تويت
اعداد حقيقيه (حقل)
Real numbers - Nombres réels
الأعداد الحقيقية ح (حقل ـ)
من المعلوم أن مجموعة الأعداد الطبيعية ط تقبل الجمع والضرب (أي إن عمليتي الجمع والضرب في ط مغلقتان فيها)، ولكنها لا تقبل الطرح ولا التقسيم إلا في بعض الحالات، ولجعل هاتين العمليتين ممكنتين أُنشئت حلقة الأعداد الصحيحة ص، وفيها أصبح الطرح ممكناً، وأصبح للمعادلة أ+س=ب حل وحيد في ص أياً كان أ،ب Э ط؛ ثم أُنشئت مجموعة الأعداد المُنْطَقة (أو الكسرية أو العادية) مـ وفيها أصبح التقسيم على عدد غير معدوم ممكناًَ، وأصبح للمعادلة أ × س = ب (بفرض أن أ ≠\) حل وحيد يرمز له بـ ب/أ
وذلك أياً كان أ Э ص*= ص- ل{0}، وأياً كان ب Эص. ولكن هل يمكن أن تحل في مـ المعادلة ( س2=2)؟ والجواب الصحيح لا، والتعليل كما يلي: لو وجد في مـ عنصر من الشكل ب/جـ بفرض أن ب، حـ غير قابلين للاختصار، مربعه =2، لكان ب2=2حـ2، وهذا يقتضي أن يكون ب عدداً زوجياً من الشكل ب= 2هـ مثلاً، حيث هـ Э ص، ويؤدي هذا بدوره إلى المساواة (2هـ)2= 2جـ2 أي إلى 4هـ = 2جـ2، ومن ثم فإن جـ2 = 2هـ2 وحـ عدد زوجي، وهذا يتنافى مع ما افتُرض. ينتج من ذلك أن «العدد» الذي يقيس طول قطر مربع طول ضلعه واحدة الأطوال، ويشار لهذا العدد بـ كما هو مألوف، ليس عدداً منطقاً. كذلك فإن «العدد» الذي يقيس طول محيط دائرة قطرها واحدة الأطوال والذي يرمز بـ π ليس عدداً منطقاً. إذن هناك حاجة لحقل مرتب «جديد» من الأعداد يشمل حقل الأعداد المنطقة ويتمتع بخاصة تضمن وجود الأعداد و πوما يماثلها...
يرمز بـ ح لحقل مرتب أرخميدي يغمر مـ ويتمتع بخاصة التمام، وليكن الحديث أولاً عما يُقصد بالحقل المرتب.
إن القول (ح حقل مرتب) يعني أن ح (وسيطلق عليها فيما يلي اسم مجموعة الأعداد الحقيقية real numbers) هي مجموعة عرّف عليها عمليتا جمع+، وضرب ×، وزوِّدت بعلاقة ترتيب كلي ≥ وبحيث تتحقق الخواص التالية:
ـ (ح، +) زمرة تبادلية يرمز لعنصرها المحايد بـ \ ، ويسمى الصفر، ويرمز لنظير العنصر س بـ -س.
ـ (ح*، ×) زمرة تبادلية يرمز لعنصرها المحايد بـ 1، ويسمى الواحد، ويرمز لمقلوب العنصر س (من ح* ) بـ 1/س أو بـ س-1 وذلك بفرض أن ح* = ح-{0}.
ـ الضرب توزيعي على الجمع، أي إن: ب × (حـ + د)= (ب × حـ) + (ب × د) مهما تكن ب، حـ، د من ح.
يُعبَّر عما سبق بالقول: إن (ح، +، ×) حقل تبديلي.
ـ علاقة الترتيب ≥ منسجمة مع العمليتين +، × أي:
(1) س ≥ ع ⇐ س + ص ≥ ع + ص، ∀ س، ع، ص Э ح
(2) س ≥ 0 وَ ع ≥ 0 ⇐ س × ع ≥ 0، ∀ س، ع Э ح
سيرمز بـ ح+ لمجموعة العناصر س Э ح المحققة للشرط س ≥ 0، وتدعى مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة (أو غير السالبة)، وسيرمز بـ ح- لمجموعة العناصر س Э ح المحققة للشرط 0≥ س، وتدعى مجموعة الأعداد الحقيقية السالبة (غير الموجبة). استناداً لما سبق ينتج:
س، ع Э ح+ ⇐ س + ع Э ح+، س × ع Э ح+
س، ع Э ح- ⇐ س × ع Эح-، س × ع Э ح+
ح+ ح-= ح، ح+∩ ح-= {0}
يعبر عما سبق بالقول: إن (ح، +، ×، ≥) حقل مرتب.
والقول (ح حقل مرتب أرخميدي) يعني أنه مهما كان س من ح فإنه يوجد عنصر ن من ط بحيث يكون ن ≥ س.
والقول (ح يغمر مـ) يعني أن ثمة تطبيقاً تا: مـ ← ح متبايناً يصون الجمع والضرب والترتيب:
تا(ب+حـ)= تا(ب)+ تا(حـ)، تا(ب×حـ)= تا (ب) × تا(حـ)، ب ≥ جـ ⇐ تا(ب) ≥ تا(جـ)، وذلك أياً كان ب، حـ من ح. لذا سيطابق بين تا(مـ) و مـ، وتعد مـ مجموعة جزئية من ح.
وقبل الحديث عن خاصة التمام ليكن التعريف التالي:
القيمة المطلقة لعدد حقيقي (أو نظيمه): إذا كان س أي عدد حقيقي غير معدوم فإن أكبر العددين س، ـ س يسمى القيمة المطلقة للعدد الحقيقي س أو نظيم س ويُرمز لها بـ |س| أو‖س‖. أما إذا كان س=0 فإنه يكتب |\|=\، ينتج عن ذلك ما يلي:
|س|= س إذا كان س Э ح+ و|س|=-س إذا كان س Эح- .
|س×ع|=|س|×|ع|، |س+ع|≤|س|+|ع|، وذلك أياً كان س، ع Эح . ثم إن |س| =0 ó س=0
يعبر عما سبق بالقول: إن (ح،|0| ) حقل منظم.
ـ خاصة التمام: يقال عن الحقل المنظم (ح،|0|) إنه تام إذا كانت كل متتالية كوشية في ح متقاربة (أي لها نهاية) في ح، حيث يقال عن متتالية (سن) من عناصر مـ أو ح إنها كوشية أو أساسية إذا تحقق مايلي:
مقابل أي عدد منطق أو حقيقي هـ > 0 يمكن أن يعين عدد طبيعي نهـ بحيث يقتضي تحقق المتراجحة ن≥ م ≥ نهـ تحقق المتراجحة |سن_سم|<هـ، ، ويقال عن متتالية (سن) من مـ (أو من ح) إنها متقاربة فيها إذا وجد عدد ل من مـ (أو من ح) بحيث يتحقق مايلي:
مقابل أي عدد منطق أو حقيقي هـ > 0 يمكن أن يعين عدد طبيعي نهـ بحيث يقتضي تحقق المتراجحة ن ≥ نهـ تحقق المتراجحة |س_ ل| <هـ. يدعى هذا العدد ل نهاية المتتالية (سن)، ويكتب نهان !هـ سن= ل.
ومن الواضح أن كل متتالية متقاربة في مـ (أو ح) تكون كوشية، وتنص خاصة التمام على صحة العكس في ح.
العدد e
لتكن (سن) المتتالية من عناصر مـ (فهي إذن من عناصر ح) المعرفة كما يلي:
| س0=1،س1=س0+1=2،س2=س1+ | 1 | ،...،س ن+1=س ن+ | 1 | =1+...+ | 1 | ، |
| 2! | ن! | ن! |
| س ن-س م = | 1 | + | 1 | +...+ | 1 | ، (ن-م) حداً، ويكون |
| (م+1)! | (م+2)! | ن! |
 |
 |
| ولما كانت |  |
إن e ليس عدداً منطقاً لأنه لو فرض e= ب/جـ (ب، جـ عددان طبيعيان غير معدومين)، فإن 1-e = جـ/ب، واستناداً إلى دستور مكلوران Maclaurin.
 |
| (بفرض أن 0 < | θ | <1) ينتج: |