تويت
عشوايي (متغير)
Random variable - Variable aléatoire
العشوائي (المتغير ـ)
تعرَّف التجربة بأنها أي عملية تؤدي إلى قياس أو ملاحظة. فعدد الخريجين من كلية العلوم مثلاً هو قياس كمي، ومن سيفوز بسباق جري هو قياس وصفي، ويمكن دوماً، ردُّ المشاهدات الوصفية إلى مشاهدات كمية بتخصيص عدد لكل نتيجة وصفية وفق نظام معين سابقاً؛ فيسجل مثلاً الرقم (1) إذا فاز أحمد بالسباق والرقم (0) إذا لم يفز أحمد بالسباق. فإذا رمز لعدد الخريجين بـ X ولنتيجة أحمد بسباق الجري بـ Y، فمع نهاية كل عام، نحصل على قيمة للمتغير X، ومع ختام كل سباق يشارك فيه أحمد، نحصل على قيمة للمتغيرY. ومن الطبيعي أن يقال عن متغير مثل X أو Y إنه متغير عشوائي random variable لأن القيم التي يفترضها كل منهما مرتبطة بتجارب عشوائيةrandom experiments.
تعريف المتغير العشوائي وأنواعه
1ـ تعريف المتغير العشوائي: إذا كان Ωالفضاء عيِّنة لتجربة عشوائية ما، فإن أي دالَّة X تخصص عدداً حقيقياً X(ω) لكل عنصر ω ∈ Ωتدعى متغيراً عشوائياً. فإذا كانت ω عنصراً من Ωوكان X هو المتغير العشوائي، فإن X(ω) هي قيمة Xعند ω، أي:
X(ω) هي القيمة التي يأخذها المتغير العشوائي X عند العنصر ω، وبمعنى آخر فإن X(ω)هو العدد الحقيقي الذي خصصته الدالة X ليرافق العنصر ω.
وعلى ذلك فإن المتغير العشوائي X على فضاء العيِّنة Ω هو عبارة عن دالة من Ω في مجموعة الأعداد الحقيقية R بحيث أن الصورة العكسية لكل مجال في R هي حادثة في Ω. وبمعنى آخر إذا كانت A حادثة في Ω، وكانت T هي مجموعة الأعداد الحقيقية التي خصصتها الدالَّة Xكصورة للحادثة A، فيقال إن A هي الصورة العكسية للمجموعة T أي
X-1 (T) = A وفي هذه الحالة يقال إن: T R⇔ A Ω وإن P (T) = P (A).
2ـ أنواع المتغيرات العشوائية: تنقسم المتغيرات العشوائية إلى نوعين
أ) المتغير العشوائي المنفصل discrete random variable
يقال إن المتغير العشوائي منفصل إذا كان يأخذ قيماً تنتمي إلى مجموعة منتهية، أو غير منتهية ولكنها قابلة للعد، أي أنه يأخذ قيماً منفصلة عن بعضها البعض (أي يوجد بينها ثغرات). ويرمز لمجموعة قيم المتغير العشوائي X بالرمز Rx ، وبالتالي تكون Rx من الشكل: Rx = {X1, X2, ..., Xn} أو من الشكل Rx = {X1, X2, ..., Xi}.
مثال (1): لدى أسرة ثلاثة أطفال، وليكن Xالمتغير الدال على عدد الذكور لدى هذه الأسرة.
عندئذ تكون عِدَّة فضاء العيِّنة (أي عدد نتائج هذه التجربة) هو: |Ω| = 23= 8
ويكون فضاء العينة (أي مجموعة نتائج هذه التجربة):
Ω = {GGG,GGB,GBG,BGG,GBB,BGB,BBG,BBB}
حيث رُمِزَ للأنثى بـ G وللذكر بـ B كما يلي:
وتكون مجموعة قيم المتغير العشوائي X من الشكل: RX={0.1,2,3}
وإذا كانت الحادثة [X=2] مثلاً، فإن الصورة العكسية لـ X=2 أي X-1 (2) هي:
X=2] = X-1 (2) = {GBB,BGB,BBG}]
ونلاحظ أن المتغير يأخذ، عند كل نقطة عينة من النقاط الثماني التي يتضمنها فضاء العينة لهذه التجربة، قيمة واحدة فقط من هذه القيم الممكنة والجدول التالي يبين ذلك:
ونلاحظ أن X يمثل دالة عددية معرَّفة على فضاء العينة Ω
حيث X: Ω →{0,1,2,3}
X(GGG) = 0 ; X(GGB) = 1; .... ; X(BBG) = 2 ; X(BBB) = 3
مثال (2): إذا كان X متغيراً عشوائياً يدل على الوجه الحاصل من تجربة إلقاء حجر نَرْد متوازن مرة واحدة ، تكون Rx من الشكل: Rx ={1,2,3,4,5,6}
ب) المتغير العشوائي المتصل continuous random variable
يقال إن المتغير العشوائي متصل إذا كان يأخذ قيماً تنتمي إلى مجموعة غير منتهية وغير قابلة للعد، بمعنى أن المتغير يأخذ جميع القيم التي تقع في نطاق تغيُّره، أي Rx تكون من الشكل: Rx ={x:a ≤ x ≤ b; a, b ∈ R}
مثال (3): تجربة اختيار نقطة من قرص دائري مركزه مبدأ الإحداثيات ونصف قطره r.
ليكن X المتغير الدال على المسافة بين النقطة المختارة ومبدأ القرص الدائري.
عندئذ تكون RX من الشكل: Rx ={x : 0 ≤ x ≤ r}وهذه مجموعة غير منتهية وغير قابلة للعد.
التوزيع الاحتمالي probability distribution
في حالة المتغير العشوائي المنفصل X:يكون التوزيع الاحتمالي عبارة عن دالة احتماليةprobability function fx (•) تعطي احتمالات قيم Xالمختلفة وتعرَّف كالآتي:
f x(x) = f (x) = P[X=x] = P[ω: x(ω) = x]
أي أن احتمال المتغير العشوائي X عند القيمة x هو احتمال الحادثة التي هي الصورة العكسية للقيمة x. وهذه الدالة تحقق الشرطين الآتيين:
وأي دالة تحقق الشرطين السابقين تعتبر دالة احتمالية لمتغير عشوائي.
وتوصف الدالة الاحتمالية بجدول من الشكل التالي:
مثال (4): بالعودة للمثال (1) تكون الدالة الاحتمالية من الشكل:
ويلاحظ أيضاً تحقق الشرطين (ii) و (i) أعلاه.
ويمكن تمثيل الدالة الاحتمالية للمتغير Xبالعلاقة:
حيث تمثل
عدد توافيق ثلاثة أشياء مأخوذة x معاً.
مثال (5): بالعودة للمثال (2) تكون الدالة الاحتمالية من الشكل:
وفي حالة المتغير المتصل (المستمر): فإن المتغير X يأخذ عدداً لا نهائياً من القيم، لذلك فإنه لا يمكن أن يكون هناك احتمال موجب مرافق لكل قيمة من قيم المتغير العشوائي بمعنى أن: p:"cÎRcc
[X=x]=0. ولكن يمكن أن يكون هناك احتمال مرافق لكل مجال من مجالات المتغير. ويوضح ذلك من خلال دراسة دالة التوزيع التراكمية للمتغير X أو اختصاراً (دالة التوزيع).
دالة التوزيع التراكمية cummulative distribution function
يمكن تحديد التوزيع الاحتمالي لأي متغير عشوائي X بدلالة دالة تسمى دالة التوزيع
التراكمية ويرمز لها بـ (·(Fx أو (·(F وتعرَّف كالآتي: Fx (x) = P[X £ x]n وبالتالي في حالة المتغير العشوائي المنفصل فإنه يكون:
أي تساوي مجموع احتمالات قيم X التي هي أقل من أو تساوي القيمة x. ومنحني هذه الدالة يأخذ صورة منحني الدالة الدَّرَجية، ويتكوَّن من قفزات عند قيم المتغير. ومقدار القفزة عند القيمةu، يساوي احتمال u ، أي أن القفزة عند u هي f (u) = P[X = u].
مثال (6): بالعودة للمثال (1) وللمثال (4) تكون دالة التوزيع من الشكل:
مثال (7): بالعودة للمثال (2) وللمثال (5) تكون دالة التوزيع للمتغير X من الشكل:
مثال (8) : بالعودة للأمثلة (1ـ 4 ـ 6) فإن احتمال الحصول على ذكرين على الأكثر هو p [X£2]n فيمكن بالاستفادة من دالة التوزيع والدالة
الاحتمالية حساب ذلك وفق مايلي:
أما في حالة المتغير المتصل، فإذا كان هناك دالة رياضية (·(Fx فإن:
إن الدالة f(x) التي يمكن تمثيلها عند القيمة xبمشتق الدالة F(x) أي:
تسمى دالة الكثافة الاحتمالية probability density functionللمتغير X. ويسمى F(x) دالة التوزيع الاحتمالي للمتغير X. وتحقق دالة الكثافة الاحتمالية الشرطين التاليين:
وبالتالي فإن لكل مجال من مجالات X تكون المساحة بين المحور الأفقي ومنحني الدالة فوق هذا المجال مساوية لاحتمال أن يقع X في هذا المجال أي أن:
ويكون منحني الدالة Fx (X)n مستمراً بالإطلاق وله أيضاً بعض الخواص يذكر منها:
أ) دالة التوزيع F(x) دالة غير متناقصة أي
ب) F (-¥)=0 ; F (+¥) = 1
ج ) F(x) دالة مستمرة من اليمين أي:
د) دالة التوزيع F(x) وحيدة لكل متغير عشوائي X.
هـ) إذا كان X متغيراً عشوائياً متصلاً وكانتa < b فإن:
p[α ≤ × ≤b] = F (b) - F (α)n.
و) إذا كان X متغيراً عشوائياً منفصلاً فإن:
p[α ≤ × ≤b] = F (b) - F (α)n
p[α < × ≤b] = F (b) - F (α) + ƒ(α)n
p[α < × <b] = F (b) - F (α) + ƒ(α) + ƒ(b)n
p[α ≤ × <b] = F (b) - F (α) - ƒ(b)n
وبناءً على ما سبق يمكن القول إن أي ظاهرة عشوائية (أي متغير عشوائي) لها توزيع احتمالي يصفها، وهذا التوزيع الاحتمالي يعرَّف بدلالة دالة التوزيع التراكمية (•) F، كما أنه يعرَّف بدلالة الدالة الاحتمالية إذا كان المتغير منفصلاً، أو بدلالة دالة الكثافة الاحتمالية (•) fإذا كان المتغير متصلاً.
خواص المتغيرات العشوائية characteristics of random variables
هناك العديد من المزايا والخواص تميِّز التوزيعات الاحتمالية، وقد لا تكون المعلومات عن التوزيع الاحتمالي مهمة، إلا أنه قد يكون المطلوب معرفة خواصه وهي مقادير إحصائية تصف وتمثل التوزيع محل الدراسة، فمثلاً لا تكون معرفة كل تفاصيل التوزيع الاحتمالي لأعمار الصمامات الكهربائية التي ينتجها أحد المصانع أمراً مهماً ولكن يكتفى ببعض الخواص التي تميز هذا التوزيع مثل متوسط عمر الصمام.
1) التوقُّع الرياضي أو القيمة المتوقعةmathematical expectation or the expected value
القيمة المتوقعة للمتغير العشوائي هي مقدار يقيس متوسط القيم المختلفة التي يأخذها المتغير العشوائي وتعرَّف كالآتي: من أجل Xكمتغير عشوائي منفصل يأخذ القيم (x1,x2), x3,...n) باحتمالات n(f (x1),f (x2),f(x3)...)n على الترتيب، فإن القيمة المتوقعة للمتغير أو للتوزيع ويرمز لها بالرمز E(X) أو μ تعطى بالعلاقة:
بشرط أن يتقارب هذا المجموع تقارباً مطلقاً أي أن:
.
ومن أجل X كمتغيرٍ عشوائي متصلٍ كثافته الاحتمالية f (x) يكون:
بشرط أن يتقارب التكامل تقارباً مطلقاً أي أن يكون:
.
وإذا لم يتقارب المجموع أو التكامل تقارباً مطلقاً فإنه لا يوجد للمتغير قيمة متوقعة أو متوسط.
مثال (9): بالعودة للمثال (1) والمثال (4) يكون توقع X:
وهذا يعني أن القيمة 1.5 هي القيمة المتوقعة رياضياً لعدد الذكور لدى الأسرة ، فهي متوسط التوزيع الاحتمالي، والتفسير العلمي للقيمة 1.5 هي أنها تمثل القيمة المتوسطة لعدد الذكور لدى الأسر التي تمتلك ثلاثة أطفال على المدى الطويل (أي متوسط مجتمع القياسات).
بمعنى آخر لو كُررت التجربة عدداً كبيراً جداً من المرات للأسر التي تمتلك ثلاثة أطفال وسُجلت في كل مرة عدد الذكور لديها ثم حُسب متوسط هذه الأعداد لكانت النتيجة 1.5.
مثال (10): بالعودة للمثال (2) والمثال (5) يكون توقع X:
ملاحظة: يلاحظ أن التقارب المطلق محقق في الأمثلة الثلاثة أعلاه.
2) القيمة المتوقعة لأي دالة في المتغير العشوائي X “expected value of a function in the random variable X”
إذا كان X متغيراً عشوائياً توزيعه الاحتماليf(x) وكان Y = g(x) دالة في X فإن Y يكون هو الآخر متغيراً عشوائياً وتكون قيمته المتوقعة من الشكل:
بشرط أن يتقارب المجموع والتكامل تقارباً مطلقاً.
مثال (11): بالعودة للمثال (1) وللمثال (4) يكون:
مثال (12): بالعودة للمثال (2) وللمثال (5) يكون:
مثال (13): بالعودة للمثال (10) يكون:
تجدر الملاحظة إلى أن التوقع الرياضي يتمتع بالخواص الآتية:
أ) إذا كان C مقداراً ثابتاً فإن: E (C) = C
ب) من أجل a,b أعداداً ثابتة فإن: E (aX + b) = aE (X) +b
ج) من أجل ثوابت عددية C1, C2, C3, ...nوX1, X2, X3, ...n متغيرات عشوائية فإن:
3) التباين (التشتت) variance: وهو من أهم صفات التوزيعات الاحتمالية ويرمز لها بالرمز V(X)أو sx2 أو s2 ويعرَّف على أنه:
وهو يمثل متوسط مربع انحرافات قيم المتغير العشوائي X عن قيمته المتوقعة وبالتالي:
4) الانحراف المعياري standard deviation
الانحراف المعياري للمتغير العشوائي هو الجذر التربيعي الموجب للتباين ويرمز له بالرمز أو σ أي أن:
وهو يقيس مقدار تباين أو تشتت أو اختلاف قيم المتغير العشوائي بعضها عن بعض.
مثال (14): بالعودة للأمثلة (1 ـ 4 ـ 9 ـ 11) يكون تباين X:
ويكون الانحراف المعياري للمتغير X:
مثال (15): بالعودة للأمثلة (2 ـ 5 ـ 10 ـ12) يكون تباين X:
ويكون الانحراف المعياري للمتغير X:
مثال (16): بالعودة للمثال (13) يكون تباينX:
ويكون الانحراف المعياري للمتغير X:
تجدر الإشارة هنا إلى أنه إذا كان الانحراف المعياري صغيراً فهذا يعني أن القراءات قريبة من بعضها أي متجانسة ، أما إذا كان كبيراً فهذا يعني أن قيم المتغير مشتتة أو مبعثرة وغير متجانسة.
كما أن التباين يتمتع بالخواص التالية :
أ) إذا كان C ثابتاً عددياً فإن V(C) = 0
ب) إذا كانت a,b ثوابت عددية فإن: V(aX + b) = aV(X)
ج ) إذا كان Y,X متغيرين عشوائيين مستقلين فإن: V(X+Y)=V(X) +V(Y)
ويمكن تعميم ذلك لأكثر من متغيرين مستقلين.
5) التغاير covariance
يعرَّف التغاير لمتغيرين عشوائيين X,Yبالعلاقة:
COV (X,Y) = E (X- E (X)) (Y- E (Y)) = E (XY) - E (X) . E (Y)
وإذا كان المتغيران Y,X مستقلين عشوائياً فإن COV(X ,Y) = 0
وإذا لم يكن المتغيران Y,X مستقلين فإن:
V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2COV (X,Y)
6) متباينة تشيبشف inequality of Tchebycheff
إذا كان X متغيراً عشوائياً له التوقع μوالانحراف المعياري σ فإن المتباينة تنص على أنه:
أي أن المتباينة تعطي حداً راجحاً للاحتمال بغض النظر عن نوع توزيع المتغير X.
مثال (17): بالعودة للأمثلة (2 ـ 5 ـ10 ـ 12 ـ 15) حيث كان:
فإن متباينة تشيبشف تكون من الشكل:
وكون الحادث
يكون محققاً من أجل X = 1;X = 6 باحتمال 
.
فإنه عندئذ يكون
هو حد راجحللاحتمال: 
مثال (18): بالعودة للأمثلة (13 ـ 16) حيث وجد:
وإذا حُسبت القيمة الفعلية للاحتمال:
عندئذ يتم التحقق فعلاً من أن هو حد راجح للاحتمال: 
.
عدنان عمورة
Random variable - Variable aléatoire
العشوائي (المتغير ـ)
تعرَّف التجربة بأنها أي عملية تؤدي إلى قياس أو ملاحظة. فعدد الخريجين من كلية العلوم مثلاً هو قياس كمي، ومن سيفوز بسباق جري هو قياس وصفي، ويمكن دوماً، ردُّ المشاهدات الوصفية إلى مشاهدات كمية بتخصيص عدد لكل نتيجة وصفية وفق نظام معين سابقاً؛ فيسجل مثلاً الرقم (1) إذا فاز أحمد بالسباق والرقم (0) إذا لم يفز أحمد بالسباق. فإذا رمز لعدد الخريجين بـ X ولنتيجة أحمد بسباق الجري بـ Y، فمع نهاية كل عام، نحصل على قيمة للمتغير X، ومع ختام كل سباق يشارك فيه أحمد، نحصل على قيمة للمتغيرY. ومن الطبيعي أن يقال عن متغير مثل X أو Y إنه متغير عشوائي random variable لأن القيم التي يفترضها كل منهما مرتبطة بتجارب عشوائيةrandom experiments.
تعريف المتغير العشوائي وأنواعه
1ـ تعريف المتغير العشوائي: إذا كان Ωالفضاء عيِّنة لتجربة عشوائية ما، فإن أي دالَّة X تخصص عدداً حقيقياً X(ω) لكل عنصر ω ∈ Ωتدعى متغيراً عشوائياً. فإذا كانت ω عنصراً من Ωوكان X هو المتغير العشوائي، فإن X(ω) هي قيمة Xعند ω، أي:
X(ω) هي القيمة التي يأخذها المتغير العشوائي X عند العنصر ω، وبمعنى آخر فإن X(ω)هو العدد الحقيقي الذي خصصته الدالة X ليرافق العنصر ω.
وعلى ذلك فإن المتغير العشوائي X على فضاء العيِّنة Ω هو عبارة عن دالة من Ω في مجموعة الأعداد الحقيقية R بحيث أن الصورة العكسية لكل مجال في R هي حادثة في Ω. وبمعنى آخر إذا كانت A حادثة في Ω، وكانت T هي مجموعة الأعداد الحقيقية التي خصصتها الدالَّة Xكصورة للحادثة A، فيقال إن A هي الصورة العكسية للمجموعة T أي
X-1 (T) = A وفي هذه الحالة يقال إن: T R⇔ A Ω وإن P (T) = P (A).
2ـ أنواع المتغيرات العشوائية: تنقسم المتغيرات العشوائية إلى نوعين
أ) المتغير العشوائي المنفصل discrete random variable
يقال إن المتغير العشوائي منفصل إذا كان يأخذ قيماً تنتمي إلى مجموعة منتهية، أو غير منتهية ولكنها قابلة للعد، أي أنه يأخذ قيماً منفصلة عن بعضها البعض (أي يوجد بينها ثغرات). ويرمز لمجموعة قيم المتغير العشوائي X بالرمز Rx ، وبالتالي تكون Rx من الشكل: Rx = {X1, X2, ..., Xn} أو من الشكل Rx = {X1, X2, ..., Xi}.
مثال (1): لدى أسرة ثلاثة أطفال، وليكن Xالمتغير الدال على عدد الذكور لدى هذه الأسرة.
عندئذ تكون عِدَّة فضاء العيِّنة (أي عدد نتائج هذه التجربة) هو: |Ω| = 23= 8
ويكون فضاء العينة (أي مجموعة نتائج هذه التجربة):
Ω = {GGG,GGB,GBG,BGG,GBB,BGB,BBG,BBB}
حيث رُمِزَ للأنثى بـ G وللذكر بـ B كما يلي:
وتكون مجموعة قيم المتغير العشوائي X من الشكل: RX={0.1,2,3}
وإذا كانت الحادثة [X=2] مثلاً، فإن الصورة العكسية لـ X=2 أي X-1 (2) هي:
X=2] = X-1 (2) = {GBB,BGB,BBG}]
ونلاحظ أن المتغير يأخذ، عند كل نقطة عينة من النقاط الثماني التي يتضمنها فضاء العينة لهذه التجربة، قيمة واحدة فقط من هذه القيم الممكنة والجدول التالي يبين ذلك:
ونلاحظ أن X يمثل دالة عددية معرَّفة على فضاء العينة Ω
حيث X: Ω →{0,1,2,3}
X(GGG) = 0 ; X(GGB) = 1; .... ; X(BBG) = 2 ; X(BBB) = 3
مثال (2): إذا كان X متغيراً عشوائياً يدل على الوجه الحاصل من تجربة إلقاء حجر نَرْد متوازن مرة واحدة ، تكون Rx من الشكل: Rx ={1,2,3,4,5,6}
ب) المتغير العشوائي المتصل continuous random variable
يقال إن المتغير العشوائي متصل إذا كان يأخذ قيماً تنتمي إلى مجموعة غير منتهية وغير قابلة للعد، بمعنى أن المتغير يأخذ جميع القيم التي تقع في نطاق تغيُّره، أي Rx تكون من الشكل: Rx ={x:a ≤ x ≤ b; a, b ∈ R}
مثال (3): تجربة اختيار نقطة من قرص دائري مركزه مبدأ الإحداثيات ونصف قطره r.
ليكن X المتغير الدال على المسافة بين النقطة المختارة ومبدأ القرص الدائري.
عندئذ تكون RX من الشكل: Rx ={x : 0 ≤ x ≤ r}وهذه مجموعة غير منتهية وغير قابلة للعد.
التوزيع الاحتمالي probability distribution
في حالة المتغير العشوائي المنفصل X:يكون التوزيع الاحتمالي عبارة عن دالة احتماليةprobability function fx (•) تعطي احتمالات قيم Xالمختلفة وتعرَّف كالآتي:
f x(x) = f (x) = P[X=x] = P[ω: x(ω) = x]
أي أن احتمال المتغير العشوائي X عند القيمة x هو احتمال الحادثة التي هي الصورة العكسية للقيمة x. وهذه الدالة تحقق الشرطين الآتيين:
وأي دالة تحقق الشرطين السابقين تعتبر دالة احتمالية لمتغير عشوائي.
وتوصف الدالة الاحتمالية بجدول من الشكل التالي:
مثال (4): بالعودة للمثال (1) تكون الدالة الاحتمالية من الشكل:
ويلاحظ أيضاً تحقق الشرطين (ii) و (i) أعلاه.
ويمكن تمثيل الدالة الاحتمالية للمتغير Xبالعلاقة:
حيث تمثل
عدد توافيق ثلاثة أشياء مأخوذة x معاً.مثال (5): بالعودة للمثال (2) تكون الدالة الاحتمالية من الشكل:
وفي حالة المتغير المتصل (المستمر): فإن المتغير X يأخذ عدداً لا نهائياً من القيم، لذلك فإنه لا يمكن أن يكون هناك احتمال موجب مرافق لكل قيمة من قيم المتغير العشوائي بمعنى أن: p:"cÎRcc
[X=x]=0. ولكن يمكن أن يكون هناك احتمال مرافق لكل مجال من مجالات المتغير. ويوضح ذلك من خلال دراسة دالة التوزيع التراكمية للمتغير X أو اختصاراً (دالة التوزيع).دالة التوزيع التراكمية cummulative distribution function
يمكن تحديد التوزيع الاحتمالي لأي متغير عشوائي X بدلالة دالة تسمى دالة التوزيع
التراكمية ويرمز لها بـ (·(Fx أو (·(F وتعرَّف كالآتي: Fx (x) = P[X £ x]n وبالتالي في حالة المتغير العشوائي المنفصل فإنه يكون:
أي تساوي مجموع احتمالات قيم X التي هي أقل من أو تساوي القيمة x. ومنحني هذه الدالة يأخذ صورة منحني الدالة الدَّرَجية، ويتكوَّن من قفزات عند قيم المتغير. ومقدار القفزة عند القيمةu، يساوي احتمال u ، أي أن القفزة عند u هي f (u) = P[X = u].
مثال (6): بالعودة للمثال (1) وللمثال (4) تكون دالة التوزيع من الشكل:
مثال (7): بالعودة للمثال (2) وللمثال (5) تكون دالة التوزيع للمتغير X من الشكل:
مثال (8) : بالعودة للأمثلة (1ـ 4 ـ 6) فإن احتمال الحصول على ذكرين على الأكثر هو p [X£2]n فيمكن بالاستفادة من دالة التوزيع والدالة
الاحتمالية حساب ذلك وفق مايلي:
أما في حالة المتغير المتصل، فإذا كان هناك دالة رياضية (·(Fx فإن:
إن الدالة f(x) التي يمكن تمثيلها عند القيمة xبمشتق الدالة F(x) أي:
تسمى دالة الكثافة الاحتمالية probability density functionللمتغير X. ويسمى F(x) دالة التوزيع الاحتمالي للمتغير X. وتحقق دالة الكثافة الاحتمالية الشرطين التاليين:وبالتالي فإن لكل مجال من مجالات X تكون المساحة بين المحور الأفقي ومنحني الدالة فوق هذا المجال مساوية لاحتمال أن يقع X في هذا المجال أي أن:
ويكون منحني الدالة Fx (X)n مستمراً بالإطلاق وله أيضاً بعض الخواص يذكر منها:
أ) دالة التوزيع F(x) دالة غير متناقصة أي
ب) F (-¥)=0 ; F (+¥) = 1
ج ) F(x) دالة مستمرة من اليمين أي:
د) دالة التوزيع F(x) وحيدة لكل متغير عشوائي X.
هـ) إذا كان X متغيراً عشوائياً متصلاً وكانتa < b فإن:
p[α ≤ × ≤b] = F (b) - F (α)n.
و) إذا كان X متغيراً عشوائياً منفصلاً فإن:
p[α ≤ × ≤b] = F (b) - F (α)n
p[α < × ≤b] = F (b) - F (α) + ƒ(α)n
p[α < × <b] = F (b) - F (α) + ƒ(α) + ƒ(b)n
p[α ≤ × <b] = F (b) - F (α) - ƒ(b)n
وبناءً على ما سبق يمكن القول إن أي ظاهرة عشوائية (أي متغير عشوائي) لها توزيع احتمالي يصفها، وهذا التوزيع الاحتمالي يعرَّف بدلالة دالة التوزيع التراكمية (•) F، كما أنه يعرَّف بدلالة الدالة الاحتمالية إذا كان المتغير منفصلاً، أو بدلالة دالة الكثافة الاحتمالية (•) fإذا كان المتغير متصلاً.
خواص المتغيرات العشوائية characteristics of random variables
هناك العديد من المزايا والخواص تميِّز التوزيعات الاحتمالية، وقد لا تكون المعلومات عن التوزيع الاحتمالي مهمة، إلا أنه قد يكون المطلوب معرفة خواصه وهي مقادير إحصائية تصف وتمثل التوزيع محل الدراسة، فمثلاً لا تكون معرفة كل تفاصيل التوزيع الاحتمالي لأعمار الصمامات الكهربائية التي ينتجها أحد المصانع أمراً مهماً ولكن يكتفى ببعض الخواص التي تميز هذا التوزيع مثل متوسط عمر الصمام.
1) التوقُّع الرياضي أو القيمة المتوقعةmathematical expectation or the expected value
القيمة المتوقعة للمتغير العشوائي هي مقدار يقيس متوسط القيم المختلفة التي يأخذها المتغير العشوائي وتعرَّف كالآتي: من أجل Xكمتغير عشوائي منفصل يأخذ القيم (x1,x2), x3,...n) باحتمالات n(f (x1),f (x2),f(x3)...)n على الترتيب، فإن القيمة المتوقعة للمتغير أو للتوزيع ويرمز لها بالرمز E(X) أو μ تعطى بالعلاقة:
بشرط أن يتقارب هذا المجموع تقارباً مطلقاً أي أن:
.ومن أجل X كمتغيرٍ عشوائي متصلٍ كثافته الاحتمالية f (x) يكون:
بشرط أن يتقارب التكامل تقارباً مطلقاً أي أن يكون:
.وإذا لم يتقارب المجموع أو التكامل تقارباً مطلقاً فإنه لا يوجد للمتغير قيمة متوقعة أو متوسط.
مثال (9): بالعودة للمثال (1) والمثال (4) يكون توقع X:
وهذا يعني أن القيمة 1.5 هي القيمة المتوقعة رياضياً لعدد الذكور لدى الأسرة ، فهي متوسط التوزيع الاحتمالي، والتفسير العلمي للقيمة 1.5 هي أنها تمثل القيمة المتوسطة لعدد الذكور لدى الأسر التي تمتلك ثلاثة أطفال على المدى الطويل (أي متوسط مجتمع القياسات).
بمعنى آخر لو كُررت التجربة عدداً كبيراً جداً من المرات للأسر التي تمتلك ثلاثة أطفال وسُجلت في كل مرة عدد الذكور لديها ثم حُسب متوسط هذه الأعداد لكانت النتيجة 1.5.
مثال (10): بالعودة للمثال (2) والمثال (5) يكون توقع X:
ملاحظة: يلاحظ أن التقارب المطلق محقق في الأمثلة الثلاثة أعلاه.
2) القيمة المتوقعة لأي دالة في المتغير العشوائي X “expected value of a function in the random variable X”
إذا كان X متغيراً عشوائياً توزيعه الاحتماليf(x) وكان Y = g(x) دالة في X فإن Y يكون هو الآخر متغيراً عشوائياً وتكون قيمته المتوقعة من الشكل:
بشرط أن يتقارب المجموع والتكامل تقارباً مطلقاً.
مثال (11): بالعودة للمثال (1) وللمثال (4) يكون:
مثال (12): بالعودة للمثال (2) وللمثال (5) يكون:
مثال (13): بالعودة للمثال (10) يكون:
تجدر الملاحظة إلى أن التوقع الرياضي يتمتع بالخواص الآتية:
أ) إذا كان C مقداراً ثابتاً فإن: E (C) = C
ب) من أجل a,b أعداداً ثابتة فإن: E (aX + b) = aE (X) +b
ج) من أجل ثوابت عددية C1, C2, C3, ...nوX1, X2, X3, ...n متغيرات عشوائية فإن:
3) التباين (التشتت) variance: وهو من أهم صفات التوزيعات الاحتمالية ويرمز لها بالرمز V(X)أو sx2 أو s2 ويعرَّف على أنه:
وهو يمثل متوسط مربع انحرافات قيم المتغير العشوائي X عن قيمته المتوقعة وبالتالي:
4) الانحراف المعياري standard deviation
الانحراف المعياري للمتغير العشوائي هو الجذر التربيعي الموجب للتباين ويرمز له بالرمز أو σ أي أن:
وهو يقيس مقدار تباين أو تشتت أو اختلاف قيم المتغير العشوائي بعضها عن بعض.مثال (14): بالعودة للأمثلة (1 ـ 4 ـ 9 ـ 11) يكون تباين X:
ويكون الانحراف المعياري للمتغير X:
مثال (15): بالعودة للأمثلة (2 ـ 5 ـ 10 ـ12) يكون تباين X:
ويكون الانحراف المعياري للمتغير X:
مثال (16): بالعودة للمثال (13) يكون تباينX:
ويكون الانحراف المعياري للمتغير X:
تجدر الإشارة هنا إلى أنه إذا كان الانحراف المعياري صغيراً فهذا يعني أن القراءات قريبة من بعضها أي متجانسة ، أما إذا كان كبيراً فهذا يعني أن قيم المتغير مشتتة أو مبعثرة وغير متجانسة.
كما أن التباين يتمتع بالخواص التالية :
أ) إذا كان C ثابتاً عددياً فإن V(C) = 0
ب) إذا كانت a,b ثوابت عددية فإن: V(aX + b) = aV(X)
ج ) إذا كان Y,X متغيرين عشوائيين مستقلين فإن: V(X+Y)=V(X) +V(Y)
ويمكن تعميم ذلك لأكثر من متغيرين مستقلين.
5) التغاير covariance
يعرَّف التغاير لمتغيرين عشوائيين X,Yبالعلاقة:
COV (X,Y) = E (X- E (X)) (Y- E (Y)) = E (XY) - E (X) . E (Y)
وإذا كان المتغيران Y,X مستقلين عشوائياً فإن COV(X ,Y) = 0
وإذا لم يكن المتغيران Y,X مستقلين فإن:
V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2COV (X,Y)
6) متباينة تشيبشف inequality of Tchebycheff
إذا كان X متغيراً عشوائياً له التوقع μوالانحراف المعياري σ فإن المتباينة تنص على أنه:
أي أن المتباينة تعطي حداً راجحاً للاحتمال بغض النظر عن نوع توزيع المتغير X.
مثال (17): بالعودة للأمثلة (2 ـ 5 ـ10 ـ 12 ـ 15) حيث كان:
فإن متباينة تشيبشف تكون من الشكل:
وكون الحادث
يكون محققاً من أجل X = 1;X = 6 باحتمال .فإنه عندئذ يكون
هو حد راجحللاحتمال: مثال (18): بالعودة للأمثلة (13 ـ 16) حيث وجد:
وإذا حُسبت القيمة الفعلية للاحتمال:
عندئذ يتم التحقق فعلاً من أن
هو حد راجح للاحتمال: .عدنان عمورة