تويت
مجموعه
Set - Ensemble
المجموعة
تدين نظرية المجموعات set theory بوجودها للرياضي الألماني الشهيرجورج كانتور George Cantor ن(1845-1918)، إذ هو الذي أرسى الأسس الأولى لهذه النظرية وتابع بعده كثير من العلماء الرياضيين العمل فيها، مثل فان دير فارون وأولر ولايبنتز.
ومن المؤكد أن الدراسات الأولى على المجموعات قد ظهرت قديماً في الفلسفة بعنوان منطق الأصناف، ومن المعروف أن الرياضي الألماني أولر تعرض لهذا الموضوع في كتابه الشهير «كتاب إلى أميرة ألمانية»، واستعمل فيه مخططاته الشهيرة ليفسر الأشكال المختلفة للقياس.
مفهوم المجموعة
إن من أهم المفاهيم التي أخذتها العلوم الرياضية من اللغة الدارجة كلمة «مجموعة»، ويعرف كل الناس ماذا تعني عبارة «مجموعة المواطنين السوريين» هو عدد من الأشخاص الذين تعطيهم الأنظمة المرعية لقب مواطن سوري. وعلى هذا المفهوم البدائي البسيط قامت نظرية المجموعات، ثم تطور هذا المفهوم وأخذ تدريجياً شكلاً مجرداً. إذا أريد تفسير هذا المفهوم، وتعيين حدوده التي لا يتعداها، فليس هنالك أفضل مما قاله بصدد ذلك مؤسس هذه النظرية الرياضي الشهير كانتور: «إن المجموعة هي اجتماع في كلٍ، لعدد من الأشياء التي نحسّها بحواسنا أو نتصورها بأذهاننا، وهي كائنات معينة تمام التعيين، ومختلف بعضها عن بعض».
فالقول إن المجموعة كلٌ قائم بذاته، يقود إلى أن مفهوم المجموعة مستقل عن مفهوم العناصر التي تتكون منها، وليس هناك تمييز بين عناصر هذه المجموعة، كما أنه ليس هناك أي نظام أو ترتيب ضروريان بين أفرادها. والقول: إن عناصر المجموعة كائنات معينة تمام التعيين، يعني أنه يجب أن تكون هناك قاعدة يتمكن بوساطتها التقرير فيما إذا كان شيء بعينه من الأشياء يقع في (ينتمي إلى) هذه المجموعة أو أنه غريب عنها، وقد تكون هذه القاعدة هي بيان بالأشياء المنتمية إلى هذه المجموعة. كما أنه لا يوجد تكرار في عناصر هذه المجموعة، فإن وجد عنصر من عناصرها مكرراً، فإنه يمثل عنصراً واحداً من المجموعة المذكورة.
يرمز عادةً للمجموعة بأحرف كبيرة A, B, C, …, X… ولعناصرها بأحرف صغيرة a, b, c, …, x… وتستخدم الرموز الآتية:
a Î A للدلالة على أن a عنصر من المجموعة A
a Ï A للدلالة على أن a ليس عنصراً من A
AÍ B للدلالة على أن A محتواة في B
A È B للدلالة على اجتماع A وB
A Ç B للدلالة على تقاطع A وB
Æ للدلالة على المجموعة الخالية
أمثلة:
1ـ تشكل الأعداد الأولية التي تصغر العدد 100 مجموعة مؤلفة من 26 عنصراً.
2ـ تؤلف رؤوس مربع مجموعة عدد عناصرها أربعة.
يقال إن المجموعة A هي مجموعة منتهية، إذا كانت مؤلفة من عدد منته من العناصر. وإذا حوت المجموعة على عدد غير منته من العناصر المختلفة مثنى مثنى فيقال إنها مجموعة غير منتهية.
فمثلاً، المجموعة A = {1, 2, …, n} هي مجموعة منتهية، وعدد عناصرها هو n، في حين أن المجموعة
X} عدد زوجي صحيح:B = {x هي مجموعة غير منتهية.
تعيين مجموعة
تتعين المجموعة تماماً إذا أمكن الحكم على عنصر ما بأن هذا العنصر هو أحد عناصر المجموعة أم لا. وتتعين المجموعة A والمكونة من عدد من العناصر بإحدى الطريقتين الآتيتين:
1- إذا كانت المجموعة A مكونة من العناصر a1, a2, …, an تكتب جميع هذه العناصر بين قوسين } {كما يأتي:
A = {a1, a2, …, an}، وهذه الطريقة تستعمل غالباً عندما تكون المجموعة A منتهية.
2- تتعين المجموعة A بذكر الخاصة المشتركة التي تتمتع بها جميع عناصرها، فمثلاً المجموعة A الآتية:
x} عدد صحيح يقبل القسمة على A = {x: 2
وتعني مجموعة الأعداد الصحيحة الزوجية؛ وتستعمل هذه الطريقة سواء أكان عدد عناصر المجموعة A منتهياً أم غير منته.
يقال إن المجموعتين A وB متساويتان أو متطابقتان، إذا كانت جميع عناصر المجموعة A تنتمي إلى المجموعة B، وجميع عناصر B تنتمي إلى A وتكتب A = B. وإذا كانت المجموعتان A وB غير متساويتين، فتكتب A ≠ B، فمثلاً المجموعتان A ={2, 7, 5, 8} وB = {8, 2, 7, 5} متساويتان.
وترتيب العناصر لا أهمية له في تساوي المجموعات.
بعض أنواع المجموعات
1- المجموعات الجزئية subsets: إذا كان كل عنصر من مجموعة E هو في الوقت نفسه عنصر من مجموعة F، يقال إن E محتواة في F أو إن E مجموعة جزئية من F، ويرمز لذلك بـ E Í F. إذا كانت E Í F. وهناك عناصر من F لا تنتمي للمجموعة E يقال إن E محتواة تماماً في F ويرمز لذلك بـ E Ì F.
2- المجموعة الخالية empty set: هي المجموعة التي لا تحوي أي عنصر من العناصر، ويرمز لها بالرمز f، وتعرف المجموعة الخالية بأي خاصة غير محققة، فمثلاً يمكن أن تُعرف المجموعة الخالية φ بالعلاقة: f = {x : x ≠ x}.
كما أن مجموعة الأعداد الفردية التي تقبل القسمة على العدد 2 هي مجموعة خالية.
إن المجموعة الخالية هي مجموعة جزئية من كل مجموعة.
3- مجموعة الأجزاء subsets collection: لتكن E مجموعة غير خالية، إن كل المجموعات الجزئية الممكنة لـ E بما فيها المجموعة الخالية والمجموعة E نفسها تسمى مجموعة الأجزاء لـ E ويرمز لها عادةً بـ P (E). فمثلاً لتكن المجموعة E = {1, 5, 6} فإن: P (E) = {f}, {1}, {5}, {1, 6}, {6}, {1, 5}, {5, 6}, {E}
يلاحظ أن المجموعة E السابقة تحتوي على ثلاثة عناصر، والمجموعة P (E) تحتوي على ت8 = 23 نعنصراً، وعموماً، إذا كانت A مجموعة منتهية تحتوي على n عنصراً، فإن مجموعة الأجزاء لها P (E) تحتوي على نn2n عنصراً.
التغطية والتجزئة
لتكن (i = 1, 2, , n) Ai مجموعات جزئية من مجموعة E، فإذا كان E = A1ÈA2È … ÈAn قيل إن هذه المجموعات تمثّل تغطية لـ E. وإذا كانت هذه المجموعات (غير خالية) تغطية لـ E وAiÇAj= f (لكل i ≠ j) قيل إنها تشكّل تجزئة لـ E.
العمليات على المجموعات set operations
لتكن A وB مجموعتين مفروضتين:
1- التقاطع intersection: إن المجموعة المؤلفة من العناصر المشتركة بين المجموعتين A وB تسمى تقاطع هاتين المجموعتين ويرمز لها بـ AÇB. أي إن:
x Î B} وAÇB = {x: x Î A
من التعريف يمكن استنتاج:
AÇB Í A, AÇB Í B, AÇB = BÇA
AÇf = f, AÇA = A
2- الاجتماع union: يقال إن المجموعة C تمثل اجتماع المجموعتين A وB، فيما إذا كانت C مؤلفة من العناصر التي تنتمي على الأقل إلى واحد فقط من المجموعتين A وB، ويرمز لذلك بالشكل:
x Î B} أو AÈB = C = {x: x Î A
من التعريف السابق يمكن استنتاج:
AÍ A ÈB, AÈB = BÈA, AÈA = A
B Í A ÈB, AÈf = A
3- الفرق بين مجموعتين relative complement: إن المجموعة المؤلفة من العناصر التي تنتمي إلى A ولا تنتمي إلى B تسمى الفرق بين المجموعتين A وB ويرمز لها بالرمز A—B أي إن:
x Ï B} وA—B = {x: x Î A
من التعريف يمكن استنتاج: A—B ≠ B—A
4- متممة مجموعة complement set: متممة المجموعة A الجزئية من E، يرمز لها عادةً بالرمز Ā وهي المجموعة الجزئية من E المؤلفة من جميع عناصر E غير المنتمية إلى A، أي إن:
x Ï A} وĀ = E—A = {x: x Î E
5- الجداء الديكارتي product sets: يرمز عادةً للجداء الديكارتي للمجموعتين A وB بـ A x B ويعرف بمجموعة الثنائيات (a,b) حيث a Î A, b Î B، أي إن:
A x B = {(a, b): a Î A, b Î B}
A x B ≠ B x A, A x f = f x A = f
مخططات فن - أولر Venn-Euler diagrams
يستسحن لتفهم بعض التعاريف والخواص المتعلقة بالمجموعات أن تمثل هذه المجموعات بقطع من مستوٍ محاطة بمنحنيات مغلقة، وتفيد هذه الأشكال في توضيح بعض العلاقات، وتسمى هذه الأشكال بمخططات أولر - فن. فمثلاً لتوضيح أن المجموعة E محتواة في المجموعة F، ترسم منحنٍ يمثل داخله المجموعة F، ويرسم داخل هذا المنحني منحنٍ آخر مغلق واقع بكامله داخل المنحني الأول يمثل داخله المجموعة E، كما هو موضح في الأشكال المبينة في الشكل (1).
أصبحت نظرية المجموعات منذ نهاية القرن العشرين أساساً ضرورياً للتحليل الرياضي ولنظرية الاحتمالات والإحصاء، ويعدّ كتاب الرياضي الفرنسي بوريل المطبوع عام 1898 بعنوان «دروس في نظرية التوابع» خير دليل على ذلك. ولا بدّ من الإشارة إلى الدور الأساسي لنظرية المجموعات في البنى الجبرية (أنصاف الزمر، الزمر، الحلقات، الحقول، الفراغات الشعاعية، الجبور ....).
صفوان عويرة
Set - Ensemble
المجموعة
تدين نظرية المجموعات set theory بوجودها للرياضي الألماني الشهيرجورج كانتور George Cantor ن(1845-1918)، إذ هو الذي أرسى الأسس الأولى لهذه النظرية وتابع بعده كثير من العلماء الرياضيين العمل فيها، مثل فان دير فارون وأولر ولايبنتز.
ومن المؤكد أن الدراسات الأولى على المجموعات قد ظهرت قديماً في الفلسفة بعنوان منطق الأصناف، ومن المعروف أن الرياضي الألماني أولر تعرض لهذا الموضوع في كتابه الشهير «كتاب إلى أميرة ألمانية»، واستعمل فيه مخططاته الشهيرة ليفسر الأشكال المختلفة للقياس.
مفهوم المجموعة
إن من أهم المفاهيم التي أخذتها العلوم الرياضية من اللغة الدارجة كلمة «مجموعة»، ويعرف كل الناس ماذا تعني عبارة «مجموعة المواطنين السوريين» هو عدد من الأشخاص الذين تعطيهم الأنظمة المرعية لقب مواطن سوري. وعلى هذا المفهوم البدائي البسيط قامت نظرية المجموعات، ثم تطور هذا المفهوم وأخذ تدريجياً شكلاً مجرداً. إذا أريد تفسير هذا المفهوم، وتعيين حدوده التي لا يتعداها، فليس هنالك أفضل مما قاله بصدد ذلك مؤسس هذه النظرية الرياضي الشهير كانتور: «إن المجموعة هي اجتماع في كلٍ، لعدد من الأشياء التي نحسّها بحواسنا أو نتصورها بأذهاننا، وهي كائنات معينة تمام التعيين، ومختلف بعضها عن بعض».
فالقول إن المجموعة كلٌ قائم بذاته، يقود إلى أن مفهوم المجموعة مستقل عن مفهوم العناصر التي تتكون منها، وليس هناك تمييز بين عناصر هذه المجموعة، كما أنه ليس هناك أي نظام أو ترتيب ضروريان بين أفرادها. والقول: إن عناصر المجموعة كائنات معينة تمام التعيين، يعني أنه يجب أن تكون هناك قاعدة يتمكن بوساطتها التقرير فيما إذا كان شيء بعينه من الأشياء يقع في (ينتمي إلى) هذه المجموعة أو أنه غريب عنها، وقد تكون هذه القاعدة هي بيان بالأشياء المنتمية إلى هذه المجموعة. كما أنه لا يوجد تكرار في عناصر هذه المجموعة، فإن وجد عنصر من عناصرها مكرراً، فإنه يمثل عنصراً واحداً من المجموعة المذكورة.
يرمز عادةً للمجموعة بأحرف كبيرة A, B, C, …, X… ولعناصرها بأحرف صغيرة a, b, c, …, x… وتستخدم الرموز الآتية:
a Î A للدلالة على أن a عنصر من المجموعة A
a Ï A للدلالة على أن a ليس عنصراً من A
AÍ B للدلالة على أن A محتواة في B
A È B للدلالة على اجتماع A وB
A Ç B للدلالة على تقاطع A وB
Æ للدلالة على المجموعة الخالية
أمثلة:
1ـ تشكل الأعداد الأولية التي تصغر العدد 100 مجموعة مؤلفة من 26 عنصراً.
2ـ تؤلف رؤوس مربع مجموعة عدد عناصرها أربعة.
يقال إن المجموعة A هي مجموعة منتهية، إذا كانت مؤلفة من عدد منته من العناصر. وإذا حوت المجموعة على عدد غير منته من العناصر المختلفة مثنى مثنى فيقال إنها مجموعة غير منتهية.
فمثلاً، المجموعة A = {1, 2, …, n} هي مجموعة منتهية، وعدد عناصرها هو n، في حين أن المجموعة
X} عدد زوجي صحيح:B = {x هي مجموعة غير منتهية.
تعيين مجموعة
تتعين المجموعة تماماً إذا أمكن الحكم على عنصر ما بأن هذا العنصر هو أحد عناصر المجموعة أم لا. وتتعين المجموعة A والمكونة من عدد من العناصر بإحدى الطريقتين الآتيتين:
1- إذا كانت المجموعة A مكونة من العناصر a1, a2, …, an تكتب جميع هذه العناصر بين قوسين } {كما يأتي:
A = {a1, a2, …, an}، وهذه الطريقة تستعمل غالباً عندما تكون المجموعة A منتهية.
2- تتعين المجموعة A بذكر الخاصة المشتركة التي تتمتع بها جميع عناصرها، فمثلاً المجموعة A الآتية:
x} عدد صحيح يقبل القسمة على A = {x: 2
وتعني مجموعة الأعداد الصحيحة الزوجية؛ وتستعمل هذه الطريقة سواء أكان عدد عناصر المجموعة A منتهياً أم غير منته.
يقال إن المجموعتين A وB متساويتان أو متطابقتان، إذا كانت جميع عناصر المجموعة A تنتمي إلى المجموعة B، وجميع عناصر B تنتمي إلى A وتكتب A = B. وإذا كانت المجموعتان A وB غير متساويتين، فتكتب A ≠ B، فمثلاً المجموعتان A ={2, 7, 5, 8} وB = {8, 2, 7, 5} متساويتان.
وترتيب العناصر لا أهمية له في تساوي المجموعات.
بعض أنواع المجموعات
1- المجموعات الجزئية subsets: إذا كان كل عنصر من مجموعة E هو في الوقت نفسه عنصر من مجموعة F، يقال إن E محتواة في F أو إن E مجموعة جزئية من F، ويرمز لذلك بـ E Í F. إذا كانت E Í F. وهناك عناصر من F لا تنتمي للمجموعة E يقال إن E محتواة تماماً في F ويرمز لذلك بـ E Ì F.
2- المجموعة الخالية empty set: هي المجموعة التي لا تحوي أي عنصر من العناصر، ويرمز لها بالرمز f، وتعرف المجموعة الخالية بأي خاصة غير محققة، فمثلاً يمكن أن تُعرف المجموعة الخالية φ بالعلاقة: f = {x : x ≠ x}.
كما أن مجموعة الأعداد الفردية التي تقبل القسمة على العدد 2 هي مجموعة خالية.
إن المجموعة الخالية هي مجموعة جزئية من كل مجموعة.
3- مجموعة الأجزاء subsets collection: لتكن E مجموعة غير خالية، إن كل المجموعات الجزئية الممكنة لـ E بما فيها المجموعة الخالية والمجموعة E نفسها تسمى مجموعة الأجزاء لـ E ويرمز لها عادةً بـ P (E). فمثلاً لتكن المجموعة E = {1, 5, 6} فإن: P (E) = {f}, {1}, {5}, {1, 6}, {6}, {1, 5}, {5, 6}, {E}
يلاحظ أن المجموعة E السابقة تحتوي على ثلاثة عناصر، والمجموعة P (E) تحتوي على ت8 = 23 نعنصراً، وعموماً، إذا كانت A مجموعة منتهية تحتوي على n عنصراً، فإن مجموعة الأجزاء لها P (E) تحتوي على نn2n عنصراً.
التغطية والتجزئة
لتكن (i = 1, 2, , n) Ai مجموعات جزئية من مجموعة E، فإذا كان E = A1ÈA2È … ÈAn قيل إن هذه المجموعات تمثّل تغطية لـ E. وإذا كانت هذه المجموعات (غير خالية) تغطية لـ E وAiÇAj= f (لكل i ≠ j) قيل إنها تشكّل تجزئة لـ E.
العمليات على المجموعات set operations
لتكن A وB مجموعتين مفروضتين:
1- التقاطع intersection: إن المجموعة المؤلفة من العناصر المشتركة بين المجموعتين A وB تسمى تقاطع هاتين المجموعتين ويرمز لها بـ AÇB. أي إن:
x Î B} وAÇB = {x: x Î A
من التعريف يمكن استنتاج:
AÇB Í A, AÇB Í B, AÇB = BÇA
AÇf = f, AÇA = A
2- الاجتماع union: يقال إن المجموعة C تمثل اجتماع المجموعتين A وB، فيما إذا كانت C مؤلفة من العناصر التي تنتمي على الأقل إلى واحد فقط من المجموعتين A وB، ويرمز لذلك بالشكل:
x Î B} أو AÈB = C = {x: x Î A
من التعريف السابق يمكن استنتاج:
AÍ A ÈB, AÈB = BÈA, AÈA = A
B Í A ÈB, AÈf = A
3- الفرق بين مجموعتين relative complement: إن المجموعة المؤلفة من العناصر التي تنتمي إلى A ولا تنتمي إلى B تسمى الفرق بين المجموعتين A وB ويرمز لها بالرمز A—B أي إن:
x Ï B} وA—B = {x: x Î A
من التعريف يمكن استنتاج: A—B ≠ B—A
4- متممة مجموعة complement set: متممة المجموعة A الجزئية من E، يرمز لها عادةً بالرمز Ā وهي المجموعة الجزئية من E المؤلفة من جميع عناصر E غير المنتمية إلى A، أي إن:
x Ï A} وĀ = E—A = {x: x Î E
5- الجداء الديكارتي product sets: يرمز عادةً للجداء الديكارتي للمجموعتين A وB بـ A x B ويعرف بمجموعة الثنائيات (a,b) حيث a Î A, b Î B، أي إن:
A x B = {(a, b): a Î A, b Î B}
A x B ≠ B x A, A x f = f x A = f
مخططات فن - أولر Venn-Euler diagrams
يستسحن لتفهم بعض التعاريف والخواص المتعلقة بالمجموعات أن تمثل هذه المجموعات بقطع من مستوٍ محاطة بمنحنيات مغلقة، وتفيد هذه الأشكال في توضيح بعض العلاقات، وتسمى هذه الأشكال بمخططات أولر - فن. فمثلاً لتوضيح أن المجموعة E محتواة في المجموعة F، ترسم منحنٍ يمثل داخله المجموعة F، ويرسم داخل هذا المنحني منحنٍ آخر مغلق واقع بكامله داخل المنحني الأول يمثل داخله المجموعة E، كما هو موضح في الأشكال المبينة في الشكل (1).
 |
الشكل (1) |
صفوان عويرة