تويت
عد (نظم)
Number systems - Systèmes de nombre
العد (نظم ـ)
نظام العد number system هو عدد الرموز المختلفة التي يمكن أن تُعبّر عن الكمّيات، وحسب عدد هذه الرموز يُطلق على النظام الاسم الموافق، فنظام العد العشري decimal، المستخدم حالياً، سُمّي بذلك لأنه يستخدم عشرة رموز (أرقام) هي:k9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0، والنظام الإثنينيbinary يستخدم رمزين فقط k0 وk1، ويسمى عدد الرموز أساس النظام.
لمحة تاريخية
ظهرت الحاجة للعد منذ أن وُجِد الإنسان على الأرض، لذا اخترع الأرقام، وأوجد نظماً كثيرة لاستخدامها. كانت أنظمة العد القديمة ذات طابع تجميعي، كالتي استعملت عند قدماء المصريين والرومان واليونان وغيرهم، فقد استخدم المصريون نظام العد العشري المستوحى من أصابع اليدين وسيلة للعد، مستخدمين (قبل 5000 سنة) الأرقام الهيروغليفية ولكن هذا النظام لم يستخدم مبدأ الموضع place-system، وإنما استخدم مبدأ التجميع، فرمز للآحاد بالرمز | وللعشرات بـ «∩وغير ذلك من الرموز. فالكتابة |||∩∩∩∩ تعني العدد العشري k43. واستخدمت أيضاً أنظمة العد الهجائية alphabet system، التي تظهر فيها الأعداد متتاليةً من حروف الهجاء، وبإضافة خط أو رمز من الأعلى أو من الأسفل لتمييز الأعداد عن الكلمات، فالعدد العشري 43 يُكتب في النظام اليوناني
، غير أن مشكلة هذه النظم هي عجزها عن تمثيل الأعداد الكبيرة جداً. وكان هناك أيضاً نظام العد الستيني sexagesimal عند السومريين والبابليين، والنظام العشريني vigesimal عند هنود المايا في وسط أمريكا، إذ استخدموا أصابع اليدين والقدمين معاً.
ظهر نظام العد العشري المستخدم اليوم، في القرن الخامس الميلادي في الهند. وقد هيأت خبرات العرب في استخدام النظام الستيني الذي تعلموه من السومريين والبابليين، لاكتشاف الطاقات الهائلة للنظام العشري الكامل، الذي يسمح بكتابة أي عدد كبير بأسلوبٍ بسيط سهل، باستخدام العمليات الحسابية السهلة. وكان لاكتشاف رمز الصفر أثرٌ في نقل الحساب من الشكل الحسّي إلى الشكل المجرد، وعُدّت المراتب العددية إلى جانب المظهر الفيزيائي للعدد حاسمة في التعرف إليه. فالقيمة الحقيقية لكل رقم لايمكن أن تُعرف إلا بدمج قيمته الأساسية بقيمته المكانية التي يوضحها موقع الرقم في العدد. وتمثَّل المراتب بدءاً من اليمين: الآحاد فالعشرات فالمئات وهكذا، فقوى العشرة تشير إلى القيمة المكانية للرقم، فالرقم 6 مثلاً، يمكن أن يكون ست واحدات أو ست عشرات أو ست مئات في العدد 666، حيث:
k666 = 6× 102 + 6×101 +6× 100 = 600 + 60 +6
وظهر نظام العد الإثنيني في عام 1694 في أعمال الألماني لايبنتس Leibnitz، حيث إن القيمة المكانية لأي رقم تساوي ضعفي الخانة التي تقع على يمينها. وقد ارتبط بهذا النظام نظامان آخران هما النظام الثماني octal والنظام الست عشريhexadecimal.
يمثّل العدد الكسري k(ak ak-1 ...a1 a0b1b2...)n في نظام العد ذي الأساس n بالمجموع:
حيث ak ak-1 ...a1 a0 b1b2...k أرقام أو رموز نظام العد المستخدم.
يبين الجدول 1ـ أهم نظم العد المستخدمة:
حيث يقابل في النظام الست عشري الرمز Aالعدد العشري 10 والرمز B العدد العشري 11 وهكذا، فالرمز F يقابل العدد العشري 15.
التحويل بين نظم العد
يمكن تحويل أي عدد N في النظام n إلى نظامٍ آخر أساسه r، باستخدام متتالية من عمليات التقسيم: نقسّم كل مرة على r ويُرمز لباقي القسمة بالرمز Ai ولناتج القسمة بالرمز Ni، أي إن Ai < r:
N = r× N1 + A0, N1=r ×N2 +A1 , ...k
وتُرتّب العمليات في الجدول:
ويكون Nn = (As As-1 ... A1 A0)r
حيث إن الدليل r وn يشيران إلى أساس العد المستخدم في النظامين المحول منه والمحول إليه على التوالي.
تُطبّق هذه الخوارزمية، مثلاً، لتحويل العدد العشري 163 إلى النظام الإثنيني (يُستمر في القسمة على 2):
أي إن k(163)10 = (10100011)2
ولتحويل هذا العدد العشري إلى النظام الثماني (يُقسم بشكل متكرر العدد 163 على أساس العدد 8):
أي أن k(163)10 = (10100011)2 = (243)8
يمكن تحويل أي عدد N في النظام n إلى النظام العشري باستخدام مفهوم القيمة المكانية للرقم، ويُضرب الرقم الأيمن بـ 1، ثم يُضرب الرقم الذي يليه بـ r والرقم الذي يليه بـ r2 ، ونتابع هكذا حتى الرقم الأخير، ومن ثم تُجمع النواتج فنحصل على العدد في النظام ذي الأساس r.
فمثلاً،
ويتم التحويل من النظام الإثنيني إلى النظام الثماني بتقسيم العدد في النظام الإثنيني إلى مجموعات كل منها مكوّن من ثلاث بتات بدءاً من الفاصلة الكسرية وإعطاء كل مجموعة الخانة المقابلة في النظام الثماني
ويحول العدد في النظام الإثنيني إلى النظام الست عشري بتقسيمه إلى مجموعات كل منها مكون من أربع بتات بدءاً من الفاصلة الكسرية وإعطاء كل مجموعة الخانة المقابلة في النظام الست عشري
التطبيقات التقانية لنظم العد
يستخدم الحاسوب computer نظام العد الإثنيني، لأن عمله يعتمد على مبدأ المفاتيح الإلكترونية الذي يمكن أن يأخذ إحدى الوضعيتين:on - مفتوح (مرور التيار) وتمثّل بالرقم 1 أو off - مغلق (عدم مرور التيار) وتمثّل بالرقم m0. ويتم تبادل المعلومات بين الوسط الخارجي والحاسوب بوساطة جهاز يسمى المترجم compiler حيث يحوّل المعلومات إلى رموز وفق النظام الإثنيني تخزّن في الذاكرة ويستجيب لها الحاسوب. وتقسم الذاكرة إلى مواضع حجم كل منها قدره بايتbytes. ويتألف البايت من ثماني وحدات إثنانية تسمى البت bit، والبت هو خانة إثنينية تمثل أصغر وحدة تخزين تحمل إحدى القيمتين 1 أو 0.
معاذ عبد المجيد
Number systems - Systèmes de nombre
العد (نظم ـ)
نظام العد number system هو عدد الرموز المختلفة التي يمكن أن تُعبّر عن الكمّيات، وحسب عدد هذه الرموز يُطلق على النظام الاسم الموافق، فنظام العد العشري decimal، المستخدم حالياً، سُمّي بذلك لأنه يستخدم عشرة رموز (أرقام) هي:k9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0، والنظام الإثنينيbinary يستخدم رمزين فقط k0 وk1، ويسمى عدد الرموز أساس النظام.
لمحة تاريخية
ظهرت الحاجة للعد منذ أن وُجِد الإنسان على الأرض، لذا اخترع الأرقام، وأوجد نظماً كثيرة لاستخدامها. كانت أنظمة العد القديمة ذات طابع تجميعي، كالتي استعملت عند قدماء المصريين والرومان واليونان وغيرهم، فقد استخدم المصريون نظام العد العشري المستوحى من أصابع اليدين وسيلة للعد، مستخدمين (قبل 5000 سنة) الأرقام الهيروغليفية ولكن هذا النظام لم يستخدم مبدأ الموضع place-system، وإنما استخدم مبدأ التجميع، فرمز للآحاد بالرمز | وللعشرات بـ «∩وغير ذلك من الرموز. فالكتابة |||∩∩∩∩ تعني العدد العشري k43. واستخدمت أيضاً أنظمة العد الهجائية alphabet system، التي تظهر فيها الأعداد متتاليةً من حروف الهجاء، وبإضافة خط أو رمز من الأعلى أو من الأسفل لتمييز الأعداد عن الكلمات، فالعدد العشري 43 يُكتب في النظام اليوناني
، غير أن مشكلة هذه النظم هي عجزها عن تمثيل الأعداد الكبيرة جداً. وكان هناك أيضاً نظام العد الستيني sexagesimal عند السومريين والبابليين، والنظام العشريني vigesimal عند هنود المايا في وسط أمريكا، إذ استخدموا أصابع اليدين والقدمين معاً. ظهر نظام العد العشري المستخدم اليوم، في القرن الخامس الميلادي في الهند. وقد هيأت خبرات العرب في استخدام النظام الستيني الذي تعلموه من السومريين والبابليين، لاكتشاف الطاقات الهائلة للنظام العشري الكامل، الذي يسمح بكتابة أي عدد كبير بأسلوبٍ بسيط سهل، باستخدام العمليات الحسابية السهلة. وكان لاكتشاف رمز الصفر أثرٌ في نقل الحساب من الشكل الحسّي إلى الشكل المجرد، وعُدّت المراتب العددية إلى جانب المظهر الفيزيائي للعدد حاسمة في التعرف إليه. فالقيمة الحقيقية لكل رقم لايمكن أن تُعرف إلا بدمج قيمته الأساسية بقيمته المكانية التي يوضحها موقع الرقم في العدد. وتمثَّل المراتب بدءاً من اليمين: الآحاد فالعشرات فالمئات وهكذا، فقوى العشرة تشير إلى القيمة المكانية للرقم، فالرقم 6 مثلاً، يمكن أن يكون ست واحدات أو ست عشرات أو ست مئات في العدد 666، حيث:
k666 = 6× 102 + 6×101 +6× 100 = 600 + 60 +6
وظهر نظام العد الإثنيني في عام 1694 في أعمال الألماني لايبنتس Leibnitz، حيث إن القيمة المكانية لأي رقم تساوي ضعفي الخانة التي تقع على يمينها. وقد ارتبط بهذا النظام نظامان آخران هما النظام الثماني octal والنظام الست عشريhexadecimal.
يمثّل العدد الكسري k(ak ak-1 ...a1 a0b1b2...)n في نظام العد ذي الأساس n بالمجموع:
حيث ak ak-1 ...a1 a0 b1b2...k أرقام أو رموز نظام العد المستخدم.
يبين الجدول 1ـ أهم نظم العد المستخدمة:
حيث يقابل في النظام الست عشري الرمز Aالعدد العشري 10 والرمز B العدد العشري 11 وهكذا، فالرمز F يقابل العدد العشري 15.
التحويل بين نظم العد
يمكن تحويل أي عدد N في النظام n إلى نظامٍ آخر أساسه r، باستخدام متتالية من عمليات التقسيم: نقسّم كل مرة على r ويُرمز لباقي القسمة بالرمز Ai ولناتج القسمة بالرمز Ni، أي إن Ai < r:
N = r× N1 + A0, N1=r ×N2 +A1 , ...k
وتُرتّب العمليات في الجدول:
ويكون Nn = (As As-1 ... A1 A0)r
حيث إن الدليل r وn يشيران إلى أساس العد المستخدم في النظامين المحول منه والمحول إليه على التوالي.
تُطبّق هذه الخوارزمية، مثلاً، لتحويل العدد العشري 163 إلى النظام الإثنيني (يُستمر في القسمة على 2):
أي إن k(163)10 = (10100011)2
ولتحويل هذا العدد العشري إلى النظام الثماني (يُقسم بشكل متكرر العدد 163 على أساس العدد 8):
أي أن k(163)10 = (10100011)2 = (243)8
يمكن تحويل أي عدد N في النظام n إلى النظام العشري باستخدام مفهوم القيمة المكانية للرقم، ويُضرب الرقم الأيمن بـ 1، ثم يُضرب الرقم الذي يليه بـ r والرقم الذي يليه بـ r2 ، ونتابع هكذا حتى الرقم الأخير، ومن ثم تُجمع النواتج فنحصل على العدد في النظام ذي الأساس r.
فمثلاً،
ويتم التحويل من النظام الإثنيني إلى النظام الثماني بتقسيم العدد في النظام الإثنيني إلى مجموعات كل منها مكوّن من ثلاث بتات بدءاً من الفاصلة الكسرية وإعطاء كل مجموعة الخانة المقابلة في النظام الثماني
ويحول العدد في النظام الإثنيني إلى النظام الست عشري بتقسيمه إلى مجموعات كل منها مكون من أربع بتات بدءاً من الفاصلة الكسرية وإعطاء كل مجموعة الخانة المقابلة في النظام الست عشري
التطبيقات التقانية لنظم العد
يستخدم الحاسوب computer نظام العد الإثنيني، لأن عمله يعتمد على مبدأ المفاتيح الإلكترونية الذي يمكن أن يأخذ إحدى الوضعيتين:on - مفتوح (مرور التيار) وتمثّل بالرقم 1 أو off - مغلق (عدم مرور التيار) وتمثّل بالرقم m0. ويتم تبادل المعلومات بين الوسط الخارجي والحاسوب بوساطة جهاز يسمى المترجم compiler حيث يحوّل المعلومات إلى رموز وفق النظام الإثنيني تخزّن في الذاكرة ويستجيب لها الحاسوب. وتقسم الذاكرة إلى مواضع حجم كل منها قدره بايتbytes. ويتألف البايت من ثماني وحدات إثنانية تسمى البت bit، والبت هو خانة إثنينية تمثل أصغر وحدة تخزين تحمل إحدى القيمتين 1 أو 0.
معاذ عبد المجيد