تويت
متجه
Vector - Vecteur
المتجه
المتجه Vector (الشعاع) هو كائن رياضي يستخدم لوصف مقادير لها قياس (طول) ومنحى واتجاه.
مثال (1): ليكن X`OX محوراً عليه نقطتان P وQ حيث فاصلة النقطة P هي xP =-2 وفاصلة النقطة Q هي xQ =1. فيمكن حساب البعد بين P وQ (أو Q وP)، وهو عدد موجب، PQ = QP =3.
أما إذا علمت مثلاً فاصلة نقطة (xN =3) N، وعُلم البعد بينها وبين نقطة أخرى (NM =5)M فذلك لا يكفي لتعيين موضع النقطة M (فاصلة النقطة M)، إذ xM = 8) أو (xM = -2 ولاختيار أحدهما يلزم معرفة الجهة التي تقع فيها M بالنسبة إلى النقطة الأخرى N، هل هي على يمين N أم على يسارها؟
كذلك فإن أي نقطة L، واقعة على المحور X`OX، لا يكفي معرفة بعدها عن المبدأ O، لتحديد موقعها على المحور، بل يلزم معرفة فاصلة هذه النقطة على المحور، التي تكون عدداً موجباً أو سالباً تبعاً لموضع النقطة بالنسبة إلى المبدأ O وتبعاً لتوجيه المحور.
مثال (2): لو أن شخصاً ما غادر مدينة حمص بسيارته، وعُلِم بعد ذلك أنه أصبح على بعد 350 كيلومتراً منها، فلا يمكن معرفة مكانه، إذ يمكن أن يكون قد أصبح في تركيا أو في الأردن أو لا زال في سورية، ذلك أن جهة حركته غير معروفة.
توجد في الطبيعة كميات كثيرة لا يكفي لتعريفها بدقة معرفة قياسها العددي، بل يتطلب ذلك معرفة أشياء أخرى كالمنحى والجهة، مثل: الانتقال displacement والسرعة velocity والتسارع acceleration والاندفاع momentum والقوة force. إذ يصادف في الرياضيات والفيزياء، وخاصة في الميكانيك، نوعان من المقادير : مقادير عددية scalars ومقادير متجهة (شعاعية) vectors.
المقدار العددي هو ذلك المقدار الذي يُعرف بعدد واحد، عند اختيار واحدة قياس مناسبة.
أما المقدار المتجهي: فهو ذلك المقدار الذي يُعرف بقيمته العددية مأخوذة في واحدة قياس مناسبة وباتجاهه في الفضاء.
وكما أن العدد المجرد يعد أبسط المقادير العددية، كذلك فإن القطعة المستقيمة، المعرفة بقيمة عددية واتجاه محدد، تعد أبسط المقادير المتجهية.
المتجه
تسمى القطعة المستقيمة AB الموجهة من مبدئها A إلى منتهاها B بالمتجه (الشعاع )
ويرمز له V، أو بحرف واحد 
مثلاً. ويرمز لطوله 
أو V اختصاراً.
وقد يرمز، اختصاراً في الكتابة وتسهيلاً في الطباعة، للمتجه بحرف غامق من دون سهم فوقه، فالمتجه مثلاً يكتب V.
إن للمتجه أربعة عناصر:
1) المبدأorigin: وهو بداية القطعة المستقيمة AB.
2) الطويلةmagnitude: وهي البعد بين بداية القطعة المستقيمة AB ونهايتها.
3) المنحىdirection: وهو المستقيم الحامل للمتجه، أو أي مستقيم آخر يوازيه.
4) الاتجاه sense: هو الاتجاه من بداية القطعة المستقيمة AB حتى نهايتها.
بذلك يمكن ذكر ثلاثة أنواع من المتجهات :
1) المتجه المقيد: هو المتجه الذي ثبتت فيه جميع عناصره.
2) المتجه الطليق: هو المتجه الذي ثبتت فيه عناصره الثلاثة الأخيرة، وبقي مبدؤه غير معين في الفضاء.
3) المتجه المنزلق: هو المتجه الذي بقي مبدؤه غير معين على المستقيم الحامل له.
المتجهات المتساوية
يقال عن متجهين V و V' إنهما متساويان (أو متسايران)، ويكتب V'= V إذا اتحد هذان المتجهان في المنحى والطول والاتجاه.
وفي الحالة الخاصة، إذا كان للمتجهين المتساويين V و V' حامل واحد، دعيا بالمتجهين المتساويين مباشرة.
المتجهات المتعاكسة
يقال عن متجهين V وV' إنهما متعاكسـان، ويكتب V' = - V إذا اتحد هذان المتجهان في المنحى والطول واختلفا في الاتجاه.
وفي الحالة الخاصة، إذا كان للمتجهين المتعاكسين V وV' حامل واحد، دعيا بالمتجهين المتعاكسين مباشرة.
العمليات الرياضية على المتجهات
تطبق على المتجهات العمليات الرياضية التي تتم على المقادير العددية من جمع وطرح وضرب وتختلف في العديد من النواحي عن تلك العمليات التي تتم على المقادير العددية.
وتطبق عليها أيضاً عملية الضرب بعدد، وعملية الاشتقاق عندما يكون المتجه تابعاً لوسيط متغير. وهذه العمليات الرياضية التي تتم على المتجهات ذات أهمية كبيرة في الرياضيات والفيزياء.
جمع المتجهات
لجمع متجهين V1 وV2 يرسم من نقطة ما O متجه OA1 يساوي V1، ثم متجه OA2 يساوي V2 (الشكل 2)، فالمتجه OA، وهو القطر الموجه لمتوازي الأضلاع المنشأ على هذين المتجهين، أو أي متجه مساوٍ له، هو مجموع المتجهين V1 وV2.
ويكتب:
OA1 + OA2 = OA أو V1 + V2 = V.
يلاحظ أنه لجمع متجهين V1 وV2 يكفي أن يُنشأ من نقطة ماO متجه OA1 يساوي V1، ثم ينشأ من نهايته A1 متجه A1A يساوي V2 (الشكل 3)، فالمتجه OA، الذي مبدؤه النقطة O ونهايته النقطة A (وهو القطر الموجه لمتوازي الأضلاع المنشأ على هذين المتجهين) هو مجموع المتجهين V1 و V2.
أي إن:
V1 + V2= OA1 + A1A2 = OA
يلاحظ:
1) أن لا فرق حين الجمع بين V1 + V2 وV2 + V1 فجمع المتجهات يتميز بالخاصة التبديلية.
2) لجمع المتجهات الثلاث V3 , V2 , V1 يكفي أن يُنشأ من نقطة ما O متجه OA1 يساوي V1، ثم ينشأ من نهايته A1 متجه A1A2 يساوي V2 (الشكل 4)، فيكون:
V1 + V2= OA1 + A1A2 = OA2،
ثم ينشأ من A2 متجه A2A يساوي V3 فالمتجه OA، الذي مبدؤه النقطة O ونهايته النقطة A هو حاصل الجمع OA = (V1+V2) + V3.
ثم إن
OA = OA1 + A1A OA+ (V1+V2) + V3
أي إن: (V1+V2) + V3 = V1+(V2 + V3) = OA
فجمع المتجهات يتميز بالخاصة التجميعية.
4) إن مجموع متجه ما V مع المتجه الصفري O (الذي تنطبق بدايته على نهايته) هو المتجه V نفسه. أي V +O = O+V =O
أي إن المتجه الصفري O هو العنصر الحيادي بالنسبة إلى عملية جمع المتجهات.
5) لإيجاد مجموع المتجهين المتعاكسين V و -V يُرسم من نقطة ما O متجه OA يساوي V (الشكل 5)، ثم يُنشأ من نهايته A متجه AB يساوي -V فتنطبق B على النقطة O.
فالمتجه الصفري O هو حاصل جمع المتجهين المتعاكسين V و -V أي V + (-V) = O.
أي إن لكل متجه V نظير -V ( المتجه المعاكس له).
جداء متجه بعدد
جداء متجه ما V بعدد حقيقي a، هو متجه V، منحاه يوازي منحى V، وطوله يساوي جداء طول V بالقيمة المطلقة للعدد a، واتجاهه يوافق اتجاه V أو يخالفه حسب ما يكون a موجباً أو سالباً، ويكتب V’= a. V
يلاحظ بسهولة أن هذا الجداء يتميز بالخصائص التالية:
1) a (V1+ V2+ … +Vn) = a. V1 + a. V2 + … + a. Vn
2) (a1+ a2+ … + an ). V = a1. V + a2. V + … + an. V
3) a. (b. V) = (a. b) V
4) v1.V = V
الجداء الداخلي (العددي أو السلمي) inner (scalar) product
الجداء الداخلي لمتجهين V, W هو عدد يساوي حاصل جداء طويلتي V, W بجيب تمام الزاوية المحصورة بينهما. ويرمز لهذا الجداء عادة: V. W
أي إن: V. W = |V|. |W| .cos α
حيث α هي الزاوية المحصورة بين المتجهين V وW.
وإذا عرفت مركبات المتجهين V وW على جملة المحاور الإحداثية المتعامدة المباشرة OXYZ، أي كان V (a, b, c) و W (a', b', c') فإن:
V. W = a. a' + b. b' + c. c'
الجداء المتجهي vector product
يعرف هذا الجداء أيضاً تحت اسم الجداء الخارجي.
الجداء الخارجي لمتجهين V, W هو متجه U، طويلته تساوي مساحة متوازي الأضلاع المرسوم على المتجهين V, W، ومنحاه عمودي على مستوي الشعاعين المفروضين، وجهته بحيث تكون الثلاثية (V, W, U) مباشرة، بمعنى أن تدوير V باتجاه W يجعل U يتقدم باتجاه تقدم البزال الذي يدار باتجاه V نحو W. ويرمز له بأحد الشكلين التاليين: VxW أو V^W.
ينتج من التعريف مباشرة أن: VxW| = |V|. |W|. sin α
حيث α هي الزاوية المحصورة بين المتجهين V و W.
وإذا عرفت مركبات المتجهين V و W على جملة المحاور الإحداثية المتعامدة المباشرة OXYZ، أي كان V (a, b, c) و W (a', b', c') فإن:
VxW = (b.c' - c.b'). i - (a. c'- c .a'). j + (a.b'- b.a').k
حيث i, j, k هي متجهات الواحدة على المحاور الإحداثية الثلاث OX, OY, OZ.
الجداء الثلاثي العددي the scalar triple product
يُعرف هذا الجداء أيضاً باسم الجداء المختلط.
الجداء المختلط لثلاثة متجهات U, V, W هو U. (VxW)، وهو عدد، قيمته المطلقة تساوي حجم متوازي المستطيلات المنشأ على المتجهات الثلاث U, V, W.
ويرمز له عادة (U, V, W).
وإذا عرفت مركبات المتجهات V وW وU على جملة المحاور الإحداثية المتعامدة المباشرة OXYZ، أي كان V (a, b, c) وW (a', b', c') وU (a'', b'', c'') فإن:
U. (VxW) = (b.c' - c.b') a''- (a.c' - c.a'') b'' + (a.b' - b.a') c''
أنور توفيق اللحام
Vector - Vecteur
المتجه
المتجه Vector (الشعاع) هو كائن رياضي يستخدم لوصف مقادير لها قياس (طول) ومنحى واتجاه.
مثال (1): ليكن X`OX محوراً عليه نقطتان P وQ حيث فاصلة النقطة P هي xP =-2 وفاصلة النقطة Q هي xQ =1. فيمكن حساب البعد بين P وQ (أو Q وP)، وهو عدد موجب، PQ = QP =3.
 |
الشكل (1) |
كذلك فإن أي نقطة L، واقعة على المحور X`OX، لا يكفي معرفة بعدها عن المبدأ O، لتحديد موقعها على المحور، بل يلزم معرفة فاصلة هذه النقطة على المحور، التي تكون عدداً موجباً أو سالباً تبعاً لموضع النقطة بالنسبة إلى المبدأ O وتبعاً لتوجيه المحور.
مثال (2): لو أن شخصاً ما غادر مدينة حمص بسيارته، وعُلِم بعد ذلك أنه أصبح على بعد 350 كيلومتراً منها، فلا يمكن معرفة مكانه، إذ يمكن أن يكون قد أصبح في تركيا أو في الأردن أو لا زال في سورية، ذلك أن جهة حركته غير معروفة.
توجد في الطبيعة كميات كثيرة لا يكفي لتعريفها بدقة معرفة قياسها العددي، بل يتطلب ذلك معرفة أشياء أخرى كالمنحى والجهة، مثل: الانتقال displacement والسرعة velocity والتسارع acceleration والاندفاع momentum والقوة force. إذ يصادف في الرياضيات والفيزياء، وخاصة في الميكانيك، نوعان من المقادير : مقادير عددية scalars ومقادير متجهة (شعاعية) vectors.
المقدار العددي هو ذلك المقدار الذي يُعرف بعدد واحد، عند اختيار واحدة قياس مناسبة.
أما المقدار المتجهي: فهو ذلك المقدار الذي يُعرف بقيمته العددية مأخوذة في واحدة قياس مناسبة وباتجاهه في الفضاء.
وكما أن العدد المجرد يعد أبسط المقادير العددية، كذلك فإن القطعة المستقيمة، المعرفة بقيمة عددية واتجاه محدد، تعد أبسط المقادير المتجهية.
المتجه
تسمى القطعة المستقيمة AB الموجهة من مبدئها A إلى منتهاها B بالمتجه (الشعاع )
ويرمز له V، أو بحرف واحد مثلاً. ويرمز لطوله أو V اختصاراً.وقد يرمز، اختصاراً في الكتابة وتسهيلاً في الطباعة، للمتجه بحرف غامق من دون سهم فوقه، فالمتجه
مثلاً يكتب V.إن للمتجه
أربعة عناصر:1) المبدأorigin: وهو بداية القطعة المستقيمة AB.
2) الطويلةmagnitude: وهي البعد بين بداية القطعة المستقيمة AB ونهايتها.
3) المنحىdirection: وهو المستقيم الحامل للمتجه، أو أي مستقيم آخر يوازيه.
4) الاتجاه sense: هو الاتجاه من بداية القطعة المستقيمة AB حتى نهايتها.
بذلك يمكن ذكر ثلاثة أنواع من المتجهات :
1) المتجه المقيد: هو المتجه الذي ثبتت فيه جميع عناصره.
2) المتجه الطليق: هو المتجه الذي ثبتت فيه عناصره الثلاثة الأخيرة، وبقي مبدؤه غير معين في الفضاء.
3) المتجه المنزلق: هو المتجه الذي بقي مبدؤه غير معين على المستقيم الحامل له.
المتجهات المتساوية
يقال عن متجهين V و V' إنهما متساويان (أو متسايران)، ويكتب V'= V إذا اتحد هذان المتجهان في المنحى والطول والاتجاه.
وفي الحالة الخاصة، إذا كان للمتجهين المتساويين V و V' حامل واحد، دعيا بالمتجهين المتساويين مباشرة.
المتجهات المتعاكسة
يقال عن متجهين V وV' إنهما متعاكسـان، ويكتب V' = - V إذا اتحد هذان المتجهان في المنحى والطول واختلفا في الاتجاه.
وفي الحالة الخاصة، إذا كان للمتجهين المتعاكسين V وV' حامل واحد، دعيا بالمتجهين المتعاكسين مباشرة.
العمليات الرياضية على المتجهات
تطبق على المتجهات العمليات الرياضية التي تتم على المقادير العددية من جمع وطرح وضرب وتختلف في العديد من النواحي عن تلك العمليات التي تتم على المقادير العددية.
وتطبق عليها أيضاً عملية الضرب بعدد، وعملية الاشتقاق عندما يكون المتجه تابعاً لوسيط متغير. وهذه العمليات الرياضية التي تتم على المتجهات ذات أهمية كبيرة في الرياضيات والفيزياء.
جمع المتجهات
لجمع متجهين V1 وV2 يرسم من نقطة ما O متجه OA1 يساوي V1، ثم متجه OA2 يساوي V2 (الشكل 2)، فالمتجه OA، وهو القطر الموجه لمتوازي الأضلاع المنشأ على هذين المتجهين، أو أي متجه مساوٍ له، هو مجموع المتجهين V1 وV2.
 |
الشكل (2) |
OA1 + OA2 = OA أو V1 + V2 = V.
يلاحظ أنه لجمع متجهين V1 وV2 يكفي أن يُنشأ من نقطة ماO متجه OA1 يساوي V1، ثم ينشأ من نهايته A1 متجه A1A يساوي V2 (الشكل 3)، فالمتجه OA، الذي مبدؤه النقطة O ونهايته النقطة A (وهو القطر الموجه لمتوازي الأضلاع المنشأ على هذين المتجهين) هو مجموع المتجهين V1 و V2.
أي إن:
V1 + V2= OA1 + A1A2 = OA
 |
الشكل (3) |
1) أن لا فرق حين الجمع بين V1 + V2 وV2 + V1 فجمع المتجهات يتميز بالخاصة التبديلية.
2) لجمع المتجهات الثلاث V3 , V2 , V1 يكفي أن يُنشأ من نقطة ما O متجه OA1 يساوي V1، ثم ينشأ من نهايته A1 متجه A1A2 يساوي V2 (الشكل 4)، فيكون:
V1 + V2= OA1 + A1A2 = OA2،
ثم ينشأ من A2 متجه A2A يساوي V3 فالمتجه OA، الذي مبدؤه النقطة O ونهايته النقطة A هو حاصل الجمع OA = (V1+V2) + V3.
 |
الشكل (4) |
OA = OA1 + A1A OA+ (V1+V2) + V3
أي إن: (V1+V2) + V3 = V1+(V2 + V3) = OA
فجمع المتجهات يتميز بالخاصة التجميعية.
4) إن مجموع متجه ما V مع المتجه الصفري O (الذي تنطبق بدايته على نهايته) هو المتجه V نفسه. أي V +O = O+V =O
أي إن المتجه الصفري O هو العنصر الحيادي بالنسبة إلى عملية جمع المتجهات.
5) لإيجاد مجموع المتجهين المتعاكسين V و -V يُرسم من نقطة ما O متجه OA يساوي V (الشكل 5)، ثم يُنشأ من نهايته A متجه AB يساوي -V فتنطبق B على النقطة O.
فالمتجه الصفري O هو حاصل جمع المتجهين المتعاكسين V و -V أي V + (-V) = O.
 |
الشكل (5) |
جداء متجه بعدد
جداء متجه ما V بعدد حقيقي a، هو متجه V، منحاه يوازي منحى V، وطوله يساوي جداء طول V بالقيمة المطلقة للعدد a، واتجاهه يوافق اتجاه V أو يخالفه حسب ما يكون a موجباً أو سالباً، ويكتب V’= a. V
يلاحظ بسهولة أن هذا الجداء يتميز بالخصائص التالية:
1) a (V1+ V2+ … +Vn) = a. V1 + a. V2 + … + a. Vn
2) (a1+ a2+ … + an ). V = a1. V + a2. V + … + an. V
3) a. (b. V) = (a. b) V
4) v1.V = V
الجداء الداخلي (العددي أو السلمي) inner (scalar) product
الجداء الداخلي لمتجهين V, W هو عدد يساوي حاصل جداء طويلتي V, W بجيب تمام الزاوية المحصورة بينهما. ويرمز لهذا الجداء عادة: V. W
أي إن: V. W = |V|. |W| .cos α
حيث α هي الزاوية المحصورة بين المتجهين V وW.
وإذا عرفت مركبات المتجهين V وW على جملة المحاور الإحداثية المتعامدة المباشرة OXYZ، أي كان V (a, b, c) و W (a', b', c') فإن:
V. W = a. a' + b. b' + c. c'
الجداء المتجهي vector product
يعرف هذا الجداء أيضاً تحت اسم الجداء الخارجي.
الجداء الخارجي لمتجهين V, W هو متجه U، طويلته تساوي مساحة متوازي الأضلاع المرسوم على المتجهين V, W، ومنحاه عمودي على مستوي الشعاعين المفروضين، وجهته بحيث تكون الثلاثية (V, W, U) مباشرة، بمعنى أن تدوير V باتجاه W يجعل U يتقدم باتجاه تقدم البزال الذي يدار باتجاه V نحو W. ويرمز له بأحد الشكلين التاليين: VxW أو V^W.
 |
الشكل (6) |
حيث α هي الزاوية المحصورة بين المتجهين V و W.
وإذا عرفت مركبات المتجهين V و W على جملة المحاور الإحداثية المتعامدة المباشرة OXYZ، أي كان V (a, b, c) و W (a', b', c') فإن:
VxW = (b.c' - c.b'). i - (a. c'- c .a'). j + (a.b'- b.a').k
حيث i, j, k هي متجهات الواحدة على المحاور الإحداثية الثلاث OX, OY, OZ.
الجداء الثلاثي العددي the scalar triple product
يُعرف هذا الجداء أيضاً باسم الجداء المختلط.
الجداء المختلط لثلاثة متجهات U, V, W هو U. (VxW)، وهو عدد، قيمته المطلقة تساوي حجم متوازي المستطيلات المنشأ على المتجهات الثلاث U, V, W.
ويرمز له عادة (U, V, W).
 |
الشكل (7) |
U. (VxW) = (b.c' - c.b') a''- (a.c' - c.a'') b'' + (a.b' - b.a') c''
أنور توفيق اللحام