تويت
التقريب العشري لعدد حقيقي
استناداً إلى أرخميدية ح يمكن القول إنه أياً كان س Э ح فثمة عدد صحيح وحيد م يحقق م≤ س≤ م +1 يدعى الجزء الصحيح لـ س، ويكتب [س]=م. وعلى هذا فإن [3.14]=3 و [-3.14]= -4 وهكذا...
ليكن الآن س عدداً حقيقياً ون عدداً طبيعياً. إن س×10ن عدد حقيقي، ولذا فإنه يوجد عدد صحيح وحيد من يحقق من ≤ س×10ن<1+من ومن ذلك ينتج أن من × 10-ن ≤ س< (1+من)×10-ن يدعى العدد سن =من ×10-ن القيمة العشرية التقريبية للعدد س (بالنقصان) [بينما ندعو صن = (1+من) × 10-ن القيمة العشرية التقريبية للعدد س بالزيادة] وبخطأ لايتجاوز 10-ن. ويشار هنا إلى أن المتتاليتين (سن) و(صن) متجاورتان، أي أنهما تحققان مايلي: سن≤س ن+1 ≤ ص ن+1 ≤ صن وَ نها ن!¥ (صن- سن) = نهان!¥ 10-ن = \ ويقتضي ذلك أن كل عدد حقيقي هو نهاية لمتتالية من عناصر مـ. يعبر عن ذلك بالقول: إن مـ كثيفة في ح.
يوجد شكل
التمثيل الهندسي للأعداد الحقيقية
يمكن أن تمثل مجموعة الأعداد الحقيقية بنقط مستقيم كما يلي: لتكن أولاً نقطة م على مستقيم D (يسمى المستقيم العددي) ويمثل بها العدد الحقيقي صفر (0)، ثم تؤخذ نقطة ثانية و(على يمين م مثلاً) ويمثل بها العدد الحقيقي واحد (1). ويقبل أنه يمكن أن يقابل أي عدد حقيقي س بنقطة وحيدة تدعى صورة س، كما يمكن أن تقابل أي نقطة هـ من D بعدد حقيقي وحيد سهـ يدعى فاصلة النقطة هـ.
المستقيم الحقيقي الموسع ح
من المعلوم أنه ليس لكل مجموعة غير خالية في ح «حد أعلى» أو «حد أدنى» إلا إذا كانت «محدودة من الأعلى» أو كانت «محدودة من الأدنى» على الترتيب. ومرد ذلك أنه ليس في ح عنصر أكبر (مما سواه) وليس فيها عنصر أصغر (مما سواه). ولذا كونت المجموعة حيث ح = {- ∞،+∞} È ح حيث - ∞ و+∞ عنصرين جديدين. تزود ح، والتي تدعى موسع ح أو المستقيم الحقيقي الموسع، بعلاقة ترتيب كلي يحدد الترتيب المعرف على ح وضمن الشرط -∞ < س < +∞ أياً كان س Э ح ويكون -∞ أصغر عناصر ح و +∞ أكبرها.
تمديد العمليات +، × ، ÷ إلى ح:
يمدد الجمع من ح إلى ح وفق ما يلي: " سЭ ح:س +∞ = ∞ +س =+∞ ، س + (-∞ )=(-∞ )+ س= -∞
كذلك (+∞ )+(+∞ )=+∞ ، (-∞ )+ (-∞ )= -∞
ويمدد الضرب كما يلي: " سЭ ح+-{0}: س × (+∞) = (+∞) × س = +∞ ، س × (-∞) = (-∞)×س= -∞
كذلك (+∞)×(+∞) =+∞ ، (-∞)× (-∞) = +∞.
أما إذا كان س<0 فيوضع س×(+∞) = (+∞) ×س = -∞ ، وَ س×(-∞) = (-∞)×س = +∞
كما يوضع س/+∞ = 0، س/-∞ = 0 أيا كان س من ح. ويشار إلى أنه لامعنى لـ +∞ -∞ أو لـ -∞ +∞ أو لـ 0× +∞ أو لـ 0× -∞ (مع أنه يصطلح في نظرية القياس على أن 0× +∞ =0)
الفترات (المجالات) المفتوحة
إذا كان ب، جـ Э ح، وكان ب ≤ جـ فإن مجموع العناصر س من ح المحققة للشروط ب < س < جـ تدعى فترة مفتوحة في ح، ويرمز لها بـ]ب، جـ[. فإذا كان ب، جـ Э ح دعيت الفترة ]ب، جـ[ فترة مفتوحة محدودة ودعي س0=ب+جـ/2 مركزها و جـ-ب/2 = ر نصف قطرها ول= جـ ـ ب طولها، بينما تدعى الفترة ]-∞، جـ[، بفرض أن جـ من ح، فترة مفتوحة محدودة من الأعلى، وتدعى الفترة ]ب، +∞[، بفرض أن ب من ح، فترة مفتوحة محدودة من الأدنى. يقال عن مج Ê ح إنها جوارٌ لـ س0 Э ح إذا كـانت مج تحوي فترة مفتوحة ينتمي إليها س0، بينما تسمى ]س0-ر،س0+ر[ حيث يكون ر > 0، جواراً نظامياً مفتوحاً لـ س0 وهو فترة مفتوحة مركزها س0 ونصف قطرها ر وطولها 2ر. يقال عن مج Ê ح إنها مجموعة مفتوحة في ح إذا كانت مج جواراً لكل نقطة من نقاطها، ويلاحظ هنا أن Φ، المجموعة الخالية، مفتوحة، وح أيضاً مجموعة مفتوحة، كما أن كل فترة مفتوحة هي مجموعة مفتوحة (وليس العكس صحيحاً بالضرورة). يلاحظ أن تقاطع عدد منته من المفتوحات مجموعة مفتوحة، وأن اتحاد أي جماعة من المفتوحات هو مجموعة مفتوحة. يدعى صف المجموعات المفتوحة في ح طبولوجيه ح. ويقال عن نقطة س0 من ح إنها نقطة تجمع (تراكم) للمجموعة مج Ê ح إذا حوى كل جوار لـ س0 مجموعة جزئية غير منتهية من عناصر مج. ويقال عن مج إنها مغلقة إذا حوت جميع نقط تجمعها، ويمكن أن يثبت أن مج مغلقة ⇔ مكملتها مفتوحة. ويمكن أن يرى بسهولة أنه أياً كان ب، جـ Э ح فإن مجموعة العناصر س Э ح المحققة للشرط ب≤ س ≤جـ، والتي يرمز لها بـ[ب، جـ]، هي مجموعة مغلقة تدعى عادة فترة مغلقة محدودة. كذلك فإنه إذا كان هـэح ، فإن مجموعة العناصر س من ح المحققة للشرط س ≤ هـ (أو س ≥ هـ)، والتي يرمز لها بـ ] -∞، هـ] (أو بـ[هـ، +∞[)، هي مجموعة مغلقة تدعى فترة مغلقة محدودة من الأعلى (من الأدنى). ويقال عن مج Ê ح إنها محدودة من الأعلى (من الأدنى) إذا كانت محتواة في فترة مفتوحة محدودة من الأعلى (من الأدنى)، ويقال إن مج محدودة إذا كانت محدودة من الأعلى ومن الأدنى، ويكفي لتحقق ذلك أن تكون مج محتواة في فترة مفتوحة محدودة. أصبح الآن من الممكن إيراد بعض المبرهنات المهمة في ح.
(1) مبرهنة الفترات المغلقة المحدودة المتداخلة: إذا كانت [بن،جـن] متتالية من الفترات المغلقة المحدودة والمتداخلة، أي إن كل فترة تحوي تاليتها، وإذا كانت المتتالية لن=جـن-بن متقاربة من الصفر فهنالك نقطة واحدة فقط هـ تشترك فيها جميع هذه الفترات، ويكون نها ن!¥ بن =نها ن!¥ جـن = هـ
(2) مبرهنة الحد الأعلى: إذا كانت مج غير خالية ومحدودة من الأعلى في ح، فإن في ح عنصراً وحيداً ل يدعى الحد الأعلى لـ مج يحقق مايلي: مج Ê ]-∞، ل] و لَ < ل Ü مج ]-∞، لَ]
(3) مبرهنة وجود الجذر التربيعي لأي عدد حقيقي موجب (أو الجذر من المرتبة ن حيث يكون ن عنصراً من ط*): إذا كان ب عدداً حقيقياً موجباً فثمة عنصر س э ح* ويحقق المساواة سن = ب يدعى العنصر س هذا، الجذر الموجب لـ ب، ويرمز له بـ ، ويكفي للتأكد من صحة هذه المبرهنة أن يلاحظ أن المجموعة {س: س Э ح* وسن ب} غير خالية وأنها محدودة من الأعلى. إذن يوجد في ح حد أعلى لها، وليكن ل، عندئذ ينتج أن لن= ن.
(4) مبرهنة بولزانو ـ فاير شتراس Bolzano- Weierstrass: لكل مجموعة غير منتهية ومحدودة في ح نقطة تجمع واحدة على الأقل.
(5) مبرهنة بوريل ـ لوبيغ Borel- Lebesgue: إذا كان اتحاد جماعة (مجهـ)هـdЭ من المفتوحات يحوي الفترة المغلقة المحدودة [ب، حـ] فيمكن أن توجد العناصر هـ1، هـ2،...هـن من مجموعة الأدلة d بحيث يكون مج هـ1 È...È مجهـ ن Í [ب، جـ] يعبر عن ذلك بالقول أن [ب، حـ] مجموعة متراصة.
(6) إن ح غير عدودة (أي غير قابلة للعد)، وإن مـ العدودة كثيفة فيها، أي إن كل فترة مفتوحة في ح لابد وأن تقطع بعبارة أخرى: إذا كان ب، جـэ ح وب <حـ فثمة عنصر س من بحيث يكون ب <س <حـ، كذلك فإن مكملة مـ في ح كثيفة في ح، كما أن كل عدد حقيقي هو نهاية لمتتالية من الأعداد المنطقة، وهو نهاية لمتتالية من الأعداد الصماء.
إنشاء ح
هناك عدة طرائق لأنشاء (تمثيل) ح
يلفت النظر هنا إلى أنه إذا كان هناك حقلان مرتبان تامان فإن ثمة تقابلاً من أحدهما إلى الآخر يحافظ على الجمع والضرب والترتيب فيهما. ولذا لايميز بينهما. وليكن البدء بإنشاء ديدكند Dedekind لـ ح.
استناداً إلى أرخميدية ح يمكن القول إنه أياً كان س Э ح فثمة عدد صحيح وحيد م يحقق م≤ س≤ م +1 يدعى الجزء الصحيح لـ س، ويكتب [س]=م. وعلى هذا فإن [3.14]=3 و [-3.14]= -4 وهكذا...
ليكن الآن س عدداً حقيقياً ون عدداً طبيعياً. إن س×10ن عدد حقيقي، ولذا فإنه يوجد عدد صحيح وحيد من يحقق من ≤ س×10ن<1+من ومن ذلك ينتج أن من × 10-ن ≤ س< (1+من)×10-ن يدعى العدد سن =من ×10-ن القيمة العشرية التقريبية للعدد س (بالنقصان) [بينما ندعو صن = (1+من) × 10-ن القيمة العشرية التقريبية للعدد س بالزيادة] وبخطأ لايتجاوز 10-ن. ويشار هنا إلى أن المتتاليتين (سن) و(صن) متجاورتان، أي أنهما تحققان مايلي: سن≤س ن+1 ≤ ص ن+1 ≤ صن وَ نها ن!¥ (صن- سن) = نهان!¥ 10-ن = \ ويقتضي ذلك أن كل عدد حقيقي هو نهاية لمتتالية من عناصر مـ. يعبر عن ذلك بالقول: إن مـ كثيفة في ح.
يوجد شكل
التمثيل الهندسي للأعداد الحقيقية
يمكن أن تمثل مجموعة الأعداد الحقيقية بنقط مستقيم كما يلي: لتكن أولاً نقطة م على مستقيم D (يسمى المستقيم العددي) ويمثل بها العدد الحقيقي صفر (0)، ثم تؤخذ نقطة ثانية و(على يمين م مثلاً) ويمثل بها العدد الحقيقي واحد (1). ويقبل أنه يمكن أن يقابل أي عدد حقيقي س بنقطة وحيدة تدعى صورة س، كما يمكن أن تقابل أي نقطة هـ من D بعدد حقيقي وحيد سهـ يدعى فاصلة النقطة هـ.
المستقيم الحقيقي الموسع ح
من المعلوم أنه ليس لكل مجموعة غير خالية في ح «حد أعلى» أو «حد أدنى» إلا إذا كانت «محدودة من الأعلى» أو كانت «محدودة من الأدنى» على الترتيب. ومرد ذلك أنه ليس في ح عنصر أكبر (مما سواه) وليس فيها عنصر أصغر (مما سواه). ولذا كونت المجموعة حيث ح = {- ∞،+∞} È ح حيث - ∞ و+∞ عنصرين جديدين. تزود ح، والتي تدعى موسع ح أو المستقيم الحقيقي الموسع، بعلاقة ترتيب كلي يحدد الترتيب المعرف على ح وضمن الشرط -∞ < س < +∞ أياً كان س Э ح ويكون -∞ أصغر عناصر ح و +∞ أكبرها.
تمديد العمليات +، × ، ÷ إلى ح:
يمدد الجمع من ح إلى ح وفق ما يلي: " سЭ ح:س +∞ = ∞ +س =+∞ ، س + (-∞ )=(-∞ )+ س= -∞
كذلك (+∞ )+(+∞ )=+∞ ، (-∞ )+ (-∞ )= -∞
ويمدد الضرب كما يلي: " سЭ ح+-{0}: س × (+∞) = (+∞) × س = +∞ ، س × (-∞) = (-∞)×س= -∞
كذلك (+∞)×(+∞) =+∞ ، (-∞)× (-∞) = +∞.
أما إذا كان س<0 فيوضع س×(+∞) = (+∞) ×س = -∞ ، وَ س×(-∞) = (-∞)×س = +∞
كما يوضع س/+∞ = 0، س/-∞ = 0 أيا كان س من ح. ويشار إلى أنه لامعنى لـ +∞ -∞ أو لـ -∞ +∞ أو لـ 0× +∞ أو لـ 0× -∞ (مع أنه يصطلح في نظرية القياس على أن 0× +∞ =0)
الفترات (المجالات) المفتوحة
إذا كان ب، جـ Э ح، وكان ب ≤ جـ فإن مجموع العناصر س من ح المحققة للشروط ب < س < جـ تدعى فترة مفتوحة في ح، ويرمز لها بـ]ب، جـ[. فإذا كان ب، جـ Э ح دعيت الفترة ]ب، جـ[ فترة مفتوحة محدودة ودعي س0=ب+جـ/2 مركزها و جـ-ب/2 = ر نصف قطرها ول= جـ ـ ب طولها، بينما تدعى الفترة ]-∞، جـ[، بفرض أن جـ من ح، فترة مفتوحة محدودة من الأعلى، وتدعى الفترة ]ب، +∞[، بفرض أن ب من ح، فترة مفتوحة محدودة من الأدنى. يقال عن مج Ê ح إنها جوارٌ لـ س0 Э ح إذا كـانت مج تحوي فترة مفتوحة ينتمي إليها س0، بينما تسمى ]س0-ر،س0+ر[ حيث يكون ر > 0، جواراً نظامياً مفتوحاً لـ س0 وهو فترة مفتوحة مركزها س0 ونصف قطرها ر وطولها 2ر. يقال عن مج Ê ح إنها مجموعة مفتوحة في ح إذا كانت مج جواراً لكل نقطة من نقاطها، ويلاحظ هنا أن Φ، المجموعة الخالية، مفتوحة، وح أيضاً مجموعة مفتوحة، كما أن كل فترة مفتوحة هي مجموعة مفتوحة (وليس العكس صحيحاً بالضرورة). يلاحظ أن تقاطع عدد منته من المفتوحات مجموعة مفتوحة، وأن اتحاد أي جماعة من المفتوحات هو مجموعة مفتوحة. يدعى صف المجموعات المفتوحة في ح طبولوجيه ح. ويقال عن نقطة س0 من ح إنها نقطة تجمع (تراكم) للمجموعة مج Ê ح إذا حوى كل جوار لـ س0 مجموعة جزئية غير منتهية من عناصر مج. ويقال عن مج إنها مغلقة إذا حوت جميع نقط تجمعها، ويمكن أن يثبت أن مج مغلقة ⇔ مكملتها مفتوحة. ويمكن أن يرى بسهولة أنه أياً كان ب، جـ Э ح فإن مجموعة العناصر س Э ح المحققة للشرط ب≤ س ≤جـ، والتي يرمز لها بـ[ب، جـ]، هي مجموعة مغلقة تدعى عادة فترة مغلقة محدودة. كذلك فإنه إذا كان هـэح ، فإن مجموعة العناصر س من ح المحققة للشرط س ≤ هـ (أو س ≥ هـ)، والتي يرمز لها بـ ] -∞، هـ] (أو بـ[هـ، +∞[)، هي مجموعة مغلقة تدعى فترة مغلقة محدودة من الأعلى (من الأدنى). ويقال عن مج Ê ح إنها محدودة من الأعلى (من الأدنى) إذا كانت محتواة في فترة مفتوحة محدودة من الأعلى (من الأدنى)، ويقال إن مج محدودة إذا كانت محدودة من الأعلى ومن الأدنى، ويكفي لتحقق ذلك أن تكون مج محتواة في فترة مفتوحة محدودة. أصبح الآن من الممكن إيراد بعض المبرهنات المهمة في ح.
(1) مبرهنة الفترات المغلقة المحدودة المتداخلة: إذا كانت [بن،جـن] متتالية من الفترات المغلقة المحدودة والمتداخلة، أي إن كل فترة تحوي تاليتها، وإذا كانت المتتالية لن=جـن-بن متقاربة من الصفر فهنالك نقطة واحدة فقط هـ تشترك فيها جميع هذه الفترات، ويكون نها ن!¥ بن =نها ن!¥ جـن = هـ
(2) مبرهنة الحد الأعلى: إذا كانت مج غير خالية ومحدودة من الأعلى في ح، فإن في ح عنصراً وحيداً ل يدعى الحد الأعلى لـ مج يحقق مايلي: مج Ê ]-∞، ل] و لَ < ل Ü مج ]-∞، لَ]
(3) مبرهنة وجود الجذر التربيعي لأي عدد حقيقي موجب (أو الجذر من المرتبة ن حيث يكون ن عنصراً من ط*): إذا كان ب عدداً حقيقياً موجباً فثمة عنصر س э ح* ويحقق المساواة سن = ب يدعى العنصر س هذا، الجذر الموجب لـ ب، ويرمز له بـ ، ويكفي للتأكد من صحة هذه المبرهنة أن يلاحظ أن المجموعة {س: س Э ح* وسن ب} غير خالية وأنها محدودة من الأعلى. إذن يوجد في ح حد أعلى لها، وليكن ل، عندئذ ينتج أن لن= ن.
(4) مبرهنة بولزانو ـ فاير شتراس Bolzano- Weierstrass: لكل مجموعة غير منتهية ومحدودة في ح نقطة تجمع واحدة على الأقل.
(5) مبرهنة بوريل ـ لوبيغ Borel- Lebesgue: إذا كان اتحاد جماعة (مجهـ)هـdЭ من المفتوحات يحوي الفترة المغلقة المحدودة [ب، حـ] فيمكن أن توجد العناصر هـ1، هـ2،...هـن من مجموعة الأدلة d بحيث يكون مج هـ1 È...È مجهـ ن Í [ب، جـ] يعبر عن ذلك بالقول أن [ب، حـ] مجموعة متراصة.
(6) إن ح غير عدودة (أي غير قابلة للعد)، وإن مـ العدودة كثيفة فيها، أي إن كل فترة مفتوحة في ح لابد وأن تقطع بعبارة أخرى: إذا كان ب، جـэ ح وب <حـ فثمة عنصر س من بحيث يكون ب <س <حـ، كذلك فإن مكملة مـ في ح كثيفة في ح، كما أن كل عدد حقيقي هو نهاية لمتتالية من الأعداد المنطقة، وهو نهاية لمتتالية من الأعداد الصماء.
إنشاء ح
هناك عدة طرائق لأنشاء (تمثيل) ح
يلفت النظر هنا إلى أنه إذا كان هناك حقلان مرتبان تامان فإن ثمة تقابلاً من أحدهما إلى الآخر يحافظ على الجمع والضرب والترتيب فيهما. ولذا لايميز بينهما. وليكن البدء بإنشاء ديدكند Dedekind لـ ح.