تويت
فيثاغورث (أعداد -)
أعداد فيثاغورث Pythagorean numbers هي ثلاثيات (ب، ج، د) أو رباعيات (ب، ج، د، ي) من الأعداد الطبيعية (أي ب، ج، د، ي من ط حيث تدل ط على مجموعة الأعداد الطبيعية) مربع أكبرها يساوي مجموع مربعي العددين الآخريْن.
ثلاثيات فيثاغورث Pythagorean triples
هي ثلاثيات (ب، ج، د)، ب، ج، د من ط، مجموع مربعي اثنين منها يساوي مربع الثالث، أي أن مثلثاً أطوال أضلاعه الأعداد الطبيعية الثلاثة ب، ج، د هو مثلث قائم.
مثال (1): إن (3، 4، 5) من ثلاثيات فيثاغورث، لأن 23 + 24 = 25 = 25.
كذلك الثلاثية (3 ك، 4 ك، 5 ك) حيث ك أي عدد طبيعي.
أثبت الفيلسوف الرياضي اليوناني فيثاغورث Pythagoras، الذي عاش في القرن السادس قبل الميلاد، مبرهنة هامة في الهندسة الإقليدية المستوية Euclidean plane geometry، اشتهرت باسمه، كان لها دور كبير في تقدم العلوم كافة. حتى أنه تم إثباتها بطرق مختلفة تجاوز عددها المئة حتى اليوم.
تنص مبرهنة فيثاغورث على الآتي:
«مربع الوتر، في أي مثلث قائم، يساوي مجموع مربعي الضلعين القائمين».
و(الشكل-1) يقدم إثباتاً لهذه المبرهنة اعتماداً على حساب مساحة المربع م ق ن ل بطريقتين مختلفتين، ومن ثم المقارنة بينهما.
خصائص ثلاثيات فيثاغورث
إذا كانت (ب، ج، د) من ثلاثيات فيثاغورث، وكانت ب، ج، د أولية نسبياً فيما بينها (أي ليس بينها قاسم مشترك غير الواحد)، فإنه:
1) لا يمكن أن تكون الأعداد الثلاثة فردية معاً أو زوجية معاً.
2) اثنان منها فرديان والثالث زوجي.
3) أكبر الأعداد الثلاثة فردي.
لإثبات ذلك:
1) يفرض جدلاً أن الأعداد الثلاثة ب، ج، د فردية، فمربع أكبرها (وليكن ب مثلاً) فردي. ثم إن العددين الصغيرين ج، د فرديان، فمربعاهما فرديان، أي أن: ج2 + د2 عدد زوجي.
لكن: ج2 + د2 = ب2 فالطرف الأيمن عدد زوجي، بينما الطرف الأيسر عدد فردي وهذا مستحيل.
كما لا يمكن أن تكون الأعداد الثلاثة زوجية معاً، إذ يصبح العدد 2 قاسماً مشتركاً لها وهذا خلاف الفرض.
2) لا يمكن أن يكون العددان الصغيران زوجيين معاً، لأن مجموع مربعيهما ج2 + د2 سيكون زوجياً، وبالتالي ب زوجي، وبذا يصبح العدد 2 قاسماً مشتركاً لها وهذا خلاف الفرض.
كما لا يمكن أن يكونا فرديين معاً. إذ إن:
ج = 2 ن + 1، د = 2 ك + 1 حيث ن، ك عددان طبيعيان، يجعل:
ب2 = ج2 + د2 = (2 ن + 1)2 + (2 ك + 1)2 = 2 [2 (ن2 + ن + ك + ك2) + 1]
وبالتالي الطرف الأيسر ليس مربعاً كاملاً، وهذا يخالف الطرف الأيمن.
إذن أحدهما زوجي والآخر فردي.
3) إن مجموع مربعي عددين أحدهما فردي والآخر زوجي، هو عدد فردي. إذن العدد الأكبر ب هو عدد فردي.
مثال (2): إذا كان ج عدداً فردياً (ج = 2 ن + 1، ن من ط)، فإن:
د = [ (2 ن + 1)2 -1] / 2 وب = [ (2 ن + 1)2 +1 ] / 2
يجعل ب2 = ج2 + د2.
فالثلاثيات (3، 4 ،5)، (5، 12، 13)، (7، 24، 25)، (9، 40، 41)،...، (ج، د، ب)،... من ثلاثيات فيثاغورث.
يلاحظ أن هذه الثلاثيات لها خاصة مميزة، وهي أن فيها عددين متتاليين د، ب.
مجموعة ثلاثيات فيثاغورث
إذا كان س، ع أي عددين طبيعيين، وكانت :
ب = س2 + ع2، ج = 2 س. ع، د = |س2 - ع2|
فإن (ب، ج، د) من ثلاثيات فيثاغورث.
مثال (3): بفرض س = 1، ع = 2 تكون:
ب = 5، ج = 4، د = 3.
وبفرض س = 2، ع = 3 تكون:
ب = 13، ج = 12، د = 5.
وبفرض س = 5، ع = 8 تكون:
ب = 89، ج = 80، د = 39.
وهكذا كلما أخذت س قيمة وع قيمة، تعينت ب، ج، د المقابلة. مثلاً إن الثلاثيات:
(17، 8، 15)، (145، 144، 17)، (97، 72، 65)، (233، 208، 105)، (257، 32، 255)، (1385، 296، 1353)، (1033، 192، 1015)،.... من ثلاثيات فيثاغورث.
رباعيات فيثاغورث Pythagorean quadruples
رباعيات فيثاغورث هي الرباعيات (ب، ج، د، ي)، ب، ج، د، ي من ط، التي مجموع مربعات ثلاث منها يساوي مربع الرابع.
إن مبرهنة فيثاغورث في الفضاء الإقليدي ثلاثي البعد (الشكل-2) يمكن صياغتها بالشكل: «مربع قطر متوازي المستطيلات م ق ن ل مَ قَ نَ لَ يساوي مجموع مربعات أبعاده الثلاثة. أي:
ر2 = س2 + ع2 + ص2.
مثال (4): إن الرباعية (9، 8، 4، 1) من رباعيات فيثاغورث، ذلك لأن :
28 + 24 + 21 = 64 + 16 + 1 = 81 = 29.
كذلك الرباعية (9 ك، 8 ك، 4 ك، ك) حيث ك أي عدد طبيعي.
مجموعة رباعيات فيثاغورث
إذا كانت س، ع، ص، ف أعداداً طبيعية، وكانت:
ب = س2 + ع2 + ص2 + ف2، ج = 2 س. ع + 2 ص. ف،
د = | 2 ع. ص - 2 س. ف |، ي = | س2 - ع2 + ص2 - ف2|
فإن (ب، ج، د، ي) من رباعيات فيثاغورث.
مثال (5): بفرض س = ص = ف = 1، ع = 2 تكون:
ب = 7، ج = 6، د = 2، ي = 3.
و بفرض س = ع = ص = 2، ف = 3 تكون:
ب = 21، ج = 20، د = 4، ي = 5.
وهكذا متى أخذت كل من س، ع، ص، ف قيمة، تعينت ب، ج، د، ي المقابلة.
مثلاً إن الرباعيات:
(4، 2، 2، 1)، (8، 9، 72، 73)، (6، 10، 15، 19)، (2، 5، 14، 15)، (13، 14، 182، 183)، (26، 27، 702، 703)،
(27، 30، 814، 815)، (39، 54، 242، 251)، …
هي من رباعيات فيثاغورث.
أنور توفيق اللحام
أعداد فيثاغورث Pythagorean numbers هي ثلاثيات (ب، ج، د) أو رباعيات (ب، ج، د، ي) من الأعداد الطبيعية (أي ب، ج، د، ي من ط حيث تدل ط على مجموعة الأعداد الطبيعية) مربع أكبرها يساوي مجموع مربعي العددين الآخريْن.
ثلاثيات فيثاغورث Pythagorean triples
هي ثلاثيات (ب، ج، د)، ب، ج، د من ط، مجموع مربعي اثنين منها يساوي مربع الثالث، أي أن مثلثاً أطوال أضلاعه الأعداد الطبيعية الثلاثة ب، ج، د هو مثلث قائم.
مثال (1): إن (3، 4، 5) من ثلاثيات فيثاغورث، لأن 23 + 24 = 25 = 25.
كذلك الثلاثية (3 ك، 4 ك، 5 ك) حيث ك أي عدد طبيعي.
أثبت الفيلسوف الرياضي اليوناني فيثاغورث Pythagoras، الذي عاش في القرن السادس قبل الميلاد، مبرهنة هامة في الهندسة الإقليدية المستوية Euclidean plane geometry، اشتهرت باسمه، كان لها دور كبير في تقدم العلوم كافة. حتى أنه تم إثباتها بطرق مختلفة تجاوز عددها المئة حتى اليوم.
تنص مبرهنة فيثاغورث على الآتي:
«مربع الوتر، في أي مثلث قائم، يساوي مجموع مربعي الضلعين القائمين».
و(الشكل-1) يقدم إثباتاً لهذه المبرهنة اعتماداً على حساب مساحة المربع م ق ن ل بطريقتين مختلفتين، ومن ثم المقارنة بينهما.
 |
|
| مساحة المربع م ق ن ل = س2 + ع2 + 2 س.ع مساحة المربع م ق ن ل = ص2 + 2 س.ع | |
| الشكل (1) |
إذا كانت (ب، ج، د) من ثلاثيات فيثاغورث، وكانت ب، ج، د أولية نسبياً فيما بينها (أي ليس بينها قاسم مشترك غير الواحد)، فإنه:
1) لا يمكن أن تكون الأعداد الثلاثة فردية معاً أو زوجية معاً.
2) اثنان منها فرديان والثالث زوجي.
3) أكبر الأعداد الثلاثة فردي.
لإثبات ذلك:
1) يفرض جدلاً أن الأعداد الثلاثة ب، ج، د فردية، فمربع أكبرها (وليكن ب مثلاً) فردي. ثم إن العددين الصغيرين ج، د فرديان، فمربعاهما فرديان، أي أن: ج2 + د2 عدد زوجي.
لكن: ج2 + د2 = ب2 فالطرف الأيمن عدد زوجي، بينما الطرف الأيسر عدد فردي وهذا مستحيل.
كما لا يمكن أن تكون الأعداد الثلاثة زوجية معاً، إذ يصبح العدد 2 قاسماً مشتركاً لها وهذا خلاف الفرض.
2) لا يمكن أن يكون العددان الصغيران زوجيين معاً، لأن مجموع مربعيهما ج2 + د2 سيكون زوجياً، وبالتالي ب زوجي، وبذا يصبح العدد 2 قاسماً مشتركاً لها وهذا خلاف الفرض.
كما لا يمكن أن يكونا فرديين معاً. إذ إن:
ج = 2 ن + 1، د = 2 ك + 1 حيث ن، ك عددان طبيعيان، يجعل:
ب2 = ج2 + د2 = (2 ن + 1)2 + (2 ك + 1)2 = 2 [2 (ن2 + ن + ك + ك2) + 1]
وبالتالي الطرف الأيسر ليس مربعاً كاملاً، وهذا يخالف الطرف الأيمن.
إذن أحدهما زوجي والآخر فردي.
3) إن مجموع مربعي عددين أحدهما فردي والآخر زوجي، هو عدد فردي. إذن العدد الأكبر ب هو عدد فردي.
مثال (2): إذا كان ج عدداً فردياً (ج = 2 ن + 1، ن من ط)، فإن:
د = [ (2 ن + 1)2 -1] / 2 وب = [ (2 ن + 1)2 +1 ] / 2
يجعل ب2 = ج2 + د2.
فالثلاثيات (3، 4 ،5)، (5، 12، 13)، (7، 24، 25)، (9، 40، 41)،...، (ج، د، ب)،... من ثلاثيات فيثاغورث.
يلاحظ أن هذه الثلاثيات لها خاصة مميزة، وهي أن فيها عددين متتاليين د، ب.
مجموعة ثلاثيات فيثاغورث
إذا كان س، ع أي عددين طبيعيين، وكانت :
ب = س2 + ع2، ج = 2 س. ع، د = |س2 - ع2|
فإن (ب، ج، د) من ثلاثيات فيثاغورث.
مثال (3): بفرض س = 1، ع = 2 تكون:
ب = 5، ج = 4، د = 3.
وبفرض س = 2، ع = 3 تكون:
ب = 13، ج = 12، د = 5.
وبفرض س = 5، ع = 8 تكون:
ب = 89، ج = 80، د = 39.
وهكذا كلما أخذت س قيمة وع قيمة، تعينت ب، ج، د المقابلة. مثلاً إن الثلاثيات:
(17، 8، 15)، (145، 144، 17)، (97، 72، 65)، (233، 208، 105)، (257، 32، 255)، (1385، 296، 1353)، (1033، 192، 1015)،.... من ثلاثيات فيثاغورث.
رباعيات فيثاغورث Pythagorean quadruples
رباعيات فيثاغورث هي الرباعيات (ب، ج، د، ي)، ب، ج، د، ي من ط، التي مجموع مربعات ثلاث منها يساوي مربع الرابع.
إن مبرهنة فيثاغورث في الفضاء الإقليدي ثلاثي البعد (الشكل-2) يمكن صياغتها بالشكل: «مربع قطر متوازي المستطيلات م ق ن ل مَ قَ نَ لَ يساوي مجموع مربعات أبعاده الثلاثة. أي:
ر2 = س2 + ع2 + ص2.
 |
|
| ف2 = س2 + ع2 ر2 = ف2 + ص2 = س2 + ع2 + ص2 |
|
| الشكل (2) |
28 + 24 + 21 = 64 + 16 + 1 = 81 = 29.
كذلك الرباعية (9 ك، 8 ك، 4 ك، ك) حيث ك أي عدد طبيعي.
مجموعة رباعيات فيثاغورث
إذا كانت س، ع، ص، ف أعداداً طبيعية، وكانت:
ب = س2 + ع2 + ص2 + ف2، ج = 2 س. ع + 2 ص. ف،
د = | 2 ع. ص - 2 س. ف |، ي = | س2 - ع2 + ص2 - ف2|
فإن (ب، ج، د، ي) من رباعيات فيثاغورث.
مثال (5): بفرض س = ص = ف = 1، ع = 2 تكون:
ب = 7، ج = 6، د = 2، ي = 3.
و بفرض س = ع = ص = 2، ف = 3 تكون:
ب = 21، ج = 20، د = 4، ي = 5.
وهكذا متى أخذت كل من س، ع، ص، ف قيمة، تعينت ب، ج، د، ي المقابلة.
مثلاً إن الرباعيات:
(4، 2، 2، 1)، (8، 9، 72، 73)، (6، 10، 15، 19)، (2، 5، 14، 15)، (13، 14، 182، 183)، (26، 27، 702، 703)،
(27، 30، 814، 815)، (39، 54، 242، 251)، …
هي من رباعيات فيثاغورث.
أنور توفيق اللحام