تويت
مجانسه
Homography - Homographie
المجانسة
المجانسة homography أو التقابل المتجانس homographic correspondence هو التقابل بين متحولين جبريين حقيقيين x وy؛ كل منهما من الدرجة الأولى، تربطهما العلاقة axy + bx + cy + d = 0 حيث a, b, c, d ∈ R (a,b,c,d أعداد حقيقية).
يمكن أن تكون x وy فاصلتي نقطتين على محور واحد (أو على محورين مختلفين)، أو أمثال توجيه مستقيمين، أو غير ذلك.
مثال (1): لتكن M(x, y) نقطة ما من منحني الدالة (التابع)
(الشكل 1) إحداثياها x وy اللذان تربطهما علاقة المجانسة 2xy - 3x + y + 2 = 0.
مثال (2): ليكن المثلث ABC (الشكل 2) فيه AD وAE منصفاً زاوية الرأس A (الداخلي والخارجي). يوجد تناسب بين أطوال القطع المستقيمة
فإذا اتخذ BC محوراً، واتخذت نقطة ما منه O (مثلاً) مبدأً للإحداثيات،
فإن الفاصلتين x وx`
2xx` - (b + c) x - (b + c) x` + 2bc = 0
مثال (3): ليكن L وL` مستقيمين متقاطعين في المستوي المنسوب إلى المحورين الإحداثيين OX وOY ميلاهما m وm` والزاوية بينهما θ فإن:
فإذا كانت tg θ = α فإن الميلين m وm` تربطهما علاقة المجانسة:
α m m`+ m`- m + α = 0
خصائص أساسية لعلاقة المجانسة axy + bx + cy + d = 0:
1) في الحالة العامة عندما a ≠ 0 يمكن حساب أحد المتحولين بدلالة الآخر، مثلاً:
2) عندما a = 0 وb, c ≠ 0 يمكن التعبير عن أحد المتحولين كتابع للآخر بعلاقة خطية، مثلاً:
3) a ≠ 0 يجعل العلاقة axy + bx + cy + d = 0 مكافئة للعلاقة (ax + c) (ay + b) = b.c - a.d أو
آ) b.c - a.d ≠ 0 فكل قيمة منتهية
للمتحول x تقابلها قيمة منتهية للمتحول y. وكل قيمة منتهية
للمتحول y تقابلها قيمة منتهية للمتحول x. أما إذا اقتربت x من القيمة
فإن قيمة y تسعى إلى اللانهاية.
فإن قيمة x تصبح غير مُعرَّفة.
وإذا اقتربت y من القيمة
فإن قيمة x تسعى إلى اللانهاية. وإذا غدت
فإن قيمة x تصبح غير مُعرَّفة.
ب) b.c - a.d = 0 فالعلاقة تصبح:
وتدعى شاذة singular أو معتلة improper، ولا تعين نقاط تقابل متجانس.
أنور اللحام
Homography - Homographie
المجانسة
المجانسة homography أو التقابل المتجانس homographic correspondence هو التقابل بين متحولين جبريين حقيقيين x وy؛ كل منهما من الدرجة الأولى، تربطهما العلاقة axy + bx + cy + d = 0 حيث a, b, c, d ∈ R (a,b,c,d أعداد حقيقية).
يمكن أن تكون x وy فاصلتي نقطتين على محور واحد (أو على محورين مختلفين)، أو أمثال توجيه مستقيمين، أو غير ذلك.
مثال (1): لتكن M(x, y) نقطة ما من منحني الدالة (التابع)
 |
| (الشكل 1) |
 |
| (الشكل 2) |
 |
| (الشكل 3) |
مثال (2): ليكن المثلث ABC (الشكل 2) فيه AD وAE منصفاً زاوية الرأس A (الداخلي والخارجي). يوجد تناسب بين أطوال القطع المستقيمة
فإذا اتخذ BC محوراً، واتخذت نقطة ما منه O (مثلاً) مبدأً للإحداثيات،
فإن الفاصلتين x وx`
2xx` - (b + c) x - (b + c) x` + 2bc = 0
مثال (3): ليكن L وL` مستقيمين متقاطعين في المستوي المنسوب إلى المحورين الإحداثيين OX وOY ميلاهما m وm` والزاوية بينهما θ فإن:
فإذا كانت tg θ = α فإن الميلين m وm` تربطهما علاقة المجانسة:
α m m`+ m`- m + α = 0
خصائص أساسية لعلاقة المجانسة axy + bx + cy + d = 0:
1) في الحالة العامة عندما a ≠ 0 يمكن حساب أحد المتحولين بدلالة الآخر، مثلاً:
2) عندما a = 0 وb, c ≠ 0 يمكن التعبير عن أحد المتحولين كتابع للآخر بعلاقة خطية، مثلاً:
3) a ≠ 0 يجعل العلاقة axy + bx + cy + d = 0 مكافئة للعلاقة (ax + c) (ay + b) = b.c - a.d أو
آ) b.c - a.d ≠ 0 فكل قيمة منتهية
للمتحول x تقابلها قيمة منتهية للمتحول y. وكل قيمة منتهية
للمتحول y تقابلها قيمة منتهية للمتحول x. أما إذا اقتربت x من القيمة
فإن قيمة y تسعى إلى اللانهاية.
فإن قيمة x تصبح غير مُعرَّفة.
وإذا اقتربت y من القيمة
فإن قيمة x تسعى إلى اللانهاية. وإذا غدت
فإن قيمة x تصبح غير مُعرَّفة.
ب) b.c - a.d = 0 فالعلاقة تصبح:
وتدعى شاذة singular أو معتلة improper، ولا تعين نقاط تقابل متجانس.
أنور اللحام