تويت
معادلات تكامليه
- Equations intégrales
المعادلات التكاملية
المعادلة التكاملية التكامل integral equation هي كل معادلة تحوي دالة مجهولة وتكاملاً يحوي هذه الدالة تحت إشارة التكامل.
مثال (1) المعادلة
حيث الدالة K (x, t) تسمى النواة وتكون عادة معلومة. كذلك فإن الدالتين a (x), f (x) تكونان معلومتين أيضاً والمتحولان a ≤ x, t ≤ b معرفين أما الدالة ϕ (t) فهي دالة مجهولة.
مثال (2) المعادلة التكاملية
هي مطابقة محققة لأي دالة مستمرة.
ظهر مفهوم المعادلات التكاملية منذ عهد ريمان[ر] Riemann وتعزَّز في القرن السابع عشر وما بعده على أيدي علماء من أمثال بوانكاريه Poincaré وهلبرت Hilbert، وتعززت أبحاث المعادلات التكاملية بعلماء من أمثال فريدهولم Fredholm وڤولتيرا Volterra وتعمقت في السنوات الأخيرة بالمعادلات التكاملية المعتلَّة improper على أيدي علماء أمثال أوريسون وآخرين.
نمت موضوعات المعادلات التكاملية المتنوعة وتطورت؛ لارتباطها المباشر بعدد كبير من فروع الرياضيات مثل الحساب التفاضلي والحساب التكاملي والمعادلات التفاضلية وحساب التغيرات ومسائل التقريب والحلول المثلى والجيوديزيا والشروط الحدِّية، إضافة إلى كثير من المسائل ذات المفاهيم والصلات الفيزيائية.
بعض الأنواع الرئيسية للمعادلات التكاملية
1) معادلات تكاملية خطية حيث الدالة المجهولة فيها خطية وa ≤ x, t ≤ b وهي من الشكل
حيث f (x), K (x, t) دالتان معلومتان أما ϕ (t) فهي دالة مجهولة. ومن هذه المعادلات:
آ ـ معادلة فريدهولم ولها الشكل
حيث a, b عددان منتهيان. أو الشكل
حيث a, b غير منتهيين. والنواة K (x, t) والدالة f (x) إما أن يكونا مستمرين أو أن يحققا الشرط
وكذلك الشرط
وعندما f (x) ≡ 0 فإن المعادلة السابقة تسمى معادلة فريدهولم المتجانسة.
أما المعادلة:
فتمثل معادلة فريدهولم من النوع الأول.
عندما تكون النواة قابلة للنشر من الشكل
تشكل جملة مستقلة خطياً وكذلك الجملة
مستقلة خطياً؛ فإن المعادلة تأخذ الشكل
ـ معادلة ڤولتير
وa ≤ x, t ≤ b وf (x), K (x, t) دالتان معلومتان ومن أجل f (x) ≡ 0 فإن المعادلة
تمثل معادلة ڤولتير من النوع الثاني.
إن المعادلة التفاضلية
بالشروط الابتدائية u(k) (0) = ck حيث (k = 0, 1, …, n -1) تكافىء المعادلة التكاملية
حيث للنواة الشكل
وتوجد علاقة وثيقة بين المعادلة التكاملية والتفاضلية.
2) معادلات تكاملية غير خطية حيث الدالة المجهولة فيها غير خطية a ≤ x, t ≤ b. ومنها:
آ ـ معادلة أوريسون
حيث الدالة K (x, t, ϕ (t)) مستمرة في المتحولين x, t؛ a ≤ x, t ≤ b وتوجد M > 0 بحيث -M ≤ ϕ ≤ M وكحالة خاصة لهذه المعادلة معادلة هامرشتاين
والنواة K (x, t) هي نواة فريدهولم.
ب ـ معادلة ليابونوف ليخمنشتاين. والشكل القانوني لها
مع تحقق الشروط الثلاثة الآتية:
1) وجود التكامل
على المجال [0.1].
2) الدالة f (t, u) تحقق شرط ليبشتز
3) كذلك فإن
عندها معادلة ليابونوف ليخمنشتاين التكاملية لها حل مستمر.
ج ـ معادلة ڤولتير غير الخطية
والدالة K (x, t, ϕ (t)) مستمرة بالنسبة إلى متحولاتها الثلاثة x, t, ϕ وa ≤ x, t ≤ b و-M ≤ ϕ ≤ M.
توجد مسائل ترد لمعادلات تكاملية كإيجاد f (y) اعتماداً على دالة معطاة g (x) كما في العلاقة
والحل وفق فورييه هو
المعادلات التكاملية المتناظرة
وهي المعادلات التي نواتها K (x, t) متناظرة أي تحقق المساواة K (x, t) = K (x, t) ومن ثم نواتها من الشكل
المعادلات التكاملية الفردية أو المعتلة
وهي المعادلات التكاملية حيث النواة فيها متناظرة. أي K (x, t) = K (t, x) والتكاملات فيها على المجال [a, b] تكاملات معتلة.
والتكامل المعتل على المجال [a, b] للدالة f (x) غير المحدودة في جوار النقطة (الشاذة) c. حيث a ≤ c ≤ b هو النهاية
(إن وجدت).
وعندما f (x) يحقق على [a, b] شرط ليبشتز
حيث K ثابت. و0≤a ≤ 1 وx′, x′′ ∈ [a, b] يُلاحظ أن التكامل
يكون موجوداً.
وتحويلا هلبرت - ريس Riesz عندما تحقق الدالة f (x) شرط ليبشتز السابق على [∞, ∞]- مع 0 هما
والتكاملان بمفهوم القيمة الرئيسية.
وتحويل هلبرت
والدالتان ϕ (x), ψ (x) تحققان شرط ليبشتز مع a < 1 على المجال (الفترة) [0, 2π] والشرط
والشرط
وبمساعدة تحويلات هلبرت - ريس يمكن حل المعادلة التكاملية
عندما
حيث
مثال (3): إن معادلة هلبرت التكاملية الفردية
حيث f (s) دالة تحقق شرط ليبشتز a2+ b2 ≠ 0 وتشكل معادلة تكاملية مكافئة للمعادلة
وحلها يكون له الشكل:
وعندما تكون a = 0, b = 1. فالحل هو
أما عندما تكون a2 + b2 = 0 فإن معادلة هلبرت غير محلولة في الحالة العامة.
محيي الدين بحبوح
- Equations intégrales
المعادلات التكاملية
المعادلة التكاملية التكامل integral equation هي كل معادلة تحوي دالة مجهولة وتكاملاً يحوي هذه الدالة تحت إشارة التكامل.
مثال (1) المعادلة
حيث الدالة K (x, t) تسمى النواة وتكون عادة معلومة. كذلك فإن الدالتين a (x), f (x) تكونان معلومتين أيضاً والمتحولان a ≤ x, t ≤ b معرفين أما الدالة ϕ (t) فهي دالة مجهولة.
مثال (2) المعادلة التكاملية
هي مطابقة محققة لأي دالة مستمرة.
ظهر مفهوم المعادلات التكاملية منذ عهد ريمان[ر] Riemann وتعزَّز في القرن السابع عشر وما بعده على أيدي علماء من أمثال بوانكاريه Poincaré وهلبرت Hilbert، وتعززت أبحاث المعادلات التكاملية بعلماء من أمثال فريدهولم Fredholm وڤولتيرا Volterra وتعمقت في السنوات الأخيرة بالمعادلات التكاملية المعتلَّة improper على أيدي علماء أمثال أوريسون وآخرين.
نمت موضوعات المعادلات التكاملية المتنوعة وتطورت؛ لارتباطها المباشر بعدد كبير من فروع الرياضيات مثل الحساب التفاضلي والحساب التكاملي والمعادلات التفاضلية وحساب التغيرات ومسائل التقريب والحلول المثلى والجيوديزيا والشروط الحدِّية، إضافة إلى كثير من المسائل ذات المفاهيم والصلات الفيزيائية.
بعض الأنواع الرئيسية للمعادلات التكاملية
1) معادلات تكاملية خطية حيث الدالة المجهولة فيها خطية وa ≤ x, t ≤ b وهي من الشكل
حيث f (x), K (x, t) دالتان معلومتان أما ϕ (t) فهي دالة مجهولة. ومن هذه المعادلات:
آ ـ معادلة فريدهولم ولها الشكل
حيث a, b عددان منتهيان. أو الشكل
حيث a, b غير منتهيين. والنواة K (x, t) والدالة f (x) إما أن يكونا مستمرين أو أن يحققا الشرط
وكذلك الشرط
وعندما f (x) ≡ 0 فإن المعادلة السابقة تسمى معادلة فريدهولم المتجانسة.
أما المعادلة:
فتمثل معادلة فريدهولم من النوع الأول.
عندما تكون النواة قابلة للنشر من الشكل
تشكل جملة مستقلة خطياً وكذلك الجملة
مستقلة خطياً؛ فإن المعادلة تأخذ الشكل
ـ معادلة ڤولتير
وa ≤ x, t ≤ b وf (x), K (x, t) دالتان معلومتان ومن أجل f (x) ≡ 0 فإن المعادلة
تمثل معادلة ڤولتير من النوع الثاني.
إن المعادلة التفاضلية
بالشروط الابتدائية u(k) (0) = ck حيث (k = 0, 1, …, n -1) تكافىء المعادلة التكاملية
حيث للنواة الشكل
وتوجد علاقة وثيقة بين المعادلة التكاملية والتفاضلية.
2) معادلات تكاملية غير خطية حيث الدالة المجهولة فيها غير خطية a ≤ x, t ≤ b. ومنها:
آ ـ معادلة أوريسون
حيث الدالة K (x, t, ϕ (t)) مستمرة في المتحولين x, t؛ a ≤ x, t ≤ b وتوجد M > 0 بحيث -M ≤ ϕ ≤ M وكحالة خاصة لهذه المعادلة معادلة هامرشتاين
والنواة K (x, t) هي نواة فريدهولم.
ب ـ معادلة ليابونوف ليخمنشتاين. والشكل القانوني لها
مع تحقق الشروط الثلاثة الآتية:
1) وجود التكامل
على المجال [0.1].
2) الدالة f (t, u) تحقق شرط ليبشتز
3) كذلك فإن
عندها معادلة ليابونوف ليخمنشتاين التكاملية لها حل مستمر.
ج ـ معادلة ڤولتير غير الخطية
والدالة K (x, t, ϕ (t)) مستمرة بالنسبة إلى متحولاتها الثلاثة x, t, ϕ وa ≤ x, t ≤ b و-M ≤ ϕ ≤ M.
توجد مسائل ترد لمعادلات تكاملية كإيجاد f (y) اعتماداً على دالة معطاة g (x) كما في العلاقة
والحل وفق فورييه هو
المعادلات التكاملية المتناظرة
وهي المعادلات التي نواتها K (x, t) متناظرة أي تحقق المساواة K (x, t) = K (x, t) ومن ثم نواتها من الشكل
المعادلات التكاملية الفردية أو المعتلة
وهي المعادلات التكاملية حيث النواة فيها متناظرة. أي K (x, t) = K (t, x) والتكاملات فيها على المجال [a, b] تكاملات معتلة.
والتكامل المعتل على المجال [a, b] للدالة f (x) غير المحدودة في جوار النقطة (الشاذة) c. حيث a ≤ c ≤ b هو النهاية
(إن وجدت).
وعندما f (x) يحقق على [a, b] شرط ليبشتز
حيث K ثابت. و0≤a ≤ 1 وx′, x′′ ∈ [a, b] يُلاحظ أن التكامل
يكون موجوداً.
وتحويلا هلبرت - ريس Riesz عندما تحقق الدالة f (x) شرط ليبشتز السابق على [∞, ∞]- مع 0 هما
والتكاملان بمفهوم القيمة الرئيسية.
وتحويل هلبرت
والدالتان ϕ (x), ψ (x) تحققان شرط ليبشتز مع a < 1 على المجال (الفترة) [0, 2π] والشرط
والشرط
وبمساعدة تحويلات هلبرت - ريس يمكن حل المعادلة التكاملية
عندما
حيث
مثال (3): إن معادلة هلبرت التكاملية الفردية
حيث f (s) دالة تحقق شرط ليبشتز a2+ b2 ≠ 0 وتشكل معادلة تكاملية مكافئة للمعادلة
وحلها يكون له الشكل:
وعندما تكون a = 0, b = 1. فالحل هو
أما عندما تكون a2 + b2 = 0 فإن معادلة هلبرت غير محلولة في الحالة العامة.
محيي الدين بحبوح