ليوناردو فيبوناتشي

اشتهر ليوناردو بيسانو باسمه فيبوناتشي. كان ابن جويليلمو Guilielmo وعضو في عائلة بوناتشي Bonacci.
استخدم فيبوناتشي في بعض الأحيان اسم بيجولو Bigollo، والذي قد يعني (الذي لا يصلح لشئ) أو المسافر.
فهل رغب مواطنوه في التعبير عن الاحتقار لرجلٍ يهتم بمسائل بلا قيمة عملية، أم أن الكلمة باللهجة التوسكانية تعني رجلًا سافر كثيرًا؟
وُلد فيبوناتشي في إيطاليا، لكنه تلقى تعليمه في شمال أفريقيا حيث كان والده –جيليلمو- يشغل وظيفة دبلوماسية.
كانت مهنة والده تتمثل في تمثيل تجار جمهورية بيزا الذين كانوا يتاجرون في بوجيا، والتي سُميت فيما بعد بوجي وتسمى الآن بِجاية.
بِجاية هي ميناء على البحر الأبيض المتوسط شمال شرق الجزائر.
تقع البلدة عند مصب وادي الصومام بالقرب من جبل جورايا ورأس كاربون (Cape Carbon).
درس فيبوناتشي الرياضيات في بِجاية وسافر كثيرًا مع والده وأدرك المزايا الهائلة للأنظمة الرياضية المستخدمة في البلدان التي زاروها.
يكتب فيبوناتشي في كتابه الشهير (العدادات الحرة-Liber abaci 1202): «في الفترة التي عُيِّنَ فيها والدي من قِبل بلاده كموثّق عام في الجمارك في بوجيا بالتصرف نيابةً عن تجار جمهورية بيزا الذين كانوا يتاجرون هناك، أحضرني إليها وكانت له رؤية مستقبلية لمصلحتي، فقد طلب مني الالتحاق بمدرسة المحاسبة.
هناك، تعرفت على فن رموز الهنود التسعة من خلال أساليب التدريس الرائعة، ساهم التدريس المميز في تفوقي على سائر أقراني وفهمت معظم ما درسته عن طريق الفن في مصر وسوريا واليونان وصقلية وبروفنس بجميع أشكاله المختلفة».
أنهى فيبوناتشي أسفاره حول العالم في عام 1200، ثم عاد إلى بيزا.
هناك كتب عددًا من النصوص المهمة التي لعبت دورًا مهمًا في إحياء المهارات الرياضية القديمة وقدّم مساهمات هامة خاصة به. عاش فيبوناتشي في الأيام التي سبقت الطباعة، لذلك كانت كتبه مكتوبة بخط اليد وكانت الطريقة الوحيدة للحصول على نسخة من أحد كتبه هي الحصول على نسخة أخرى مكتوبة بخط اليد.
من بين مؤلفاته لا يزال لدينا نسخ من (العدادات الحرة- Liber abaci) 1202، (الهندسة العملية-Practica geometriae) 1220، (الزَهرَة-flos)، (كتاب المربعات-Liber quadratorum).
كان قد فُقِدَ كتابه عن (الحساب التجاري-Di minor guise) الذي يُعلّق فيه على الرسالة العاشرة من كتاب العناصر لإقليدس الذي يحتوي على معالجة عددية للأرقام غير النسبية* (Irrational number) التي اقترحها إقليدس بوجهة نظر هندسية.
*في الرياضيات، الأعداد غير النسبية، الأعداد غير القياسية، الأعداد غير الجذرية، الأعداد غير الكسرية، العدد الأصم أو الجذر الأصم: هي الأعداد الحقيقية التي لا يمكن كتابتها على صورة كسر اعتيادي (أي كسر بسطه ومقامه عددان صحيحان ومقامه لا يساوي صفرًا).
قد يعتقد المرء أنه إذا ظهر فيبوناتشي في وقت اهتمام أوروبا بالبحث العلمي فربما كان من الممكن تجاهله إلى حدٍ كبير، لكن هذا الأمر ليس صحيحًا، فمّما لا شك فيه أن الاهتمام على نطاق واسع بعمله يعكس مدى أهميته.
كان فيبوناتشي معاصرًا (لجوردانوس Jordanus)*، لكنه كان عالمًا رياضيًا أكثر تطورًا، ونالت إنجازاته الاعتراف بسهولة، على الرغم من أن التطبيقات العملية وليست النظرية المجردة هي التي جعلته مشهورًا بين معاصريه.
*جوردانوس نيموراروس: كان عالم رياضيات وعالم أوروبي في القرن الثالث عشر من إيطاليا.
كتب أطروحات عن 6 مواضيع رياضية مهمة: علم الأوزان، والحساب العملي، والحساب المجرد، والجبر، والهندسة. والإسقاط المجسّم. معظم هذه الأطروحات موجودة في عدة إصدارات أو أعيدت صياغتها من العصور الوسطى. لا توجد معلومات شخصية متاحة عنه، بخلاف التاريخ التقريبي لعمله.
كان فريدريك الثاني (الإمبراطور الروماني المقدس) قد تُوج ملكًا لألمانيا في عام 1212 وتُوج بعد ذلك كإمبراطور روماني مقدس من قِبل البابا في كنيسة القديس بطرس في روما في نوفمبر 1220.
دعّم فريدريك الثاني بيزا في صراعاتها مع جِنوة في البحر ومع لوكا وفلورنسا على الأرض، وقضى الفترة حتى عام 1227 في تعزيز سلطته في إيطاليا.
سيطرت الدولة على التجارة والتصنيع، ودرّب موظفيّ الخدمة المدنية للإشراف على تحكّم الدولة في التجارة في جامعة نابولي التي أسسها فريدريك لهذا الغرض في عام 1224.
أدرك فريدريك أهميّة عمل فيبوناشي من خلال أعضاء بلاطه الذين كانوا يتواصلون مع فيبوناتشي منذ عودته إلى بيزا حوالي عام 1200. وكان من بين هؤلاء العلماء مايكل سكوتوس- Michael Scotus الذي كان مُنجّم البلاط، وثيودوروس فيكيسوس-Theodorus Physicus فيلسوف البلاط، ودومينيكوس هيسبانوس- Dominicus Hispanus الذي اقترح على فريدريك أن يستدعي فيبوناتشي عندما اجتمع بلاط فريدريك في بيزا حوالي 1225.
قدّم يوهانس من باليرمو-Johannes of Palermo، وهو عضو آخر في بلاط فريدريك الثاني، عددًا من المُعضِلات كتحديات لعالم الرياضيات الكبير فيبوناتشي.
حلّ فيبوناتشي ثلاثة منها، وقدّم الحلول في كتابه الزَهرَة والتي أرسلها إلى فريدريك الثاني. سنقدم لاحقًا بعض التفاصيل حول إحدى هذه المُعضِلات.
لا يوجد سوى وثيقة واحدة معروفة تُشير إلى فيبوناتشي بعد عام 1228. لكن هذا المرسوم صادر عن جمهورية بيزا في 1240 حيث يُمنح الراتب إلى: «السيد المحترم العلامّة ليوناردو بيجولو».
مُنح هذا الراتب إلى فيبوناتشي تقديرًا للخدمات التي قدمها لبيزا، ولتقديمه المشورة بشأن مسائل المحاسبة وتعليم المواطنين.
أهدى فيبوناتشي كتابه العدادات الحرة -الذي نُشر عام 1202 بعد عودته إلى إيطاليا- لمايكل سكوتوس.
اعتمد الكتاب على الحساب والجبر الذي تراكمت معارفه لدى فيبوناتشي خلال رحلاته.
أدخل الكتاب -الذي نُسِخَ وطٌبِعَ على نطاقٍ واسعٍ- النظام العَشري الهندي ذو القيمة التقريبية واستخدام الأرقام العربية إلى أوروبا.
في الواقع، على الرغم من أنه كان كتابًا حول استخدام الأرقام العربية، والذي أصبح يعرف باسم نظام (العد العربي–algorism)، فقد قدم أيضا دراسة المعادلات الخطية المتزامنة.
من المؤكد أن العديد من المُعضِلات التي قدمها فيبوناتشي في كتاب العدادات الحرة كانت مشابهة لتلك التي ظهرت في المصادر العربية.
يحتوي القسم الثاني من كتاب العدادات الحرة على مجموعة كبيرة من المشاكل التي تواجه حسابات التجار.
وتتعلق بأسعار السلع، وكيفية حساب الربح على المعاملات، وكيفية التحويل بين مختلف العملات المستخدمة في بلدان البحر الأبيض المتوسط، والمشاكل التي نشأت في الصين.
أدّت مُعضلة في الجزء الثالث من الكتاب إلى التعريف بأرقام فيبوناتشي وتسلسل فيبوناتشي وهو أفضل ما نتذكره لفيوبناتشي اليوم:
«حبس رجٌل زوجًا من الأرانب في مكانٍ مغلق. كم عدد أزواج الأرانب التي يمكن إنتاجها من الزوج الأصلي بنهاية السنة، بفرض أن كل زوج سيلد كل شهر زوجًا جديدًا يبدأ إنتاجه من بداية الشهر التالي؟»
التسلسل الناتج هو 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، … (حذف فيبوناتشي الرقم الأول في كتابه). هذا التسلسل يكون فيه كل رقم هو مجموع الرقمين السابقين، أثبت أنه مهم للغاية وتظهر أهميته في العديد من المجالات المختلفة في الرياضيات والعلوم.
في العصر الحديث هناك دورية فيبوناتشي الفصلية وهي مجلة مكرسة لدراسة الرياضيات المتعلقة بهذا التسلسل.
هناك العديد من المُعضِلات الأخرى الواردة في هذا القسم الثالث، بما في ذلك المُعضِلات التالية، وعدد من المُعضِلات الأخرى:
يتسلق عنكبوت عدة أقدام إلى أعلى الحائط كل يوم ثم يرتد بعددٍ ثابتٍ كل ليلة، كم عدد الأيام التي يستغرقها لتسلق الجدار؟
كلب صيد يطارد أرنب بري. الكلب يجري بمعدل سرعة -يتزايد حسابيًا- خلف أرنب يجري بسرعة تتزايد حسابيًا أيضا، ما هي المسافة التي سيحتاجها الكلب ليلحق بالأرنب؟
حساب مقدار المال الذي سيملكه شخصين بعد أن يتداولا مبلغًا من المال بنسب متغيرة من الزيادة والنقصان.
هناك أيضا مع مُعضِلات تتضمن (الأعداد المثالية-perfect numbers)، و مُعضِلات تتضمن نظرية الباقي (remainder) الصينية والمُعضِلات التي تتضمن جمع المتسلسلة الحسابية والهندسية.
تعامل فيبوناتشي في القسم الرابع مع أرقام مثل الجذر التربيعي لرقم 10، من خلال تقريب الكسور وكذلك من خلال التفسير الهندسي.
حينما أنتج فيبوناتشي الطبعة الثانية من كتاب العدادات الحرة في عام 1228 افتتحه بالمقدمة التقليدية لمعظم الإصدارات الثانية من الكتب: «تمت إضافة مادة جديدة [للكتاب] كما حُذفت منه بعض المواد الزائدة…».
آخر كتب فيبوناشي هو (الهندسة العملية-Practica geometriae) المكتوب في 1220 أهدي الكتاب لدومينيكوس هيسبانوس الذي ذكرناه سابقًا.
يحتوي على مجموعة كبيرة من المشاكل الهندسية مُرتبة في ثمانية فصول مع نظريات تستند إلى كتاب الأصول لإقليدس وخوارزمات التقسيم أو التقسيم الإقليدي.
بالإضافة إلى النظريات الهندسية مصحوبة بالبراهين الدقيقة، يتضمن الكتاب معلومات عملية للمسّاحين، بما في ذلك فصل حول كيفية حساب ارتفاع الأجسام العالية باستخدام مثلثات مماثلة.
يعرض الفصل الأخير ما يسميه فيبوناتشي بالتفاصيل الهندسية: «وتتضمن حساب محيط الشكل خماسي الأضلاع (المخمس) والشكل عشاري الأضلاع (المعشر) من خلال قطر الدائرة المحيطة بالشكل؛ يتم أيضًا إعطاء الحساب العكسي -أي حساب قطر دائرة من خلال محيط الشكل الخماسي أو العشاري الذي تحتويه-، بالإضافة إلى حساب مساحة السطح لكل منهما».
ويستكمل هذا القسم بالحديث عن المثلثات متساوية الأضلاع «باستخدام رسم مستطيل ومربع على جوانب المثلث، ثم تحسب جوانبهما جبريًا …».
في كتاب الزهرة يعطي فيبوناتشي تقريبًا دقيقًا لجذر
10x+2x^2+x^3=20
وهي إحدى المُعضِلات التي تحداه فيها يوهانس من باليرمو. هذه المشكلة لم يتم إعدادها من قِبل يوهانس بنفسه، بل نقلها من كتاب لعمر خيام حيث كان قد حلها عن طريق تقاطع دائرة وقطع ناقص.
يثبت فيبوناتشي أن جذر المعادلة ليس عددًا صحيحًا ولا كسرًا ولا حتى جذرًا تربيعيًا لكسر.
وأكمل «ولأنه لم يكن من الممكن حل هذه المعادلة بأي طريقة أخرى من الطرق المذكورة أعلاه، فقد عملت على تقليل الحل إلى قيمة تقريبية».
بدون الخوض في تفسير طريقته، يعطي فيبوناتشي الحل التقريبي من خلال نظام عد ستيني هكذا
1.22.7.42.33.4.40 (المقام دائمًا هو رقم 60 أي أنه 1+(22/60)+(7/60^2)+(42/60^3)+……)
ويتحول هذا إلى الرقم العشري 1.3688081075 وهو رقم صحيحٌ تمامًا حتى الرقم التاسع من الكسر العشري، ما يعد إنجازًا رائعًا.
في كتاب المربعات Liber quadratorum الذي كُتِبَ في 1225، والذي يُعد بمثابة أحد أعمال فيبوناشي الأكثر إثارةً للإعجاب إن لم يكن العمل الأكثر شهرة. هو كتاب في نظرية الأعداد، ومن بين الأمور التي يتناولها دراسة طريقة للعثور على ثلاثية فيثاغورس.
يشير فيبوناتشي أولًا إلى أنه يمكن بناء الأرقام المربعة كمجموع من الأرقام الفردية، وهما يصفان بشكل أساسي (البناء الاستقرائي -inductive construction) باستخدام الصيغة
n + (2n+1) = (n+1)^22
كتب فيبوناتشي: «فكرت في أصل جميع الأرقام المربعة واكتشفت أنها نشأت من التصاعد المنتظم للأرقام الفردية. بالنسبة (للوحدة-unity) هي مربع ومنه أنتج المربع الأول 1 (جذر التربيعي الرقم واحد يساوي واحد)؛ إضافة 3 إلى هذا يجعل المربع الثاني 4، الذي يكون جذره 2؛ إذا أضيف إلى هذا المجموع رقم فردي ثالث وهو 5، فسيتم إنتاج المربع الثالث، وهو 9، الذي يكون جذره 3؛ وبالتالي، فإن سلسلة الأرقام المربعة ترتفع دائمًا من خلال الإضافة المنتظمة للأرقام الفردية».
ليُكَوّن ثلاثية فيثاغورث يُقدّم فيبوناتشي التالي:
«هكذا عندما أرغب في العثور على رقمين مربعين إذا جمعناهما يكون الناتج رقمًا مربعًا، فأنا أفرض مربع أي رقم فردي كأحد الرقمين المربعين وأجد الرقم المربع الآخر بإضافة جميع الأرقام الفردية من الواحد إلى آخر رقم فردي قبل الرقم المربع الذي تريده، على سبيل المثال، افترض الرقم 9 كواحد من الأرقام المربعة المذكورة؛ ستحصل على المربع المتبقي بإضافة جميع الأرقام الفردية الأقل من رقم 9، وهي 1، 3، 5، 7، التي يكون مجموعها 16، وهو رقم مربع إذا جمعته مع الرقم 9 يعطي 25، وهو رقم مربع».
كما قدم فيبوناتشي الإثبات الرياضي للعديد من نتائج نظرية الأعداد المثيرة للاهتمام مثل:
لا يوجد x، y يمكنهما أن يحققان
x^2 + y^2
و x^2 – y^2 بحيث يكون كلاهما رقمًا مربعًا.
وX^4-y^4 لا يمكن أن يكونا مربعًا.
عرّف مفهوم (المطابق-congruum) كعدد من الصيغة
(ab(a + b)(a – b مرة باعتبار a + b رقمًا زوجيًا، وأربع مرات باعتبار الرقم a + b رقمًا فرديًا.
أثبت فيبوناتشي أن المطابق يجب أن يكون قابلًا للقسمة على 24، كما بين أن لكل x، يوجد c، بحيث يكون:
x^2+c و x^2-c قيمتهما مربعة، وبالتالي يمكن اعتبار c مطابق.
كما جاء في موسوعة بريتانيكا (الموسوعة البريطانية):
«كتاب المربعات بمفرده كفيل بتصنيف فيبوناتشي كمساهم رئيسي في نظرية الأعداد بين ديوفانتوس الإسكندري وعالم الرياضيات الفرنسي في القرن السابع عشر بيير دي فيرما».
كان تأثير فيبوناشي محدودًا أكثر مما كان يستحق، وبصرف النظر عن دوره في نشر استخدام الأرقام الهندية-العربية ومعضلة الأرانب، فقد تم تجاهل مساهمة فيبوناتشي في الرياضيات إلى حد كبير.
كما هو موضح في كتاب (معجم أعلام العلوم-Dictionary of Scientific Biography ): «كان التأثير المباشر لكتابي العداد الحر و(التطبيق العملي-Practica) مساهِمًا في إدخال الأرقام والطرق الهندية العربية وفي التعامل مع مشكلات الحياة اليومية.
مما جعل فيبوناتشي معلمًا لأساتذة الحساب والمسّاحين، بنفس أهمية كتاب (الخلاصة-Summa) للوكا باسيولي Luca Pacioli الذي تعلمنا منه الكثير؛ كذلك كان فيبوناتشي أيضًا معلم )الكوسكي /السببيون-Cossists)، الذين اكتسبوا إسمهم من كلمة (السببية-causa).
والذي استخدم لأول مرة في الغرب بواسطة فيبوناتشي بدلًا من (العمليون-res) أو (الأصوليون-radix).
تم تحسين تصنيفه الأبجدي للرقم أو المعامل العام لأول مرة بواسطة فرانسوا فييت Viète».
أهمِلَت إسهامات فيبوناتشي في نظرية الأعداد بشكل شبه كامل وغير معروف تقريبًا خلال العصور الوسطى.
بعد ثلاث مئة عام، وُجِدَت نفس النتائج في أعمال فرانشيسكو ماوروليكو Francesco Maurolico.
*ترجمة: مصطفى العدوي
*تدقيق: مينا خلف
*تحرير: مازن سفّان

*********************************

ليوناردو فيبوناتشي (بيزا، 1175م - 1250م) هو عالم رياضيات إيطالي؛ من أبرز رياضياتي العصور الوسطى في أوروبا.
كان يعرف فيما مضى باسم ليوناردو بيزانو (نسبة إلى مدينته بيزا)، كما كان يعرف باسم ليوناردو بيغولو (وتعني Bigollo المسافر)، لكن اسمه الحقيقي كان ليوناردو غيلييلمي (بالإيطالية: Leonardo Gulielmi)‏ وقد اشتهر حديثا باسم فيبوناتشي، الذي يعني ابن بوناتشي (filius Bonaccio)، الاسم الذي تعلّق به بعد وفاته.
عرف العالم فيبوناتشي بمساهمته في نشر "الأرقام العربية" في أوروبا، خاصة ضمن كتابه الذي نشره في القرن الثالث عشر بعنوان ليبر أباتشي (باللاتينية: Liber Abaci)؛ يترجم عنوان هذا الكتاب إلى كتاب الحساب. وكذلك عُرف بمتتالية فيبوناتشي التي سميت نسبة إليه، والتي ذكرها مثالاً في كتابه المذكور.
**ليوناردو فيبوناتشي - عن ويكيبيديا

السيرة الذاتية

​
تمثال من القرن التاسع عشر لفيبوناتشي في كامبوسانتو، بيزا
ولد فيبوناتشي في مدينة بيزا بإيطاليا حوالي عام 1170 م لوالده جوجلييلمو فيبوناتشي، تاجر إيطالي غني. وقد تلقى ليوناردو تعليمه بالأساس في مدينة بجاية الجزائرية. وقد كان والده قيلييلمو بوناتشي مشرفا على أسواق بيزا في الجزائر و تونس والمغرب،
وقد جلب فيبوناتشي من هذه الأماكن، حسبما قيل، سنة 1200، الأرقام العربية المستعملة اليوم والعلامات الجبرية وقد قيل أيضا أن من قام بذلك كان جيربير دوريلاك. وفي سنة 1202، أصدر كتابا بعنوان "ليبر أباشي"، المتخصص في الحساب والمحاسبة.
وقد تأثر فيبوناتشي في هذا الكتاب بحياته في الدول العربية، ومما يدلّ على ذلك أن فبيوناتشي قد قام بتحرير جزء منه من اليمين إلى اليسار. وبنشر هذا الكتاب قام فيبوناتشي بتعريف الأوروبيين على أنظمة الحساب والكتابة العربية. وقد كان هذا النظام يفوق بمراحل النظام الروماني المعتمد آنذاك في أوروبا، وكان فيبوناتشي على دراية بذلك. لكن هذا النظام واجه عنتا كبيرا قبل أن ينتشر بصورة عظيمة.
و قد اشتهر فيبوناتشي أساسا بسيبب مسألة تقودنا إلى متتالية فيبوناتشي، ولكنه عرف فيما مضى بسبب تطبيقه للأريثماطيقية على الحساب التجاري : حساب الأرباح، تحويل العملات.. لكن أعماله المتعلقة بنظرية الأعداد أهملت في حياته. وفي دراسة صغيرة أجريت حوله لاحقاـ تم اكتشاف طرائق خفية كان يستعملها نجدها حتى في بعض جوانب البورصة (التحليل التقني). واسم فيبوناتشي الذي يعني ابن بوناتشي تعلّق به بعد وفاته.
في القرن التاسع عشر، تم بناء تمثال لفيبوناتشي ووضع في بيزا. اليوم التمثال موجود في المعرض الغربي في كامبوسانتو، بيزا.
مؤلفاته:

​

Liber abbaci, MS Biblioteca Nazionale di Firenze, Codice Magliabechiano cs cI 2616, fol. 124r

له هذه الكتب التي نشرها المؤرخ الإيطالي المختص في تاريخ الرياضيات بلتزار باكومبانيي (بالإيطالية: Baldassare Boncompagni)‏, فلورنسا, 1854 :

1. ليبر أباتشي أُلف سنة 1202. وذكر فيه أنه تعلم في مدرسته الرياضيات ولأول مرة الرموز الهندية التسعة (وهي أصلا عربية). هذا الكتاب نرى التأثيرات العربية عبر كتابته الكثير من الأرقام من اليمين إلى اليسار.
2. Practice Geometion :الف سنة 1228 عرض فيه حلاً لمسائل رياضية كثيرة.
3. Libre Quardratorum : الف سنة 1225 يعتبر من أهم مؤلفاته واسمه كتاب المربعات. تم فيه اختيار الكثير من المسائل الرياضية المهمة ومن ضمنها الحصول على المضاعف الثلاثي لفيثاغورس.
4. Quadrati numeri.

متتالية فيبوناتشي:
لو اعتبرنا F n {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}} ​ العنصر n للمتوالية الرياضية، فإن
∀ n ∈ W , F n + 2 = F n + 1 + F n {\displaystyle \forall n\in \mathbb {W} ,{\mathcal {F}}_{n+2}={\mathcal {F}}_{n+1}+{\mathcal {F}}_{n}} ​و F 1 = 1 , F 2 = 1 {\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}=1,{\mathcal {F}}_{2}=1} ​ (نعتبر F 0 = 0 {\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}=0} ​).
و من بعض خصائص هذه المتتالية، أن خارج قسمة اي عنصر على العنصر الذي قبله يقترب رويدا رويدا من الرقم الذهبي, المعرف بـ :

φ = 1 + 5 2 ≃ 1 , 6180339887... {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\simeq 1,6180339887...} ​
من تعريف المتوالية ممكن أن نرى أن المتوالة تبدأ بالحدود التالية: 1 ،1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، 89، 144، 233، 377، 610، 987...

و نعرّف كذلك L n {\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}} ​ متتالية لوكاس :
∀ n ∈ N , L n + 2 = L n + 1 + L n {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,{\mathcal {L}}_{n+2}={\mathcal {L}}_{n+1}+{\mathcal {L}}_{n}} ​و L 1 = 1 , L 2 = 3 {\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}=1,{\mathcal {L}}_{2}=3} ​ (نعرف L 0 = 0 {\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}=0} ​).