تويت
متتاليه اعداد حقيقيه
Series of real numbers - Suite des nombres réels
متتالية أعداد حقيقية
كثيراً ما تتردد على المسامع مجموعات من الأعداد مرتبة الواحد تلو الآخر، مثلاً: أوزان مجموعة طلاب صف معين (بالكيلو غرام):
62، 58، 71، 50، 48، 58، 61 …، 48، 52، 53
مجموع درجات الطلاب الناجحين في الشهادة الثانوية العامة:
154، 231، 259، 122، 198، ...، 248، 117، 205
مجموعة الأعداد الأولية:
2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، …
تدعى كل من هذه المجموعات متتالية عددية، منها متتاليات منتهية وأخرى غير منتهية (لانهائية).
والمتتاليات العددية غير المنتهية هي أساس علم التحليل الرياضي.
إن التعريف الرياضي الدقيق للمتتالية العددية هو:
المتتالية العددية numerical sequence هي دالة منطلقها مجموعة الأعداد الطبيعية N (أو مجموعة جزئية منها N ⊇ A) ومستقرها مجموعة الأعداد الحقيقية R.
(حيث N = {1, 2, 3.,…}).
إذا كان المنطلق A مجموعة منتهية (½A½<¥) دعيت المتتالية منتهية finite وإلا فالمتتالية لانهائية (غير منتهية) infinite.
إذا عُرِّفت دالة
وفق قاعدة اقتران معينة، حيث يقابل كل عدد طبيعي n عدد حقيقي yn= f (n) فقد تم تعريف متتالية عددية لانهائية: y1, y2, y3, …, yn, …
تدعى هذه الأعداد الحقيقية «حدود المتتالية».
y1 يسمى الحد الأول، y2 يسمى الحد الثاني، …، yn يسمى الحد النوني (أو الحد العام) general term.
يمكن أن تُعطى قيم الحدود كلاً على حدة، أو تعطى صيغة رياضية للحد العام yn تساعد على حساب قيمة كل حد من حدود المتتالية بعد تعويض n بقيمتها.
وتكتب المتتالية بشكل مختصر باستخدام الحد العام على النحو الآتي (yn)أو {yn} (ولا يقصد بذلك مجموعة وحيدة العنصر، إلا إذا ذكر ذلك صراحة).
إن تغيير ترتيب حدود متتالية عددية ما، يؤدي - في الحالة العامة - إلى متتالية أخرى جديدة تختلف عن المتتالية الأصلية على الرغم من أن المتتاليتين تتألفان من الأعداد نفسها.
مثال (1) : المتتالية التي حدها العام:
1)
هي
وتدعى «المتتالية المتجانسة».
2)
وتدعى « المتتالية المتناوبة».
مثال (2): إن المتتالية العددية
حدها العام
وحدودها هي:
مثال (3): إن المتتالية العددية اللانهائية 2، 4، 6، 8، 10، 12، 14، 16، …
والمتتالية العددية اللانهائية 4، 2، 8، 6، 12، 10، 16، 14، …
هما متتاليتان مختلفتان على الرغم من أنهما تتألفان من الأعداد نفسها.
المتتالية العددية المحدودة
يقال عن متتالية عددية {yn} إنها محدودة من الأعلى، إذا وُجد عدد حقيقي β بحيث كل حد من حدودها هو أصغر من β (أي yn > β وذلك مهما تكن n من N).
يقال عن متتالية عددية {yn} إنها محدودة من الأدنى، إذا وجد عدد حقيقي α بحيث إن α أصغر من كل حد من حدودها ( أي yn > α وذلك مهما تكن n من N).
يقال عن متتالية عددية {yn} إنها محدودة إذا كانت محدودة من الأعلى ومن الأدنى، أي إذا وجد عددان حقيقيان α و (β > a) β بحيث كل حد من حدودها هو أكبر من α وأصغر من β (أي α < yn < β وذلك مهما تكن n من N).
أو بتعبير آخر إذا وُجد عدد حقيقي موجب a بحيث |yn| < a وذلك مهما تكن n من N.
مثال (4): إن المتتالية العددية اللانهائية 2، 5، 8، 11، 14، 17،... محدودة من الأدنى وغير محدودة من الأعلى.
والمتتالية العددية اللانهائية -1، -2، -3، -4، -5، -6،.... محدودة من الأعلى وغير محدودة من الأدنى.
أما المتتالية المذكورة في المثال (1) فهي محدودة، لأنها محدودة من الأعلى ومن الأدنى.
المتتاليات المتقاربة والمتباعدة
تسمى المتتالية العددية اللانهائية {yn} متقاربة convergent، إذا كانت جميع حدودها تتجمع حول (بجوار) عدد محدد (إلا عدداً محدوداً منها)، ويدعى مركز التجمع هذا «نهاية المتتالية».
والمتتاليات غير المتقاربة تدعى متباعدة divergent.
ويعبر عن ذلك رياضياً بالشكل: تسعى yn إلى a عندما تسعى n إلى اللانهاية. أو رمزياً
ويسمى العدد a نهاية limit المتتالية.
مثال (5): المتتالية المتجانسة
المذكورة في المثال (1) متقاربة ونهايتها الصفر لأن الحد العام في تناقص مستمر ويسعى إلى الصفر.
مثال (6): المتتالية اللانهائية ذات الحد العام
متقاربة، ويسعى حدها العام إلى العدد النيبيري e =2.718281828459045 (أساس اللوغاريتم الطبيعي) نسبة إلى العالم الاسكتلندي نابيير[ر] John Napier مابين(1550-1617).
وعادة ما يُؤخذ e مقرباً إلى خمسة أرقام عشرية e = 2.71828.
مثال (7): المتتالية المتناوبة 1، - 1، 1، -1 متباعدة، ذلك لأنه لا يوجد نقطة تجمع لهذه المتتالية، إذ مهما يكن العدد المقترح كنهاية لهذه المتتالية، يمكن إيجاد مجال صغير حول هذا العدد بحيث تقع لانهاية من الحدود خارجه. مثلاً المجال [0.5، 1.5] جوار للعدد 1، وكل الحدود 1، -1، 1… تقع خارجه.
إذا أهملنا عدداً محدوداً من حدود متتالية عددية لانهائية فإن نوعها لا يتغير، فإذا كانت متقاربة بقيت متقاربة، وإن كانت متباعدة بقيت كذلك.
مثال (8): المتتالية
حدها العام
وحدودها هي:
وهي حدود المتتالية المتجانسة
بعد حذف الحدود السبعة الأولى منها. وهي متقاربة وتسعى نحو الصفر.
كل متتالية متقاربة تكون محدودة، ولكن العكس غير صحيح.
المتتالية الحسابية arithmetical sequence
المتتالية الحسابية {x n} هي متتالية عددية، الفرق بين كل حد والحد الذي يليه مقدار ثابت r (يدعى أساس المتتالية)، أي إن xn+1 = xn + r .
كل حد في المتتالية الحسابية {xn} هو وسط حسابي بين الحدين السابق واللاحق له، أي إن:
حيث n > 1.
مثال (9): المتتالية -3، 2، 7، 12، 17، 22، …
هي متتالية حسابية حدها الأول -3 وأساسها 5، وحدها الخامس مثلاً
واضح أن معرفة الحد الأول a والأساس r يكفي لمعرفة جميع حدود المتتالية الحسابية. إذ إن الحد العام يعطى بالعلاقة xn = a + (n -1) r.
فالحد السابع عشر، مثلاً، للمتتالية الحسابية الواردة في المثال السابق هو:
x17 = (-3) + (17 -1) (5) = 77.
مجموع الحدود الأولى n من متتالية حسابية {xj} حدها الأول a وأساسها r هو:
مثال (10): مجموع الخمسة والعشرين حداً الأولى للمتتالية الحسابية الواردة في المثال السابق هو 1425.
المتتالية الهندسية geometric sequence
المتتالية الهندسية {xn} هي متتالية عددية، ناتج قسمة كل حد على الحد الذي يسبقه مقدار ثابت r (يدعى أساس المتتالية)، أي إن xn +1 = r. xn.
كل حد في المتتالية الهندسية {xn} هو وسط هندسي بين الحدين السابق واللاحق له، أي إن x2n = xn-1 .xn+1 حيث n > 1.
مثال (11): المتتالية 3، 6، 12، 24، 4 8، 96، ...
هي متتالية هندسية حدها الأول 3 وأساسها 2.
واضح أن معرفة الحد الأول a والأساس r يكفي لمعرفة جميع حدود المتتالية الهندسية. إذ أن الحد العام يعطى بالعلاقة xn = a r n -1.
فالحد الثالث عشر، مثلاً، للمتتالية الهندسية الواردة في المثال السابق هو 12288.
مجموع الحدود الأولى n من متتالية هندسية {xj}، حدها الأول a وأساسها r، هو:
مثال (12): يُطلب حساب عدد حبات القمح التي يمكن وضعها على رقعة شطرنج، إذا كان المراد وضع حبة واحدة على المربع الأول، وحبتان على المربع الثاني، وأربعة على المربع الثالث وهكذا على كل مربع ضعف العدد الذي على المربع السابق له. أي إن حبات القمح تشكل متتالية هندسية حدها الأول 1 وأساسها 2. فالمتتالية هي:
1، 2، 4، 8، 16، ...، 2 63 = 808 775 854 036 372 223 9
وهكذا يكون مجموع عدد الحبات المطلوب هو:
616 995 370 407 674 844 1
أنور توفيق اللحام
Series of real numbers - Suite des nombres réels
متتالية أعداد حقيقية
كثيراً ما تتردد على المسامع مجموعات من الأعداد مرتبة الواحد تلو الآخر، مثلاً: أوزان مجموعة طلاب صف معين (بالكيلو غرام):
62، 58، 71، 50، 48، 58، 61 …، 48، 52، 53
مجموع درجات الطلاب الناجحين في الشهادة الثانوية العامة:
154، 231، 259، 122، 198، ...، 248، 117، 205
مجموعة الأعداد الأولية:
2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، …
تدعى كل من هذه المجموعات متتالية عددية، منها متتاليات منتهية وأخرى غير منتهية (لانهائية).
والمتتاليات العددية غير المنتهية هي أساس علم التحليل الرياضي.
إن التعريف الرياضي الدقيق للمتتالية العددية هو:
المتتالية العددية numerical sequence هي دالة منطلقها مجموعة الأعداد الطبيعية N (أو مجموعة جزئية منها N ⊇ A) ومستقرها مجموعة الأعداد الحقيقية R.
(حيث N = {1, 2, 3.,…}).
إذا كان المنطلق A مجموعة منتهية (½A½<¥) دعيت المتتالية منتهية finite وإلا فالمتتالية لانهائية (غير منتهية) infinite.
إذا عُرِّفت دالة
وفق قاعدة اقتران معينة، حيث يقابل كل عدد طبيعي n عدد حقيقي yn= f (n) فقد تم تعريف متتالية عددية لانهائية: y1, y2, y3, …, yn, …
تدعى هذه الأعداد الحقيقية «حدود المتتالية».
y1 يسمى الحد الأول، y2 يسمى الحد الثاني، …، yn يسمى الحد النوني (أو الحد العام) general term.
يمكن أن تُعطى قيم الحدود كلاً على حدة، أو تعطى صيغة رياضية للحد العام yn تساعد على حساب قيمة كل حد من حدود المتتالية بعد تعويض n بقيمتها.
وتكتب المتتالية بشكل مختصر باستخدام الحد العام على النحو الآتي (yn)أو {yn} (ولا يقصد بذلك مجموعة وحيدة العنصر، إلا إذا ذكر ذلك صراحة).
إن تغيير ترتيب حدود متتالية عددية ما، يؤدي - في الحالة العامة - إلى متتالية أخرى جديدة تختلف عن المتتالية الأصلية على الرغم من أن المتتاليتين تتألفان من الأعداد نفسها.
مثال (1) : المتتالية التي حدها العام:
1)
هي
وتدعى «المتتالية المتجانسة».
2)
وتدعى « المتتالية المتناوبة».
مثال (2): إن المتتالية العددية
حدها العام
وحدودها هي:
مثال (3): إن المتتالية العددية اللانهائية 2، 4، 6، 8، 10، 12، 14، 16، …
والمتتالية العددية اللانهائية 4، 2، 8، 6، 12، 10، 16، 14، …
هما متتاليتان مختلفتان على الرغم من أنهما تتألفان من الأعداد نفسها.
المتتالية العددية المحدودة
يقال عن متتالية عددية {yn} إنها محدودة من الأعلى، إذا وُجد عدد حقيقي β بحيث كل حد من حدودها هو أصغر من β (أي yn > β وذلك مهما تكن n من N).
يقال عن متتالية عددية {yn} إنها محدودة من الأدنى، إذا وجد عدد حقيقي α بحيث إن α أصغر من كل حد من حدودها ( أي yn > α وذلك مهما تكن n من N).
يقال عن متتالية عددية {yn} إنها محدودة إذا كانت محدودة من الأعلى ومن الأدنى، أي إذا وجد عددان حقيقيان α و (β > a) β بحيث كل حد من حدودها هو أكبر من α وأصغر من β (أي α < yn < β وذلك مهما تكن n من N).
أو بتعبير آخر إذا وُجد عدد حقيقي موجب a بحيث |yn| < a وذلك مهما تكن n من N.
مثال (4): إن المتتالية العددية اللانهائية 2، 5، 8، 11، 14، 17،... محدودة من الأدنى وغير محدودة من الأعلى.
والمتتالية العددية اللانهائية -1، -2، -3، -4، -5، -6،.... محدودة من الأعلى وغير محدودة من الأدنى.
أما المتتالية المذكورة في المثال (1) فهي محدودة، لأنها محدودة من الأعلى ومن الأدنى.
المتتاليات المتقاربة والمتباعدة
تسمى المتتالية العددية اللانهائية {yn} متقاربة convergent، إذا كانت جميع حدودها تتجمع حول (بجوار) عدد محدد (إلا عدداً محدوداً منها)، ويدعى مركز التجمع هذا «نهاية المتتالية».
والمتتاليات غير المتقاربة تدعى متباعدة divergent.
ويعبر عن ذلك رياضياً بالشكل: تسعى yn إلى a عندما تسعى n إلى اللانهاية. أو رمزياً
ويسمى العدد a نهاية limit المتتالية.
مثال (5): المتتالية المتجانسة
المذكورة في المثال (1) متقاربة ونهايتها الصفر لأن الحد العام في تناقص مستمر ويسعى إلى الصفر.مثال (6): المتتالية اللانهائية ذات الحد العام
متقاربة، ويسعى حدها العام إلى العدد النيبيري e =2.718281828459045 (أساس اللوغاريتم الطبيعي) نسبة إلى العالم الاسكتلندي نابيير[ر] John Napier مابين(1550-1617).وعادة ما يُؤخذ e مقرباً إلى خمسة أرقام عشرية e = 2.71828.
مثال (7): المتتالية المتناوبة 1، - 1، 1، -1 متباعدة، ذلك لأنه لا يوجد نقطة تجمع لهذه المتتالية، إذ مهما يكن العدد المقترح كنهاية لهذه المتتالية، يمكن إيجاد مجال صغير حول هذا العدد بحيث تقع لانهاية من الحدود خارجه. مثلاً المجال [0.5، 1.5] جوار للعدد 1، وكل الحدود 1، -1، 1… تقع خارجه.
إذا أهملنا عدداً محدوداً من حدود متتالية عددية لانهائية فإن نوعها لا يتغير، فإذا كانت متقاربة بقيت متقاربة، وإن كانت متباعدة بقيت كذلك.
مثال (8): المتتالية
حدها العام
وحدودها هي:
وهي حدود المتتالية المتجانسة
بعد حذف الحدود السبعة الأولى منها. وهي متقاربة وتسعى نحو الصفر.
كل متتالية متقاربة تكون محدودة، ولكن العكس غير صحيح.
المتتالية الحسابية arithmetical sequence
المتتالية الحسابية {x n} هي متتالية عددية، الفرق بين كل حد والحد الذي يليه مقدار ثابت r (يدعى أساس المتتالية)، أي إن xn+1 = xn + r .
كل حد في المتتالية الحسابية {xn} هو وسط حسابي بين الحدين السابق واللاحق له، أي إن:
حيث n > 1.
مثال (9): المتتالية -3، 2، 7، 12، 17، 22، …
هي متتالية حسابية حدها الأول -3 وأساسها 5، وحدها الخامس مثلاً
واضح أن معرفة الحد الأول a والأساس r يكفي لمعرفة جميع حدود المتتالية الحسابية. إذ إن الحد العام يعطى بالعلاقة xn = a + (n -1) r.
فالحد السابع عشر، مثلاً، للمتتالية الحسابية الواردة في المثال السابق هو:
x17 = (-3) + (17 -1) (5) = 77.
مجموع الحدود الأولى n من متتالية حسابية {xj} حدها الأول a وأساسها r هو:
مثال (10): مجموع الخمسة والعشرين حداً الأولى للمتتالية الحسابية الواردة في المثال السابق هو 1425.
المتتالية الهندسية geometric sequence
المتتالية الهندسية {xn} هي متتالية عددية، ناتج قسمة كل حد على الحد الذي يسبقه مقدار ثابت r (يدعى أساس المتتالية)، أي إن xn +1 = r. xn.
كل حد في المتتالية الهندسية {xn} هو وسط هندسي بين الحدين السابق واللاحق له، أي إن x2n = xn-1 .xn+1 حيث n > 1.
مثال (11): المتتالية 3، 6، 12، 24، 4 8، 96، ...
هي متتالية هندسية حدها الأول 3 وأساسها 2.
واضح أن معرفة الحد الأول a والأساس r يكفي لمعرفة جميع حدود المتتالية الهندسية. إذ أن الحد العام يعطى بالعلاقة xn = a r n -1.
فالحد الثالث عشر، مثلاً، للمتتالية الهندسية الواردة في المثال السابق هو 12288.
مجموع الحدود الأولى n من متتالية هندسية {xj}، حدها الأول a وأساسها r، هو:
مثال (12): يُطلب حساب عدد حبات القمح التي يمكن وضعها على رقعة شطرنج، إذا كان المراد وضع حبة واحدة على المربع الأول، وحبتان على المربع الثاني، وأربعة على المربع الثالث وهكذا على كل مربع ضعف العدد الذي على المربع السابق له. أي إن حبات القمح تشكل متتالية هندسية حدها الأول 1 وأساسها 2. فالمتتالية هي:
1، 2، 4، 8، 16، ...، 2 63 = 808 775 854 036 372 223 9
وهكذا يكون مجموع عدد الحبات المطلوب هو:
616 995 370 407 674 844 1
أنور توفيق اللحام