تويت
اعداد عقديه (حقل)
Complex numbers - Nombres complexes
الأعداد العقدية (حقل ـ)
إن مجموعة الأعداد العُقدية omplex numbers هي توسيع لمجموعة الأعداد الحقيقية، وفي إطارها أمكنت الإجابة عن أسئلة كثيرة تعذرت الإجابة عنها في إطار الأعداد الحقيقية، مثل حل المعادلة س2+1=0.
يعرف العدد العقدي (المركب) على أنه تركيب ب+ ت حـ، وذلك بفرض أن ب،حـ حقيقيان وأن ت عدد تخيلي يحقق ت2= -1.
لمحة تاريخية
ظهرت الأعداد العقدية قبل أن يكتمل وضوح الأعداد السالبة والأعداد غير المنطقة (الصماء)، وكان ذلك عندما حاول الجبريون الإيطاليون في عصر النهضة حل معادلات من الدرجة الثالثة. لقد لاحظ كاردان (1501- 1576) Cardan أنه يمكن أن يكون من بين جذور المعادلة س3+مـ س=ن جذر تربيعي لعدد سالب، وتجرأ بومبيلي Bombelli، وهو من رياضيي القرن السادس عشر، فأدخل في حساباته المقدار بفرض أن ب عدد موجب، وسمي هذا المقدار مقداراً مستحيلاً، كما قدم بومبيلي تقريبات للعمليات الحسابية الأساسية الأربع مستخدماً المقدار المستحيل (بعبارات تكاد تكون حديثة). وقبل ألبرت جيرار (1595- 1632) Girard الجذور العقدية للمعادلات، وكان أول من أكد أن ن جذر للمعادلة من الدرجة ن، شرط إدخال الجذور المستحيلة ضمن هذا العدد. ولقد رفض ديكارت[ر] في هندسته تعبير الأعداد المستحيلة واستخدم بدلاً منه تعبير الجذور التخيلية.
تعامل رياضيو القرن السابع عشر مع الأعداد العقدية واستخدموها بثقة كبيرة قبل أن يتأكد الوجود الرياضي للأعداد العقدية، كما أنهم لم يترددوا في استخدام لغرتمات الأعداد التخيلية.
وفي منتصف القرن الثامن عشر برهن دالمبير[ر] على إمكان كتابة كل عدد عقدي على النحو ب + ت حـ بفرض أن ب، حـ عددان حقيقيان، كما عمم رياضيو هذا القرن عمليات الأعداد الحقيقية على الأعداد العقدية، ويعود الفضل إلى وسِّل Wessel (عام 1797)، وأرغاند (1768- 1822) Argand في تمثيل الأعداد العقدية بمتجهات مستوية، غير أن غوس (1798- 1831) Gauss هو الذي وضح العلاقة بين الأعداد العقدية ونقاط المستوي، فكل عدد عقدي ص= ب + ت حـ يقابَل بنقطة من المستوي المنسوب إلى نظام مقارنة ديكارتي قائم.
ولكن البناء الحدسي لمجموعة الأعداد العقدية لم يرق للجبريين مثل هاملتون (1805- 1865) Hamilton، فحاولوا بناء هذه المجموعة منطقياً انطلاقاً من قاعدة، هي مجموعة الأعداد الحقيقية (على الرغم من أنها لم تكن قد عرفت آنذاك على نحو دقيق). انطلقوا من تعريف الأعداد العقدية على أنها ثنائيات مرتبة (أزواج) من الأعداد الحقيقية.
جمع الأعداد العقدية
يرمز لمجموعة الأعداد العقدية بـ ق. وإذا كان ص، صَ عنصرين من هذه المجموعة، وكان ص= ب+ ت حـ، صَ= بَ+ ت حـَ، فإن حاصل جمع (مجموع) هذين العددين هو عدد عقدي يعرّف بـ:
ص+ صَ= (ب+ بَ) + ت(حـ+ حـَ)
يمكن استناداً إلى هذا التعريف وإلى خصائص عملية الجمع في حقل الأعداد الحقيقية ح إثبات أن عملية جمع الأعداد العقدية تبادلية وتجميعية، وأن العنصر 0= 0+ 0ت هو عنصر حيادي فيها وأن لكل عنصر ب + ت حـ من ق نظيراً هو -ب -بَ حـ. وبهذا يكون لمجموعة الأعداد العقدية المزودة بعملية الجمع هذه بنية زمرة تبادلية (آبلية).
ضرب الأعداد العقدية
إذا كان ص = ب + ت حـ، صَ = بَ + ت حـَ عددين عقديين، فإن جداء هذين العددين هو، بالتعريف، العدد العقدي:
ب بَ - حـ حـَ+ ت(ب حـَ + حـ بَ). يرمز لهذا الجداء بـ ص صَ. ويلاحظ أن عملية الضرب هذه لاتختلف عن ضرب أي ثنائي حدين (حدانية) بآخر مع ملاحظة أن ت2= -1: (ب + ت حـ). (بَ + ت حـَ)
= ب بَ + ت ب حـَ + ت حـ بَ + ت2 حـ حـَ
= ب بَ - حـ حـَ + ت(ب حـَ + حـ بَ).
وتتصف عملية الضرب هذه بأنها تبادلية أي أن ص صَ= صَ ص وتجمعية أي إن ص(صَ صً) = (ص صَ) صً، وأن العدد 1= 1+ت هو عنصر حيادي فيها أي إن ص.1=1.ص = ص، ثم إن لكل عنصر ص = ب+ ت حـ مختلف عن الصفر مقلوباً (نظيراً ضربياً) هو
 |
يضاف إلى ماذكر أن عملية الضرب توزيعية على عملية الجمع، أي إن ص(صَ+صً) =ص صَ+ص صً مهما كانت الأعداد العقدية ص، صَ، صً. ولذلك يمكن القول إن لمجموعة الأعداد العقدية المزودة بعمليتي الجمع والضرب المذكورتين بنية حقل تبادلي.
حقل الأعداد العقدية ليس حقلاً مرتباً
يمكن تعريف علاقة ترتيب على ق كالعلاقة المسماة الترتيب المعجميlexicographic order التي يمكن تعريفها على النحو التالي:
إذا كان ص= ب + ت حـ، صَ = بَ + ت حـَ فإن ص < صَ إذا كان ب < بَ أو كان ب= بَ، حـ < حـَ. ويمكن بسهولة التحقق من انعكاسية هذه العلاقة وتعديها وتناظرها التخالفي، فهي علاقة ترتيب.
ومع أنه يمكن تعريف علاقة ترتيب على ق، فإنه لا يمكن لـ ق أن يكون حقلاً مرتباً، لأنه يجب أن يكون مربع أي عنصر من عناصر حقل مرتب عنصراً موجباً، ومجموع أي عنصرين موجبين موجباً. ولكن
(1+0ت)2=1،(0+ت)2=-1
في حين يجب أن يكون أحد العددين 1 و-1 موجباً والآخر سالباً.
ق تغمر ح
إن مجموعة الأعداد العقدية ب+.ت هي مجموعة جزئية من ق، فإذا رمز لهذه المجموعة الجزئية بـ ح*، فإن ح* متماكلة (متماثلة الشكل) isomorphic مع مجموعة الأعداد الحقيقية ح، لأن التطبيق تا: ح* ! ح المعرف بـ: تا(ب +0ت)= ب، غامر ومتباين، كما أنه يحافظ على عمليتي الجمع والضرب.
 |
|