا لانستطيع تمثيلها بخط متصل. لاحظ أن هذه الدالة ممثلة بنقاط في الرسم أمامنا.

ليكن لدينا حوض للأحياء المائية ارتفاعه 36 سم ويرتفع قاعه بمقدار 20 سم عن الأرض، ولنفرض أنه عند صب الماء في الحوض يزيد ارتفاع سطح الماء بمقدار 4 سم كل دقيقة. هذا يعني أن ارتفاع الماء عن الأرض يعتمد على الزمن الذي ينسكب فيه الماء. لنرمز لعدد دقائق انسكاب الماء بالرمز س ولارتفاع الماء عن الأرض بالرمز ص. الجدول التالي يعطينا بعض قيم س و ص



إذا مثلنا هذه العلاقة على الرسم باستخدام الإحداثيات فإننا نحصل على مستقيم متصل وذلك لأن ارتفاع ص يتزايد تزايداً متصلاً.



والمعادلة التي تمثل هذا الخط المستقيم هي: ص = 4 س + 20. فإذا كانت س = 2 مثلا فإن ص = 4 (2) + 20 = 28، ومن السهل أن نرى كيف تتوافق هذه المعادلة مع القيم الموجودة في الجدول. إن مجال ص هو جميع الأعداد بين صفر و 9 ومدى ص هو جميع الأعداد بين 20 و 56 وتسمى هذه الدالة بالدالة الخطية لأنها متصلة ويمكن تمثيلها بخط مستقيم. أما المعادلة ص = 4 س+ 20 فتسمى معادلة خطية. وتعتبر دراسة المعادلات الخطية من بين أكثر المواضيع أهمية في الجبر.


حل المعادلات الخطية في متغيرين:

المعادلة ص = 4 س + 20 معادلة خطية، ومن الخط المتصل الذي يمثل هذه المعادلة نستنتج أن لهذه المعادلة حلولاً عديدة، أي أنه يوجد عدد كبير من الأزواج المرتبة التي تجعل ص = 4 س + 20 تقريراً صائباً. ويظهر في هذه المعادلة متغيران س و ص. وبما أن للمعادلات الخطية حلولاً كثيرة فإننا نضع في الغالب بعض القيود على هذه الحلول، لأنه في بعض الأحيان نستخدم هذه المعادلات لإيجاد حلول لمسائل تطبيقية. ولكي يتم ذلك فلا بد من إيجاد وسيلة نقصر بها حلول المعادلة على حل واحد فقط. وإحدى الطرق المستخدمة هي أن نجد معادلتين تكونان صائبتين لزوج مرتب واحد فقط. وهناك طريقة أخرى تستخدم فيها معادلة واحدة لكن مع حصر الحلول في الأعداد الصحيحة الموجبة.



ولتوضيـح الطـريقة الأولى نأخذ المعادلتين 2 ص = س + 4 و ص + س = 5. نستخدم الرسم البياني لحل هاتين المعادلتين ولكن ننشىء أولا جدولا يحتوي قيماً لبعض حلول كل من المعادلتين . نعين هذه القيم على الرسم البياني، ثم نرسم الخط الذي يمثل كل معادلة من هاتين المعادلتين. نجد أن الخطين يتقاطعان في نقطة، ونقطة تقاطعهما تمثل مجموعة حل المعادلتين معًا. وهذه النقطة هي (2، 3). أي أن قيمة س هي 2 وقيمة ص هي 3. هاتان القيمتان فقط هما قيمتا س و ص اللتان تعطيان حلاً للمعادلتين معاً. نستطيع أيضاً أن نجد حلاً لمعادلتين خطيتين بطريقة حذف أحد المتغيرين. وهذه الطريقة تنتج لنا معادلة واحدة تحتوي على متغير واحد. نستخدم المعادلتين 2 ص = س + 4 و ص + س = 5 لتوضيح هذه الطريقة. هناك عدة طرق لحذف متغير، ونستخدم هنا طريقة تعرف بطريقة التعويض. ونستخدم إحدى المعادلتين لنضع ص بدلالة س ولتكن ص + س = 5. إذن ص = 5 - س. نعوض الآن عن ص في المعادلة الثانية 2 ص = س + 4 لنحصل على 2 (5 - س) = س + 4. ولتبسيط هذه المعادلة نجد أن 10 - 2 س = س + 4، أي 3 س = 6 ومنها س = 2. نعوض الآن عن قيمة س في أي من المعادلتين ونوجد قيمة ص فنحصل على ص = 3. 2ص = 2+4 وص + 2 = 5 وبالتالي فإن مجموعة الحل هي {(3 ،2)} .

من الممكن أيضاً أن نجد حلول معادلة في متغيرين بقصر مجموعة الحل على الأعداد الصحيحة الموجبة. ويمكن توضيح ذلك بالمثال التالي: اشترى رجل عدداً من الديوك الرومية والبط. إذا كان وزن كل ديك رومي 5 كجم ووزن كل بطة 2 كجم، ومجموع ما اشتراه الرجل 31 كجم، فما عدد الطيور التي اشتراها من كل نوع ؟



لنفرض أن س يمثل عدد الديوك الرومية و 5 س وزنها، ولنفرض أن ص يمثل عدد البط و 2 ص وزنها. ومن ثم يمكن صياغة المسألة على صورة المعادلة 5 س + 2ص = 31. من الواضح أن كلاً من س و ص يجب أن يكون عدداً صحيحًا موجباً لأننا لانستطيع شراء جزء من طير. وبما أن 2 ص عدد زوجي فإن س يجب أن يكون عدداً فردياً. وبالتعويض عن س بقيم فردية نجد أن مجموعة حل المعادلة هي:

{(3،5) ، (8،3) ، (13،1)}. أي أن الرجل يمكن أن يشتري: ديكاً رومياً واحداً و 13 بطة

أو 3 ديوك رومية و 8 بطات

أو 5 ديوك رومية و 3 بطات.

لاحظ أنه لايمكن التعويض عن س بالعدد 7 لأن قيمة ص حينئذ تكون - 2. ★ تَصَفح: المحدد. لمعرفة طريقة أخرى لحل المعادلات في متغيرين.


معادلات الدرجة الثانية في متغير واحد:

معادلة الدرجة الثانية (المعادلة التربيعية) هي معادلة يكون المتغير فيها مربعاً. فمثلاً س² - 8س = -16 معادلة من الدرجة الثانية في متغير واحد، نستطيع دائماً أن نضع معادلة الدرجة الثانية على الصورة:



أ س² + ب س + جـ = صفر

وتسمى القيم أ ،ب، جـ المعاملات وهي قيم ثابتة معلومة و س متغيرًا مجهولاً، وأبسط صورة لهذه المعادلة هي المعادلة التي يكون فيها أ = 1 وب =صفر. فمثلاً إذا كان أ=1، ب=صفر وجـ =-36 فإن المعادلة تأخذ الصورة س² -36 = صفر. أي أن س² = 36 ومجموعة الحل هي ( -6، 6 ).

أما إذا كان ب لا يساوي صفرًا، فإن هناك ثلاث طرق لحل معادلة الدرجة الثانية.

الطريقة الأولى هي تحليل المعادلة بعد وضعها على الصورة

أ س²+ ب س + جـ = صفر. فمثلاً لحل س² + 8س + 15 = صفر، نحلل الطرف الأيمن لهذه المعادلة:

س² + 8س +15=(س + 3) (س + 5). ومن ثم فإن (س+3) (س+5) =صفر. لاحظ أنه إذا كان حاصل ضرب عددين يساوي صفرًا، فإنه إما أن يكون الأول صفراً أو الثاني صفرًا. وإذا كان س+5=صفر فإن س=-5 وبالمثل إذا كان س + 3 = صفر فإن س = -3. إذن مجموعة حل المعادلة س² + 8 س+15=صفر هي {5-، 3-}.

الطريقة الثانية لحل المعادلة تعرف بطريقة إكمال المربع. تسمى الصيغة أ²+2أ ب+ب² بالمربع الكامل لأننا نستطيع كتابتها على الصورة ( أ + ب)².

نستطيع دائماً أن نضع أية معادلة من الدرجة الثانية مثل س² + 8 س + 15 = صفر بحيـث يكـون الطــرف الأيمن مربعاً كامـلاً. ولرؤية ذلك نعيـد كتابة المعادلـة س²+ 8 س + 15 = صفر لتصبح س² + 8س= -15. نعلم أن س² + 8 س +16 مربع كامل لأنـنا نستطيـع أن نكتبـه على الصـورة (س + 4)². إذن نضيف 16 لطرفي المعادلة س² + 8 س = -15. ولنحصل على س² + 8س + 16 = -15 + 16. بالتحليل نحصل على (س + 4)² =1. ويسمى أحد العاملين المتساويين الجذر التربيعي . ★ تَصَفح: الجذر التربيعي. وفي المعادلـة (س + 4)² = 1 نجــد أن س + 4 هو الجذر التربيعي للعدد 1، ولكن الجذر التربيعي للعدد 1 هو العدد 1 أو العدد - 1. إذن س + 4 = 1 أو س + 4 = - 1، أي س = - 3 أو س = - 5. وبالتالي فإن مجموعة الحل للمعادلة س² + 8 س + 15 = صفر هي {5-، 3-}.

أما الطريقة الثالثة لحل المعادلة من الدرجة الثانية في متغير واحد فتتمُّ باستخدام قانون في الرياضيات هو:

حيث نحصل على المعاملات أ، ب، جـ من المعادلة من الدرجة الثانية التي تكون على الصورة أ س² + ب س + جـ = صفر. و بتعويض هذه القيم في المعادلة نستطيع أن نجد قيم س. الرمز + في القانون يعني اختيار الإشارة الموجبة مرة والسالبة مرة أخرى. وهذا يعني أننا نحصل دائمًا على جذرين للمعادلة.


نبذة تاريخية


استخدم الصينيون والفرس والهنود الجبر قبل آلاف السنين، ومن المحتمل أيضا أن يكون البابليون قد عرفوا شيئًا من الجبر. وأول دليل على استخدام الجبر يعود للرياضي المصري أحمس الذي عاش نحو عام 1700 ق.م، أو قبل ذلك. وبعد ذلك بقرون طويلة ساهم الإغريق في تطور الجبر، حيث استخدم الرياضي الإغريقي ديوفانتوس الذي عاش في القرن الثالث الميلادي معادلات الدرجة الثانية ورموزاً لكميات غير معلومة. ولقد أطلق على ديوفانتوس لقب أبي الجبر.

لقد كان للعرب مساهمة كبيرة في تطور الجبر، حيث استخدموا الإشارات الموجبة والسالبة، وطوروا الكسور بصورة مقاربة جداً لما هي عليه الآن. فقد اخترع العرب الصفر في القرن التاسع الميلادي، ويعتبر ذلك من أعظـم التطورات في تاريخ الرياضيات. وبين عامي 813 و 833م جمع العالم الرياضي الخوارزمي الذي كان مدرساً للرياضيات في بغداد أعمال الرياضيين الهنود والعرب في مادة الجبر وطورها. وقد أخذت كلمة الجبر التي تعني التعويض بمفهوم حل المعادلات من عنوان كتاب الخوارزمي المشهور الجبر والمقابلة. وقدم الخوارزمي في هذا الكتاب حلولاً هندسية وجبرية لمسائل طرحها الإغريق، وقد قصد الخوارزمي بالجبر ¸نقل الحدود من أحد طرفي المعادلة إلى الطرف الآخر، وقصد بالمقابلة اختصار ما يمكن اختصاره بعد عملية الجبر ثم إيجاد نتيجة المعادلة·. وقد أطلق على المجهول س اسم الجذر وعلى س² اسم مال وعلى س§ اسم كعاب وعلى س4 مال المال. ★ تَصَفح: الخوارزمي، أبو جعفر ؛ العلوم عند العرب والمسلمين (الرياضيات). وقد كتب عمر الخيام الشاعر والعالم الفلكي الفارسي الذي عاش في الفترة بين 1050 م و 1123 م كتاباً في الجبر. ★ تَصَفح: عمر الخيام.

وخلال العصور الوسطى كان التقدم في الجبر بطيئاً. وبدأ اهتمام الأوروبيين بالجبر في القرن السادس عشر الميلادي حين بدأ العلماء يقتنعون بأهميته. وقد ساهم بعد ذلك كثير من علماء الرياضيات في تطور الجبر.

ونتج عن اكتشاف الحاسوب تغيرات مهمة في دراسة واستخدامات الجبر ؛ لأنّ بإمكان برامج الحاسوب القيام بمعظم خطوات حل المسائل الجبرية. فمثلا نستطيع استخدام هذه البرامج لحل المعادلات الخطية ومعادلات الدرجة الثانية بسهولة تامة. ونتيجة لذلك فمن المتوقع أن يتغبر أسلوب تدريس مادة الجبر ؛ فبدلاً من تدريس المهارات الأساسية التي تساعد على حل المسألة الجبرية فمن الممكن التركيز على مفاهيم مادة الجبر.