تويت
الكترون
Electron - Electron
الإلكترون
الإلكترون electron جسيم أولي elementary particle مستقر ذو شحنة كهربائية سالبة هي أصغر شحنة يمكن أن توجد في الطبيعة، ولذلك اتُّخذت واحدة كمية الكهرباء، وليست شحنة أي جسم سوى مضاعفات لها. أما كتلة الإلكترون فهي أصغر كتل الجسيمات المستقرة، وهي تعادل ما يقرب من جزء واحد من 1850 جزءاً من كتلة ذرة الهدروجين (أخف الذرات إطلاقاً(.
أظهرت دراسة بنية المادة أنها حبيبية، مؤلفة من ذرات atoms، كما تبيَّن أن الذرة مؤلفة من نواة nucleous صغيرة جداً (ذات قطر لا يتجاوز واحداً من مئة ألف من قطر الذرة) تشكل الجزء الأعظم من كتلة الذرة وشحنتها الكهربائية موجبة البروتونات، يدور حولها عدد من الإلكترونات يساوي عدد الشحنات الموجبة في النواة. ولذلك تعد الإلكترونات الوحدات الأساسية لبنية المادة، لكونها تشكل الغمامات الإلكترونية للذرات.
يمكن الحصول على الإلكترونات حرّة (غير مرتبطة بالذرات) في الخلاء بوساطة الإصدار الإلكتروني الحراري مثلاً (تسخين المادة). ويمكن تسريعها والاستفادة منها في كثير من التطبيقات العملية (الصمامات الإلكترونية، التلفاز، المجهر الإلكتروني، وغير ذلك). كما يُلجأ إلى تسريع حزم شديدة من الإلكترونات وإيصالها إلى طاقات عالية جداً بغية استخدامها في دراسة نوى الذرات والجسيمات الأولية (كما في السنكروترون synchrotron). وللإلكترون جسيم مضاد، كما للجسيمات الأولية الأخرى، وهو الإلكترون الموجب أو البوزترون positron (ويقال أيضاً البوزيتون positon) مضاد الإلكترون. ويصنف الإلكترون مع اللبتونات leptons، وهي الجسيمات التي لا تدخل مع الجسيمات الأخرى إلا في التأثيرات المتبادلة الكهرمغنطيسية والتأثيرات المتبادلة النووية الضعيفة. وهو يسهم في معظم التحولات التي تطرأ على الجسيمات الأولية.
وللإلكترونات صفات موجيّة، شأنها في ذلك شأن باقي الجسيمات الدقيقة، فهي تنعرج (تحيد) عند الذرات والجسيمات. ويستفاد من هذه الخواص في استخدام المجهر الإلكتروني لدراسة الأجسام البالغة الدقة التي تستحيل رؤيتها بالمجاهر الضوئية.
لمحة تاريخية
أصل كلمة إلكترون يوناني (وهي تعني العنبر أو الكهرمان)، ويبدو أن الإيرلندي ج.ستوني G.Stoney هو أول من استعملها عام 1819. ومع أنه يصعب فصل تاريخ اكتشاف الإلكترون عن تاريخ الكهرباء المعروفة منذ العصور القديمة والتي أدت إلى تجارب متعددة في أواخر القرن الثامن عشر، يمكن القول إن تاريخ الإلكترون يبدأ باكتشاف و.كروكس W.Crookes الأشعة المهبطية عام 1893. ويعود الفضل إلى ج. ج. طُمْسون J.J.Thomson في إثبات وجود الإلكترون وتقدير كتلته. ثم تتالت أعمال طُمْسون وهرتز[ر] Hertz ولورنتز[ر] Lorentz التي أدت إلى تعيين شحنة الإلكترون النوعية (نسبة شحنته e إلى كتلته m) البالغة 1.76 × 1110 كولون/كغ. ثم قام ميليكان[ر] Millikan عام 1910 بإجراء تجربته الشهيرة التي تعتمد على جعل نقاط صغيرة جداً من الزيت، مشحونة بالكهرباء، تسقط بتأثير ثقلها بين مسريين electrodes أفقيين يمكن تغيير فرق الكمون بينهما، وتُستنتج كتلة نقطة الزيت من قياس سرعة سقوطها، وتُستنتج الشحنة التي تحملها بجعلها تتوازن بين المسريين باختيار فرق كمون مناسب بينهما. أما الشحنة العنصرية e فتُستنتج من دراسة عددٍ كبير من النقاط المختلفة كتلةً وشحنةً باعتبار أن شحنة أي نقطة ليست سوى مضاعفات صحيحة لهذه الشحنة العنصرية. ثم أتت تجارب رَذَرْفورد[ر] Rutherford عام 1911 لتثبت وجود نواة مشحونة بشحنة كهربائية موجبة في مركز الذرة. وسرعان ما تبين أن الإلكترونات السالبة تتوزع حول هذه النواة لتكوِّن الذرة المعتدلة كهربائياً. ثم تبين بعد ذلك ضرورة افتراض أن الإلكترونات لا تخضع لقوانين الكهرمغنطيسية التقليدية وأنها لا تشع طاقة في أثناء حركتها على مداراتها حول النواة. وقد قام ن.بور[ر] N.Bohr، بالاستناد إلى نظرية الكم[ر] quantum theory، بوضع نموذج الذرة المعروف باسمه. وتمَّ، بناءً على هذا النموذج، تفسير وظيفة الإلكترون في بنية الذرة وتوضيح منشأ الأطياف الضوئية التي تصدرها الذرات. وفي عام1925 بيّن ج.أولِنْبك G.Uhlenbeck وس.غودْ سميت S.Goudsmit أنه ينبغي أن يُعزى للإلكترون عزم اندفاع زاوي ذاتي سُمي سبين spin الإلكترون. وفي عام 1932 اكتشف أندرسون Anderson الإلكترون الموجب الذي كان ديراك Dirac قد تنبأ بوجوده في عام 1928 في دراسته النظرية المستندة إلى مبادئ ميكانيك الكم[ر] ومبادئ النظرية النسبية[ر].
كتلة الإلكترون وشحنته وأبعاده: تبلغ الكتلة السكونية للإلكترون وفق القياسات الحديثة القيمة
وتعادل هذه الكتلة الطاقة:
حيث c: سرعة الضوء في الخلاء
أما شحنة الإلكترون فتبلغ القيمة:
ويمكن الحصول على تقدير تقريبي للحد الأعلى لنصف قطر الإلكترون re بافتراض أن كتلته كلها ذات منشأ كهرمغناطيسي، ويكون
سبين الإلكترون وعزمه المغناطيسي الذاتي
أدخل أولنْبك وغود سميت مفهوم سبين الإلكترون (أو اندفاعه الزاوي الذاتي) لتفسير بعض الحقائق التجريبية ومنها تضاعف بعض الخطوط الطيفية. وقد افترض هذان العالمان وجود اندفاع زاوي ذاتي للإلكترون إضافة لاندفاعه الزاوي المداري الناتج من حركته حول النواة. وافترضا أن هذا الاندفاع ناشئ عن دوران الإلكترون حول نفسه (ومن هنا أتت تسميته بالإنكليزية spin). إلا أن النظريات الحديثة تميل إلى احتمال أن له بنية داخلية معقدة ما تزال مجهولة، وذلك على الرغم من عدم وجود أي دلائل تجريبية على بنية الإلكترون حتى اليوم. وقد وُجد أن لسبين الإلكترون القيمة
حيث
وh هي ثابتة بلانك Planck وتساوي 6.6256×10-34 جول ثانية. كما وُجد أنه لا يمكن أن يكون لمسقط متجهة السبين على منحى معين (وليكن المحور z) سوى إحدى القيمتين
وهذا ما يعبر عنه عادة بأن سبين الإلكترون يساوي 1/2 (مقدراً بواحدات )، وتخضع الإلكترونات بالتالي لإحصاء فِرمي ـ ديراك Fermi- Dirac، شأنها في ذلك شأن باقي الجسيمات التي يساوي سبينها SZ أمثالاً فردية من والتي يطلق عليها اسم فِرميونات fermions. لما كان الإلكترون جسيماً مشحوناً كهربائياً فإن وجود اندفاع زاوي ذاتي (سبين) له يستدعي وجود مغنطيسي ذاتي μ. وتثبت التجربة وجود هذا العزم، وتبلغ قيمته
وتبلغ نسبة العزم المغنطيسي الذاتي إلى السبين ضعف قيمة نسبة العزم المغنطيسي المداري إلى عزم الاندفاع الزاوي المداري.
الإلكترون الموجب أوالبوزترون: وهو الجسيم المضاد للإلكترون، وهو لا يمكن أن يوجد في الطبيعة إلا مدة زمنية قصيرة جداً. وله كتلة سكونية تساوي تماماً كتلة الإلكترون وشحنة كهربائية موجبة تساوي شحنة الإلكترون بالقيمة المطلقة، وله سبين يساوي سبين الإلكترون. وهو كالإلكترون جسيم مستقر، وسلوكه مشابه تماماً لسلوك الإلكترون إنما مدة حياته صغيرة جداً لا تتجاوز 10-7 ثانية بسبب فنائه بمجرد التقائه أحد الإلكترونات. فحين يلتقي البوزترون الإلكترون يفنى الجسيمان مولدين طاقة كهرمغنطيسية بصورة أشعة غاما (γ):
وتساوي الطاقة المنطلقة ما يكافئ كتلتي الجسيْمين من الطاقة أي 2mc2، وهي من رتبة المليون إلكترون فُلط. ويصدُر البوزترون في أثناء النشاط الإشعاعي بيتا βوفي تفاعلات الطاقة العالية، حيث تتحول طاقة أشعة غاما γ بجوار نوى الذرات إلى زوجين إلكترون وبوزترون.
تأثير الحقل الكهربائي في حركة الإلكترون
لما كانت للإلكترونات شحنة كهربائية فهي تكتسب تسارعاً في الحقل الكهربائي. ولكون الشحنة النوعية للإلكترون e/m كبيرة فإن تسارعه كبير حتى في الحقول الكهربائية الضعيفة. ويُحسب التسارع a الذي يكتسبه الإلكترون في الحقل الكهربائي E وفق قوانين المكانيك التقليدي من العلاقة:
أما السرعة V التي يكتسبها الإلكترون بفضل فرق كمون كهربائي V فتُحسب من مساواة الطاقة الكامنة التي يخسرها الإلكترون eV بالطاقة الحركية التي يكتسبها
وتكون السرعة المكتسبة:
فإذا وضعت قيمة e/m للإلكترون في هذه العلاقة أمكن كتابة عبارة V بدلالة فرق الكمون V كما يلي:
حيث تقدر V بالفلط وv بالكيلو متر في الثانية. وتجدر الإشارة إلى أنه ابتداءً من سرعة معينة لا يجوز إهمال ازدياد الكتلة مع تزايد السرعة، وهو ما تمليه النظرية النسبية. وبالفعل حين يبلغ فرق الكمون المسرِّع 100 كيلو فلط يصبح الفرق بين السرعة المحسوبة وفق العلاقة (3) والسرعة الحقيقية من رتبة 20 بالمئة. أما إذا بلغ فرق الكمون مليون فلط فإن سرعة الإلكترون محسوبة وفق الميكانيك التقليدي (العلاقة 3) تبلغ 600 ألف كم/ثا في حين أنها في الواقع ليست سوى 282 ألف كم/ثا. أما إذا دخل إلكترون يتحرك بالسرعة V0 حقلاً كهربائياً مائلاً بالنسبة إلى V0، فإن متجهة سرعته الابتدائية هذه تضاف إلى متجهة السرعة v الناتجة من تأثير الحقل الكهربائي ويصبح مسار الإلكترون على شكل قطع مكافئ (الشكل1).
تأثير الحقل المغنطيسي في حركة الإلكترون
لما كان الإلكترون ذا شحنة كهربائية فإنه يخضع، حين يدخل مجال حقل تحريض مغنطيسي B بالسرعة V0، إلى قوة F عمودية على كل من منحني سرعته V0 ومنحى الحقل B. وتُعطى القوة هذه بالعلاقة المتجهية التالية:
فإذا كانت سرعة الإلكترون لدى دخوله مجال حقل التحريض عمودية على كان مقدار القوة مساوياً evB وكانت حركة الإلكترون وفق دائرة نصف قطرها
إن حقلاً مغنطيسياً ضعيفاً يمكن أن يؤدي إلى انحناءٍ ملحوظ في مسار الإلكترون: فمركبة الحقل المغنطيسي الأرضي الأفقية مثلاً تؤدي إلى جعل حركة الإلكترون المسرَّع بفرق كمون قدره 100 فلط حركة منحنية نصف قطرها 1.7 متراً. أما الحقل المغنطيسي الموازي لمنحى حركة الإلكترون فلا يؤثر في حركة الإلكترون إطلاقاً. وفي الحالة العامة يمكن تحليل سرعة الإلكترون إلى مركّبتين إحداهما عمودية على الحقل والأخرى موازية له. وتؤدي المركّبة العمودية إلى حركة الإلكترون الدائرية، في حين تؤدي المركّبة الموازية إلى حركة مستقيمة موازية للحقل. وتكون الحركة المحصّلة لولبية كما هو موضح في الشكل2.
خواص الإلكترون الموجيّة
لتفسير الظواهر الموجية للجسيمات وضع لوي دي بْروُي[ر] Louis de Broglie عام 1924 فرضية مفادها أن الجسيمات ذات طبيعة مثنوية (جسيميةـ موجية). وبحسب هذه الفرضية تواكب كلَّ جسيم متحرك موجةٌ، تدعى موجة دي بروي، يعطى طولها λ بالعلاقة:
حيث p: اندفاع الجسيم (كمية حركته) وE: طاقته الحركية وh: ثابتة بلانك.
وبهذا تواكب الإلكترون ذا الطاقة الحركية 100 إلكترون فلط موجةٌ طولها 0.12 نانو متر (أي 0.12×10-9 متر أو 1.2 أنغستروم).
ولما كان هذا الطول من مرتبة المسافة بين الذرات في البلورات، فيمكن إذن توقع حدوث انعراج حزمة إلكترونات كهذه عند البلورات شبيه بانعراج الأشعة السينية عندها. وبالفعل فقد حصل دافيسون C.J.Davisson وجيرْمَر L.H.Germer عام 1927 على انعراج حزمة إلكترونية على بلورة رقيقة من التوتياء.
حين تزداد طاقة الإلكترونات ينقص طول موجتها (العلاقة 5)، أما حين تزيد على حدود معينة (أكثر من 100 كيلو إلكترون فلط) فلا يعود طول الموجة المواكبة للإلكترون يتبع العلاقة البسيطة (5) ذاتها، إذ ينبغي حينئذٍ أخذ التصحيحات الناتجة عن النظرية النسبية بالحسبان. ويستفاد من إمكان إنقاص طول موجة الإلكترونات إلى حد بعيد في الكثير من التطبيقات المهمة، كالمجهر الإلكتروني.
Electron - Electron
الإلكترون
الإلكترون electron جسيم أولي elementary particle مستقر ذو شحنة كهربائية سالبة هي أصغر شحنة يمكن أن توجد في الطبيعة، ولذلك اتُّخذت واحدة كمية الكهرباء، وليست شحنة أي جسم سوى مضاعفات لها. أما كتلة الإلكترون فهي أصغر كتل الجسيمات المستقرة، وهي تعادل ما يقرب من جزء واحد من 1850 جزءاً من كتلة ذرة الهدروجين (أخف الذرات إطلاقاً(.
أظهرت دراسة بنية المادة أنها حبيبية، مؤلفة من ذرات atoms، كما تبيَّن أن الذرة مؤلفة من نواة nucleous صغيرة جداً (ذات قطر لا يتجاوز واحداً من مئة ألف من قطر الذرة) تشكل الجزء الأعظم من كتلة الذرة وشحنتها الكهربائية موجبة البروتونات، يدور حولها عدد من الإلكترونات يساوي عدد الشحنات الموجبة في النواة. ولذلك تعد الإلكترونات الوحدات الأساسية لبنية المادة، لكونها تشكل الغمامات الإلكترونية للذرات.
يمكن الحصول على الإلكترونات حرّة (غير مرتبطة بالذرات) في الخلاء بوساطة الإصدار الإلكتروني الحراري مثلاً (تسخين المادة). ويمكن تسريعها والاستفادة منها في كثير من التطبيقات العملية (الصمامات الإلكترونية، التلفاز، المجهر الإلكتروني، وغير ذلك). كما يُلجأ إلى تسريع حزم شديدة من الإلكترونات وإيصالها إلى طاقات عالية جداً بغية استخدامها في دراسة نوى الذرات والجسيمات الأولية (كما في السنكروترون synchrotron). وللإلكترون جسيم مضاد، كما للجسيمات الأولية الأخرى، وهو الإلكترون الموجب أو البوزترون positron (ويقال أيضاً البوزيتون positon) مضاد الإلكترون. ويصنف الإلكترون مع اللبتونات leptons، وهي الجسيمات التي لا تدخل مع الجسيمات الأخرى إلا في التأثيرات المتبادلة الكهرمغنطيسية والتأثيرات المتبادلة النووية الضعيفة. وهو يسهم في معظم التحولات التي تطرأ على الجسيمات الأولية.
وللإلكترونات صفات موجيّة، شأنها في ذلك شأن باقي الجسيمات الدقيقة، فهي تنعرج (تحيد) عند الذرات والجسيمات. ويستفاد من هذه الخواص في استخدام المجهر الإلكتروني لدراسة الأجسام البالغة الدقة التي تستحيل رؤيتها بالمجاهر الضوئية.
لمحة تاريخية
أصل كلمة إلكترون يوناني (وهي تعني العنبر أو الكهرمان)، ويبدو أن الإيرلندي ج.ستوني G.Stoney هو أول من استعملها عام 1819. ومع أنه يصعب فصل تاريخ اكتشاف الإلكترون عن تاريخ الكهرباء المعروفة منذ العصور القديمة والتي أدت إلى تجارب متعددة في أواخر القرن الثامن عشر، يمكن القول إن تاريخ الإلكترون يبدأ باكتشاف و.كروكس W.Crookes الأشعة المهبطية عام 1893. ويعود الفضل إلى ج. ج. طُمْسون J.J.Thomson في إثبات وجود الإلكترون وتقدير كتلته. ثم تتالت أعمال طُمْسون وهرتز[ر] Hertz ولورنتز[ر] Lorentz التي أدت إلى تعيين شحنة الإلكترون النوعية (نسبة شحنته e إلى كتلته m) البالغة 1.76 × 1110 كولون/كغ. ثم قام ميليكان[ر] Millikan عام 1910 بإجراء تجربته الشهيرة التي تعتمد على جعل نقاط صغيرة جداً من الزيت، مشحونة بالكهرباء، تسقط بتأثير ثقلها بين مسريين electrodes أفقيين يمكن تغيير فرق الكمون بينهما، وتُستنتج كتلة نقطة الزيت من قياس سرعة سقوطها، وتُستنتج الشحنة التي تحملها بجعلها تتوازن بين المسريين باختيار فرق كمون مناسب بينهما. أما الشحنة العنصرية e فتُستنتج من دراسة عددٍ كبير من النقاط المختلفة كتلةً وشحنةً باعتبار أن شحنة أي نقطة ليست سوى مضاعفات صحيحة لهذه الشحنة العنصرية. ثم أتت تجارب رَذَرْفورد[ر] Rutherford عام 1911 لتثبت وجود نواة مشحونة بشحنة كهربائية موجبة في مركز الذرة. وسرعان ما تبين أن الإلكترونات السالبة تتوزع حول هذه النواة لتكوِّن الذرة المعتدلة كهربائياً. ثم تبين بعد ذلك ضرورة افتراض أن الإلكترونات لا تخضع لقوانين الكهرمغنطيسية التقليدية وأنها لا تشع طاقة في أثناء حركتها على مداراتها حول النواة. وقد قام ن.بور[ر] N.Bohr، بالاستناد إلى نظرية الكم[ر] quantum theory، بوضع نموذج الذرة المعروف باسمه. وتمَّ، بناءً على هذا النموذج، تفسير وظيفة الإلكترون في بنية الذرة وتوضيح منشأ الأطياف الضوئية التي تصدرها الذرات. وفي عام1925 بيّن ج.أولِنْبك G.Uhlenbeck وس.غودْ سميت S.Goudsmit أنه ينبغي أن يُعزى للإلكترون عزم اندفاع زاوي ذاتي سُمي سبين spin الإلكترون. وفي عام 1932 اكتشف أندرسون Anderson الإلكترون الموجب الذي كان ديراك Dirac قد تنبأ بوجوده في عام 1928 في دراسته النظرية المستندة إلى مبادئ ميكانيك الكم[ر] ومبادئ النظرية النسبية[ر].
كتلة الإلكترون وشحنته وأبعاده: تبلغ الكتلة السكونية للإلكترون وفق القياسات الحديثة القيمة
| m0 = | 9.1083×10 -31كغ=0.548763×10 -3 وحدة كتل ذرية (و ك ذ) (amu) |
| m0c2 = | 0.510976 مليون إلكترون فلط (م إ ف) (MeV) |
أما شحنة الإلكترون فتبلغ القيمة:
| e= | 1.60206×10 -19 كولون = -4.80286×10 -10 وحدة كهرساكنة (و ك س) (esu) |
أدخل أولنْبك وغود سميت مفهوم سبين الإلكترون (أو اندفاعه الزاوي الذاتي) لتفسير بعض الحقائق التجريبية ومنها تضاعف بعض الخطوط الطيفية. وقد افترض هذان العالمان وجود اندفاع زاوي ذاتي للإلكترون إضافة لاندفاعه الزاوي المداري الناتج من حركته حول النواة. وافترضا أن هذا الاندفاع ناشئ عن دوران الإلكترون حول نفسه (ومن هنا أتت تسميته بالإنكليزية spin). إلا أن النظريات الحديثة تميل إلى احتمال أن له بنية داخلية معقدة ما تزال مجهولة، وذلك على الرغم من عدم وجود أي دلائل تجريبية على بنية الإلكترون حتى اليوم. وقد وُجد أن لسبين الإلكترون القيمة
| μ= | 0.928×10 - 23 أمبير متر2 |
الإلكترون الموجب أوالبوزترون: وهو الجسيم المضاد للإلكترون، وهو لا يمكن أن يوجد في الطبيعة إلا مدة زمنية قصيرة جداً. وله كتلة سكونية تساوي تماماً كتلة الإلكترون وشحنة كهربائية موجبة تساوي شحنة الإلكترون بالقيمة المطلقة، وله سبين يساوي سبين الإلكترون. وهو كالإلكترون جسيم مستقر، وسلوكه مشابه تماماً لسلوك الإلكترون إنما مدة حياته صغيرة جداً لا تتجاوز 10-7 ثانية بسبب فنائه بمجرد التقائه أحد الإلكترونات. فحين يلتقي البوزترون الإلكترون يفنى الجسيمان مولدين طاقة كهرمغنطيسية بصورة أشعة غاما (γ):
| e++e- "2γ |
تأثير الحقل الكهربائي في حركة الإلكترون
لما كانت للإلكترونات شحنة كهربائية فهي تكتسب تسارعاً في الحقل الكهربائي. ولكون الشحنة النوعية للإلكترون e/m كبيرة فإن تسارعه كبير حتى في الحقول الكهربائية الضعيفة. ويُحسب التسارع a الذي يكتسبه الإلكترون في الحقل الكهربائي E وفق قوانين المكانيك التقليدي من العلاقة:
 |
تأثير الحقل المغنطيسي في حركة الإلكترون
لما كان الإلكترون ذا شحنة كهربائية فإنه يخضع، حين يدخل مجال حقل تحريض مغنطيسي B بالسرعة V0، إلى قوة F عمودية على كل من منحني سرعته V0 ومنحى الحقل B. وتُعطى القوة هذه بالعلاقة المتجهية التالية:
 |
خواص الإلكترون الموجيّة
لتفسير الظواهر الموجية للجسيمات وضع لوي دي بْروُي[ر] Louis de Broglie عام 1924 فرضية مفادها أن الجسيمات ذات طبيعة مثنوية (جسيميةـ موجية). وبحسب هذه الفرضية تواكب كلَّ جسيم متحرك موجةٌ، تدعى موجة دي بروي، يعطى طولها λ بالعلاقة:
وبهذا تواكب الإلكترون ذا الطاقة الحركية 100 إلكترون فلط موجةٌ طولها 0.12 نانو متر (أي 0.12×10-9 متر أو 1.2 أنغستروم).
ولما كان هذا الطول من مرتبة المسافة بين الذرات في البلورات، فيمكن إذن توقع حدوث انعراج حزمة إلكترونات كهذه عند البلورات شبيه بانعراج الأشعة السينية عندها. وبالفعل فقد حصل دافيسون C.J.Davisson وجيرْمَر L.H.Germer عام 1927 على انعراج حزمة إلكترونية على بلورة رقيقة من التوتياء.
حين تزداد طاقة الإلكترونات ينقص طول موجتها (العلاقة 5)، أما حين تزيد على حدود معينة (أكثر من 100 كيلو إلكترون فلط) فلا يعود طول الموجة المواكبة للإلكترون يتبع العلاقة البسيطة (5) ذاتها، إذ ينبغي حينئذٍ أخذ التصحيحات الناتجة عن النظرية النسبية بالحسبان. ويستفاد من إمكان إنقاص طول موجة الإلكترونات إلى حد بعيد في الكثير من التطبيقات المهمة، كالمجهر الإلكتروني.
تعليق