تويت
مثلثات (علم)
Trigonometry - Trigonométrie
المثلثات (علم ـ)
المثلث triangle هو شكل هندسي، وهو أحد أنواع المضلع، محاط بثلاثة مستقيمات تسمى الأضلاع التي تتقابل في ثلاث نقاط تسمى الرؤوس، ويشكل كل رأس مع ضلعيه زاوية من زوايا المثلث، ومجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة.
وتصنف المثلثات وفق أضلاعها، فهناك المثلث المختلف الأضلاع له ثلاثة أضلاع مختلفة الأطوال، ومثلث متساوي الأضلاع ومثلث متساوي الساقين. ويمكن تصنيف المثلثات حسب زواياها، فهناك مثلث حاد الزوايا ومثلث منفرج الزاوية، ومثلث قائم الزاوية، واعتمدوا في المثلثات على التطابق والتشابه بين المثلثات.
نتج علم المثلثات trigonometry من التفاعل المستمر بين الرياضيات والفلك، وكان جزءاً من علم الفلك، وبقيت هذه العلاقة المميزة بين المثلثات والفلك حتى القرن الثالث عشر الميلادي عندما بدأ بفصله نصير الدين الطوسي. وقد ارتبطت بدايات حساب المثلثات بقياس الظلال في ساعات النهار المختلفة، وتُقرأ أول إشارة إلى المثلثات في «بردية» أحمس التي تعود إلى العام 1650 ق.م. ويذكر فيها كلمة «سكت» والتي تدل على الزاوية من دون أن يحدد معناها آنذاك وقد تعني ظل تمام الزاوية. وتبين أن البابليين اهتموا بالساعة الشمسية، ويُعرف اليوم مدى ارتباط الساعة الشمسية بالمثلثات. فالساعة شاخص منصوب إذا روقب ظله عند الظهيرة مثلاً يكون الظل أطول ما يكون عندما تكون الشمس أبعد ما يكون، أي في نقطة الانقلاب الشتوي، وأصغر ما يكون الظل عندما تكون الشمس في نقطة الانقلاب الصيفي. ومن مثلثات الإغريق يلاحظ أن طاليس من القرن السادس قبل الميلاد حسب ارتفاع الأهرام اعتماداً على ظل شاخص وتشابه المثلثات. واستعمل أرستاخوس فكرة ظل الزاوية في قياسه لبعد الشمس والقمر. ويذكر أن لهيبارخوس، الذي عاش نحو عام 140 ق.م، نحو 12 كتاباً لحساب أوتار الزوايا، وما بقي من مؤلفاته قليل عن المثلثات الكروية، وهذا ما أوصل إلى معرفة أن المثلثات بدأت مع هذا الفلكي الذي فرض المثلثات داخل الدائرة لتكون الأضلاع أوتاراً فيها يمكن حسابها بدلالة نصف القطر. أما المثلثات على سطح الكرة فقد قسمت إلى مثلثات قائمة الزوايا، ومع أن بطليموس كان يدرك العلاقة جب2س + تجب2س = 1 لزاوية قياسها س. لكن حساب المثلثات يبدأ نظرياً مع مينلاوس الذي كتب عام 100م مؤلفاً عن الأوتار، قد يكون أقدم كتاب عنها، يكشف عن معلومات ممتازة في الهندسة والمثلثات. ترجمه ثابت بن قرة إلى العربية بعنوان «أصول الهندسة» جعله في ثلاث مقالات، كما ترجم كتاب «المثلثات» لمينلاوس الذي يشرح فيه ما يسمى نظرية مينلاوس للمثلث المستوي والمثلث الكروي، في كل منها ستة مقادير لذا سميت قاعدة المقادير الستة، كما أن مينلاوس قدَّم قاعدة المقادير الأربعة.
كان اهتمام العرب بالفلك وتحديد القِبْلَة وغيرها من أمور الحياة اليومية، أسباباً عملية لتطوير المثلثات الكروية وغيرها. ومن العلماء العرب الذين اهتموا بالمثلثات يذكر ثابت بن قرة (826 ـ 901م) والبتاني (850 ـ 929م). وللبتاني كتاب يعرف بـ«الزيج الصابئ»، ويُنْسَب له إيجاد نسبة الظل، كما أنه وضع جداول لظل التمام والجيب وجيب التمام والظل للزوايا من صفر إلى 90 درجة، وتوصَّل إلى بعض العلاقات الجبرية المبنية على النسب المثلثية. وترجم ريجومانتانوس عمل البتاني في المثلثات الكروية كما أن كوبرنيكوس اقتبس من البتاني كثيراً. وقدَّم البتاني مفهوم النسب المثلثية كما عمل جداول لهذه النسب. وكان لأبي الوفاء البوذجاني باع طويل في تطوير المثلثات فقد علق على المَجْسطي ومن إنجازاته برهانه على نظرية المقادير الأربعة، كما أنه برهن نظرية الجيوب للمثلثات الكروية. ويعدّ لوكي أن أبا الوفاء البوذجاني هو المؤسس الأول لحسابات المثلث الكروي ومكتشف نظرية الجيب الكروية كما أنه قدم عدة متطابقات للمثلثات المستوية. وقد نجح أبو الوفاء في حساب جداول النسب المثلثية وأعطى جيب sine نصف الدرجة حتى ثمانية منازل عشرية، ووضع جداول النسب المثلثية بما فيها الظل tangent، واستعمل القاطع secant وقاطع التمام cosecant، كما استعملها كل من حبش الحاسب والبتاني، واختار الواحدة لنصف قطر الدائرة المثلثية. ويُذكر أيضاً البيروني أبو الريحان محمد بن أحمد الذي عاش بين عامي 972 و 1048م، له ما يقارب 183 كتاباً ومقالة، وقد ضاع أكثرها. وللبيروني أيضاً إسهامات في المثلثات مذكورة في كتبه: 1ـ «إفراد المقال في أمر الظلال» 2ـ «استخراج الأوتار في الدائرة» 3ـ «القانون المسعودي» ويتألف كتابه الأول «إفراد المقال …» من 30 باباً يذكر فيها الظل والانعكاس واقتران الظل وظل التمام. كما يحوي التحويل من نسبة مثلثية إلى أخرى، كما يحوي جداول الظل وظل التمام. كما يذكر أثر ميل الشمس والارتفاع على طول الظل عند الزوال مع قواعد مثلثية تقريبية. وفي كتابه الثاني «استخراج الأوتار في الدائرة» يشرح أربع نظريات مع برهانها بطرق مختلفة. ونسب كل برهان إلى صاحبه إضافة إلى براهينه، كما ذكر مساحة المثلث بدلالة أطوال أضلاعه، كما ذكر مساحة الشكل الرباعي المرسوم داخل دائرة بدلالة أطوال أضلاعه. وينتقل البيروني إلى تقدير أطوال أوتار الدائرة ويفرض أن طول نصف قطر الدائرة هو الواحدة، فيحسب وتر العشر الذي زاويته 36 درجة بفرض أن نصف قطر الدائرة يساوي الواحد، كما يحسب نصف وتر العشر الذي يقابل الزاوية 18 درجة. ثم يحسب وتر الثمن أي ما يقابل زاوية مركزية قدرها 45 درجة ثم وتر مجموع قوسين معلومتي الوتر، ثم وتر نصف مجموع قوسين معلومتي الوتر، ثم وتر ما بين قوسين معلومتي الوتر، ثم وتر للتسع ووتر الجزء الواحد من 360 جزءاً ووتر ثلث القوس المعلومة الوتر. كما أكمل حساب جدول جيوب كل الزوايا. ونبَّه البيروني إلى أن نسبة محيط الدائرة إلى قطرها هي النسبة الثابتة π. ويخصص البيروني في موسوعته «القانون المسعودي» المقالتين الثالثة والرابعة للمثلثات المستوية والكروية مع جداول لكل الاقترانات المثلثية، ويستعمل أضلاع مضلع ذي تسعة أضلاع داخل الدائرة وخارجها. ويُذكر من الذين عملوا بالمثلثات ابن يونس وجابر بن أفلح، وكذلك أعمال أبي نصر بن عراق الذي عاش في القرن الرابع الهجري العاشر الميلادي. ويذكر سزكين في المثلثات أن أبا النصر وأبا الوفاء والخوجندي يمكن عدّهم أصحاب نظرية الجيب للمثلث الكروي. ولكوشيار كتاب «تجريد أصول تركيب الجيوب». كما كان للحسن بن الهيثم إسهامات في المثلثات إذ استخدم نظرية ظل التمام للمثلثات الكروية. كما يذكر الماهاني أبا عبد الله محمد بن عيسى من القرن الثالث الهجري/التاسع الميلادي الذي عاش في بغداد وحفظ ابن يونس أرصاده ووجد أن الماهاني سبق ريجيومانتانوس في تحديد السمت، وحسب الماهاني الجيوب وليس الأوتار. وأبا الحسن علي بن أحمد النسوي من القرن الخامس الهجري/العاشر الميلادي، وله كتاب «المغني»، فيه كيفية استخراج الجذر التربيعي، وله كتاب «الإشباع في شكل القطاع» الذي قدمه بطلميوس في بيان إخراج الأوتار التي تقع في الدائرة. كما يذكر نصير الدين الطوسي وجمشيد الكاشي، فلنصير الدين الطوسي باع طويل في المثلثات؛ فهو أول من فَصَلَ المثلثات عن الفلك فصارت علماً رياضياً مستقلاً وتعدّ رسالة «كشف القناع في أسرار شكل القطاع» التي كتبها عام 1260م أول كتاب مستقل للمثلثات وترجمت هذه الرسالة إلى اللاتينية، واعتمد عليها ريجيومونتانوس في كتابه «المثلثات» وفي هذه الرسالة الحالات الست لمثلث كروي قائم الزاوية، وذكر الكاشي الذي ابتكر وصحبه خوارزميات لحساب الجداول، وحسب نسبة محيط الدائرة إلى القطر (π) لست عشرة منزلة عشرية، وتوجد طريقته في الرسالة المحيطية. أما في رسالة «الوتر والجيب» فإنه يحسب جيب 1 درجة لعشرة منازل ستينية بدقة. وأدخل البتاني المفهوم الجبري مكان المفهوم الهندسي، حيث يكون جيب زاوية ما يساوي س مقسوماً على جذر (س2+1)، كذلك بقية النسب المثلثاتية، وبيَّن أنه في شكل منتظم ذي ستة أضلاع داخل دائرة فإن طول الوتر المقابل للزاوية المركزية يساوي نصف القطر. كما حسب البيروني طول الوتر في مضلع منتظم مؤلف من عشرة أضلاع مرسوم داخل دائرة. وحسب البيروني أيضاً طول الوتر المقابل لدرجة واحدة وجداول الجيوب وغيرها.
سامي شلهوب
Trigonometry - Trigonométrie
المثلثات (علم ـ)
المثلث triangle هو شكل هندسي، وهو أحد أنواع المضلع، محاط بثلاثة مستقيمات تسمى الأضلاع التي تتقابل في ثلاث نقاط تسمى الرؤوس، ويشكل كل رأس مع ضلعيه زاوية من زوايا المثلث، ومجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة.
وتصنف المثلثات وفق أضلاعها، فهناك المثلث المختلف الأضلاع له ثلاثة أضلاع مختلفة الأطوال، ومثلث متساوي الأضلاع ومثلث متساوي الساقين. ويمكن تصنيف المثلثات حسب زواياها، فهناك مثلث حاد الزوايا ومثلث منفرج الزاوية، ومثلث قائم الزاوية، واعتمدوا في المثلثات على التطابق والتشابه بين المثلثات.
نتج علم المثلثات trigonometry من التفاعل المستمر بين الرياضيات والفلك، وكان جزءاً من علم الفلك، وبقيت هذه العلاقة المميزة بين المثلثات والفلك حتى القرن الثالث عشر الميلادي عندما بدأ بفصله نصير الدين الطوسي. وقد ارتبطت بدايات حساب المثلثات بقياس الظلال في ساعات النهار المختلفة، وتُقرأ أول إشارة إلى المثلثات في «بردية» أحمس التي تعود إلى العام 1650 ق.م. ويذكر فيها كلمة «سكت» والتي تدل على الزاوية من دون أن يحدد معناها آنذاك وقد تعني ظل تمام الزاوية. وتبين أن البابليين اهتموا بالساعة الشمسية، ويُعرف اليوم مدى ارتباط الساعة الشمسية بالمثلثات. فالساعة شاخص منصوب إذا روقب ظله عند الظهيرة مثلاً يكون الظل أطول ما يكون عندما تكون الشمس أبعد ما يكون، أي في نقطة الانقلاب الشتوي، وأصغر ما يكون الظل عندما تكون الشمس في نقطة الانقلاب الصيفي. ومن مثلثات الإغريق يلاحظ أن طاليس من القرن السادس قبل الميلاد حسب ارتفاع الأهرام اعتماداً على ظل شاخص وتشابه المثلثات. واستعمل أرستاخوس فكرة ظل الزاوية في قياسه لبعد الشمس والقمر. ويذكر أن لهيبارخوس، الذي عاش نحو عام 140 ق.م، نحو 12 كتاباً لحساب أوتار الزوايا، وما بقي من مؤلفاته قليل عن المثلثات الكروية، وهذا ما أوصل إلى معرفة أن المثلثات بدأت مع هذا الفلكي الذي فرض المثلثات داخل الدائرة لتكون الأضلاع أوتاراً فيها يمكن حسابها بدلالة نصف القطر. أما المثلثات على سطح الكرة فقد قسمت إلى مثلثات قائمة الزوايا، ومع أن بطليموس كان يدرك العلاقة جب2س + تجب2س = 1 لزاوية قياسها س. لكن حساب المثلثات يبدأ نظرياً مع مينلاوس الذي كتب عام 100م مؤلفاً عن الأوتار، قد يكون أقدم كتاب عنها، يكشف عن معلومات ممتازة في الهندسة والمثلثات. ترجمه ثابت بن قرة إلى العربية بعنوان «أصول الهندسة» جعله في ثلاث مقالات، كما ترجم كتاب «المثلثات» لمينلاوس الذي يشرح فيه ما يسمى نظرية مينلاوس للمثلث المستوي والمثلث الكروي، في كل منها ستة مقادير لذا سميت قاعدة المقادير الستة، كما أن مينلاوس قدَّم قاعدة المقادير الأربعة.
كان اهتمام العرب بالفلك وتحديد القِبْلَة وغيرها من أمور الحياة اليومية، أسباباً عملية لتطوير المثلثات الكروية وغيرها. ومن العلماء العرب الذين اهتموا بالمثلثات يذكر ثابت بن قرة (826 ـ 901م) والبتاني (850 ـ 929م). وللبتاني كتاب يعرف بـ«الزيج الصابئ»، ويُنْسَب له إيجاد نسبة الظل، كما أنه وضع جداول لظل التمام والجيب وجيب التمام والظل للزوايا من صفر إلى 90 درجة، وتوصَّل إلى بعض العلاقات الجبرية المبنية على النسب المثلثية. وترجم ريجومانتانوس عمل البتاني في المثلثات الكروية كما أن كوبرنيكوس اقتبس من البتاني كثيراً. وقدَّم البتاني مفهوم النسب المثلثية كما عمل جداول لهذه النسب. وكان لأبي الوفاء البوذجاني باع طويل في تطوير المثلثات فقد علق على المَجْسطي ومن إنجازاته برهانه على نظرية المقادير الأربعة، كما أنه برهن نظرية الجيوب للمثلثات الكروية. ويعدّ لوكي أن أبا الوفاء البوذجاني هو المؤسس الأول لحسابات المثلث الكروي ومكتشف نظرية الجيب الكروية كما أنه قدم عدة متطابقات للمثلثات المستوية. وقد نجح أبو الوفاء في حساب جداول النسب المثلثية وأعطى جيب sine نصف الدرجة حتى ثمانية منازل عشرية، ووضع جداول النسب المثلثية بما فيها الظل tangent، واستعمل القاطع secant وقاطع التمام cosecant، كما استعملها كل من حبش الحاسب والبتاني، واختار الواحدة لنصف قطر الدائرة المثلثية. ويُذكر أيضاً البيروني أبو الريحان محمد بن أحمد الذي عاش بين عامي 972 و 1048م، له ما يقارب 183 كتاباً ومقالة، وقد ضاع أكثرها. وللبيروني أيضاً إسهامات في المثلثات مذكورة في كتبه: 1ـ «إفراد المقال في أمر الظلال» 2ـ «استخراج الأوتار في الدائرة» 3ـ «القانون المسعودي» ويتألف كتابه الأول «إفراد المقال …» من 30 باباً يذكر فيها الظل والانعكاس واقتران الظل وظل التمام. كما يحوي التحويل من نسبة مثلثية إلى أخرى، كما يحوي جداول الظل وظل التمام. كما يذكر أثر ميل الشمس والارتفاع على طول الظل عند الزوال مع قواعد مثلثية تقريبية. وفي كتابه الثاني «استخراج الأوتار في الدائرة» يشرح أربع نظريات مع برهانها بطرق مختلفة. ونسب كل برهان إلى صاحبه إضافة إلى براهينه، كما ذكر مساحة المثلث بدلالة أطوال أضلاعه، كما ذكر مساحة الشكل الرباعي المرسوم داخل دائرة بدلالة أطوال أضلاعه. وينتقل البيروني إلى تقدير أطوال أوتار الدائرة ويفرض أن طول نصف قطر الدائرة هو الواحدة، فيحسب وتر العشر الذي زاويته 36 درجة بفرض أن نصف قطر الدائرة يساوي الواحد، كما يحسب نصف وتر العشر الذي يقابل الزاوية 18 درجة. ثم يحسب وتر الثمن أي ما يقابل زاوية مركزية قدرها 45 درجة ثم وتر مجموع قوسين معلومتي الوتر، ثم وتر نصف مجموع قوسين معلومتي الوتر، ثم وتر ما بين قوسين معلومتي الوتر، ثم وتر للتسع ووتر الجزء الواحد من 360 جزءاً ووتر ثلث القوس المعلومة الوتر. كما أكمل حساب جدول جيوب كل الزوايا. ونبَّه البيروني إلى أن نسبة محيط الدائرة إلى قطرها هي النسبة الثابتة π. ويخصص البيروني في موسوعته «القانون المسعودي» المقالتين الثالثة والرابعة للمثلثات المستوية والكروية مع جداول لكل الاقترانات المثلثية، ويستعمل أضلاع مضلع ذي تسعة أضلاع داخل الدائرة وخارجها. ويُذكر من الذين عملوا بالمثلثات ابن يونس وجابر بن أفلح، وكذلك أعمال أبي نصر بن عراق الذي عاش في القرن الرابع الهجري العاشر الميلادي. ويذكر سزكين في المثلثات أن أبا النصر وأبا الوفاء والخوجندي يمكن عدّهم أصحاب نظرية الجيب للمثلث الكروي. ولكوشيار كتاب «تجريد أصول تركيب الجيوب». كما كان للحسن بن الهيثم إسهامات في المثلثات إذ استخدم نظرية ظل التمام للمثلثات الكروية. كما يذكر الماهاني أبا عبد الله محمد بن عيسى من القرن الثالث الهجري/التاسع الميلادي الذي عاش في بغداد وحفظ ابن يونس أرصاده ووجد أن الماهاني سبق ريجيومانتانوس في تحديد السمت، وحسب الماهاني الجيوب وليس الأوتار. وأبا الحسن علي بن أحمد النسوي من القرن الخامس الهجري/العاشر الميلادي، وله كتاب «المغني»، فيه كيفية استخراج الجذر التربيعي، وله كتاب «الإشباع في شكل القطاع» الذي قدمه بطلميوس في بيان إخراج الأوتار التي تقع في الدائرة. كما يذكر نصير الدين الطوسي وجمشيد الكاشي، فلنصير الدين الطوسي باع طويل في المثلثات؛ فهو أول من فَصَلَ المثلثات عن الفلك فصارت علماً رياضياً مستقلاً وتعدّ رسالة «كشف القناع في أسرار شكل القطاع» التي كتبها عام 1260م أول كتاب مستقل للمثلثات وترجمت هذه الرسالة إلى اللاتينية، واعتمد عليها ريجيومونتانوس في كتابه «المثلثات» وفي هذه الرسالة الحالات الست لمثلث كروي قائم الزاوية، وذكر الكاشي الذي ابتكر وصحبه خوارزميات لحساب الجداول، وحسب نسبة محيط الدائرة إلى القطر (π) لست عشرة منزلة عشرية، وتوجد طريقته في الرسالة المحيطية. أما في رسالة «الوتر والجيب» فإنه يحسب جيب 1 درجة لعشرة منازل ستينية بدقة. وأدخل البتاني المفهوم الجبري مكان المفهوم الهندسي، حيث يكون جيب زاوية ما يساوي س مقسوماً على جذر (س2+1)، كذلك بقية النسب المثلثاتية، وبيَّن أنه في شكل منتظم ذي ستة أضلاع داخل دائرة فإن طول الوتر المقابل للزاوية المركزية يساوي نصف القطر. كما حسب البيروني طول الوتر في مضلع منتظم مؤلف من عشرة أضلاع مرسوم داخل دائرة. وحسب البيروني أيضاً طول الوتر المقابل لدرجة واحدة وجداول الجيوب وغيرها.
سامي شلهوب